矩陣的特征值與特征向量PPT課件

Ch5. . 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量第1頁/共121頁5.1 矩陣的特征值與特征向量5.2 相似矩陣與矩陣可對角化的條件5.3 實對稱矩陣的對角化第2頁/共121頁矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量,. 設 為 階若存在常數(shù) 與 維列向量使 則稱 為 的特征值為 的對應于特征值 的特定義方陣征向5 1量非零. .1AnnAAA定義定義5.1.25.1.200特征多項式特設矩陣(),稱為矩陣 的特征矩陣,稱| 為 的,稱 |為 的.征方程特征根(特特征方程征值).重特征值(根的根稱為 的即 的若是 |的).重根，則稱 是 的ijn nAaEAAEAAEAAAAEAkAk第3頁/共121頁特征值與特征向量的求法步驟步驟:121.0,.nEAA 令解 的特征值121122122.(1,2, ),()0,().,0.ssssiiiiiiiiiiiiiiiiinAEAkkkkkXkA對特征值解線性方程組得基礎解系即 的屬于特征值 的線性無關的特征向量的屬于特征值 的全部特征向量為其中為不全為 的常數(shù)第4頁/共121頁特征值與特征向量的基本性質.有相同的特征值與其轉置矩陣階矩陣TAAn注.未必有相同的特征向量與TAA性質1212112212,();|. 設的 個特征值為則(1)性質5(2).1.3nijnnnnnAanaaatr AA AA可可 逆逆無無 零零 特特 征征 值值第5頁/共121頁1212,.,.,.mmnA 階矩陣 的互不相同的特征值對應的特征向量線性無關性質性質則特征向量組關的特征向量的線性無對應于特征值是矩陣個不同的特征值的階矩陣是設), 2 , 1(,2121siAsAn，iiriisi21111212122212,.,.,.,.,.srrsssr線線性性無無關關性質性質第6頁/共121頁,.AkAkA設設是是 矩矩 陣陣 的的 特特 征征 多多 項項 式式 的的重重 根根 則則 的的 對對應應 于于的的 線線 性性 無無 關關 的的 特特 征征 向向 量量 最最 多多 為為個個特特 別別 地地 ， 若若是是 的的 單單 特特 征征 值值 ， 則則 對對 應應 于于的的 線線 性性 無無 關關 的的 特特 征征 向向 量量 只只 有有 一一 個個性質性質第7頁/共121頁(1);nAkkAk設設是是 矩矩 陣陣的的 特特 征征 值值 ， 則則是是的的 特特 征征 值值為為 常常 數(shù)數(shù)矩陣的特征值的其他性質矩陣的特征值的其他性質(2);kkAk是是的的 特特 征征 值值為為 正正 整整 數(shù)數(shù)11-11011-110(3)( ),()();mmmmmmmmfxa xaxa xaffAa AaAa Aa E設設則則是是的的 特特 征征 值值-1*1(4).AAAA若若可可 逆逆 ， 則則是是的的 特特 征征 值值 ，是是 其其 伴伴 隨隨 矩矩 陣陣的的 特特 征征 值值第8頁/共121頁相似矩陣與矩陣可對角化的條件相似矩陣與矩陣可對角化的條件1設 與 都是 階矩陣,若存在 階可逆矩陣 ,使,則稱 與 相似,記作 :.ABnnPP APBABAB相似矩陣的性質相似矩陣的性質1,( )( ).ABABAB tr Atr B 若若則則 與與 有有相相同同的的特特征征值值.ABAB與 有相同的特征值，未必有注：11,.ABABAB若若則則 可可可可逆逆2 2逆逆且且. .3 若,則(為 正 整 數(shù) ).mmABABm定義定義第9頁/共121頁矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件.nAAn階矩陣 相似于對角矩陣 的充要條件是 有 個線性無關的特征向量定理定理推論.,2121相似與對角矩陣則個相異的特征值有階矩陣若nnAnAn注充分不必要條件5.2(.2,) 可對角定化對每一個 重均理特征值有niiiiArrEAnr第10頁/共121頁A判斷矩陣 可否對角化及對角化的步驟：.,) 1 (21sA的所有互異特征值求出矩陣(2),.iAA求 的屬于每個特征值 的線性無關的特征向量 將這些向量合起來得 的一個特征向量組(3)(2),;,.nAA若中的特征向量組中向量的個數(shù)為 則可對角化 否則不可對角化(4),:,.APPAnA當 可對角化時 求可逆矩陣 和為以 的個線性無關的特征向量為列向量的矩陣為以 的特征值為主對角線上的元素的對角矩陣第11頁/共121頁5.3 5.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化第12頁/共121頁向量的內積與正交向量組向量的內積與正交向量組中的向量給定nR,21naaanbbb21稱實數(shù)iniinnbabababa12211).,(的內積，記作與為向量即 1 122( , )nnTaba ba b 定義：全體 維實向量的集合nRn若 , 為 維行向量，則 ( , ).Tn 第13頁/共121頁內積的基本性質： (2)()( , )( , ); 對稱性(3)()(,)( ,);kk 齊次性(4),( , )( , ); (1)()( , )0,( , )00. 非負性而且當且僅當?shù)?4頁/共121頁1222212(,)( , ).:Tnna aaaaa 長度（或模、范數(shù)）向量的注 .11的向量稱為單位向量）長度為（).0(1:2）向量的單位化（定義定義第15頁/共121頁則為任意實數(shù)中任意兩向量是設,nkR; 00, 0)(1 (且非負性;|)(2(kk齊次性;),()(3(不等式SchwartzCauch.)(4(三角形不等式性質性質第16頁/共121頁( ,)0,. 若則稱向量 與直，記作正交或垂12,s 不含零若的向量組兩量兩正交向即, 2 , 1, 0),(sjijiji 則稱該向量組為正交向量組.若正交向量組中每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為標準正交向量組或單位正交向量組.維單位向量組如n定義定義定義定義第17頁/共121頁證明 12,s 設為正交向量組 令,2211sskkk0),(),(),(2211issiikkk,21時即當兩兩正交因jis. 0),(ji, 2 , 1, 0, 0),(sikkiiii進而故 .,21線性無關即s定理定理 正交向量組線性無關正交向量組線性無關.sikkkiss, 2 , 1, 0),(2211則第18頁/共121頁1212由線性無關向量組,構造一個與其等價的正交向量組,，的一種方法.ss 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化 第19頁/共121頁令為線性無關的向量組設,)2(,21ss112221111(,)(,) 3311113),(),(22223),(),(ss1111),(),(s2222),(),(s1111),(),(sssss.,21為正交向量組則s第20頁/共121頁則標準化將每個,), 2 , 1(siiss,2211為標準正交化向量組. 第21頁/共121頁TTT) 3 , 2 , 2 , 1 (,)4, 3, 2, 1 (,) 1 , 1 , 1 , 1 (321將向量組化為標準正交向量組. 11(1,1,1,1) ,T令解2122111(,)(3,0, 1, 2) ,(,) T ,)72,145, 0 ,141(),(),(),(),(222231111333T.,321為正交向量組則例第22頁/共121頁再將其標準化:,)424,425, 0 ,423(,)142,141, 0 ,143(,)21,21,21,21(333222111TTT.,321為標準正交向量組則第23頁/共121頁正交矩陣,5.3.5.TAAnAAE 設 為 階實矩陣 且正稱義則為交矩陣定如10cossin,01sincos ，100110.2211022第24頁/共121頁);5.3.2(AA 實矩陣 為正交矩陣的列 行 向量組是 標準正定交向量組理12:(,).sAA 將陣證矩按列分塊,TAA AE為正交矩陣1111212212221212(,)TTTTnTTTTTnsTTTTnnnnnA A ., 0;, 1),(jijijTiji即.A的列向量組是標準正交向量組第25頁/共121頁(1),|11;AA若 為正交矩陣 則為 或-1(2);TAAA若 為正交矩陣,則，且為正交矩陣(4)()().nAnAA 若為正交矩陣， , 為 維列向量， 則,(3),.A BnAB若均為 階正交矩陣 則也是正交矩陣性質性質1AA若 為正交矩陣 的特征值,則也是 的特征值.A第26頁/共121頁., 1|. 3 , 2 , 1,)(33為正交矩陣且求證：代數(shù)余子式的為元素其中且設非零方陣AAjiaAAaaAijijijijij*|.TijijaAA AA AA E證由得明.|32AA兩邊取行列式得則行設其位于第至少有一非零元素故是非零方陣因,iAA0232221332211iiiiiiiiiaaaAaAaAaA.,|, 1|為正交矩陣即且因此AEEAAAAT例第27頁/共121頁實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化定理 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)， 且其特征向量為實向量.定理 實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向 量必正交.第28頁/共121頁1212,A 設為實對稱矩陣 的兩個不同的特征值分別為與其對應的特征向量證則11122212112112(,)(,)(,),AAA ，因 121212,0,.T 因故即與正交121212122121212121212(,)()(,),()0.TTTTTTTAAAA 又所以， 即第29頁/共121頁15.3.,6,.ABPPAPBAB 設 、 為同階矩陣，若存在矩陣定義正交使得則稱陣 與 正交相似矩15.3.,5,AnQQ AQ 設 為 階實對稱矩陣 則存在正交矩陣使定理其中,21n.,21的特征值為An即實對稱矩陣必與對角形矩陣正交相似.第30頁/共121頁,(-).3 1- .5 .iiiiiiAnArArrE An r 設 為 階實對稱矩陣是 的一個 重特征根 則 恰有 個對應于特征值 的線性無關的特征向量, 即推論第31頁/共121頁.,) 1 (21sA的所有互異特征值求出矩陣nA階實對稱矩陣 對角化的方法：.,0)()2(并將其正交標準化的基礎解系對應的齊次方程組求每一個特征值 AEii.)3(Qn交矩陣個特征向量為列構造正以正交標準化后的AQQ1)4(1122ss 第32頁/共121頁.,1222442441對角矩陣為使求一正交矩陣設AQQQAA的特征解多項式為2442442(9),221EA 1230,9.A 故 的特征值為例第33頁/共121頁.)2 , 0 , 1(,)0 , 1 , 1 (21TT正交化: T)0 , 1 , 1 (11T)2 ,21,21(),(),(111222標準化:T)0 ,21,21(111T)322,62,62(222得基礎解系：解方程組對, 00, 021XAE第34頁/共121頁:, 09, 93得基礎解系解方程組對XAE.) 1 , 2, 2(3T標準化:T)31,32,32(333為標準正交向量組.321,則第35頁/共121頁100.9則TQ AQQ AQ,313220326221326221,321Q令第36頁/共121頁第37頁/共121頁Ch1Ch1行列式行列式第38頁/共121頁階行列式的定義、性質、展開定理序數(shù)、法則、逆Cramern1.定義法（通常針對低（2、3）階行列式）；2.消元法邊消元邊展開3.展開法（降階法）行列式的計算方法：一、基本方法 第39頁/共121頁1.2.n遞推法常用于與 有關的行列式中歸納法二、常見方法 1.n提取公因式法（典型字母行列式）2.加邊法3.拆項法（將行列式拆稱三、個一些行列特殊的方法式之和）第40頁/共121頁計算排列的逆序數(shù)的方法：計算排列的逆序數(shù)的方法：n個數(shù)的任一個數(shù)的任一n級級排列，先看數(shù)排列，先看數(shù)1 ，看有多少個比，看有多少個比1大的數(shù)排在大的數(shù)排在1前面，記為前面，記為再看有多少個比再看有多少個比2大的數(shù)排在大的數(shù)排在2前面，記為前面，記為; 2m繼續(xù)下去，最后至數(shù)繼續(xù)下去，最后至數(shù)n ，前面比，前面比n大的數(shù)顯然沒有，大的數(shù)顯然沒有，記為記為則此排列的逆序數(shù)為則此排列的逆序數(shù)為12nNmmm; 1m0 ;nm 第41頁/共121頁定義：定義：n 階行列式階行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa1 2121 2()12( 1)nnnN j jjjjnjj jja aa其中其中 njjj21表示對所有表示對所有n級排列取和級排列取和.ijijn nDaa記法：特點特點: :1.1.每一乘積項都是由每一乘積項都是由n個元素組成，代數(shù)和共有個元素組成，代數(shù)和共有n!項項. .2.2.n個元素中任意兩個元素都位于不同行不同列個元素中任意兩個元素都位于不同行不同列. .3.3.每一項的符號由列標排列的逆序數(shù)所決定每一項的符號由列標排列的逆序數(shù)所決定. .第42頁/共121頁11212212000.0nnnnaaaDaaa 下三角行列式111212220.00nnnnaaaaaDa 上三角行列式對角形行列式11220000.00nnaaDa 第43頁/共121頁kk轉轉置置行行列列式式互互換換兩兩行行兩兩行行相相同同某某行行乘乘兩兩行行成成比比例例某某行行全全為為零零某某行行所所有有元元素素都都的的兩兩個個元元素素之之和和某某行行乘乘行行列列加加式式的的性性質質：到到另另一一行行第44頁/共121頁行列式按某一行（列）展開行列式按某一行（列）展開()1.3.1ijnDa階行列式等于它的(列)中各元素與行其定任意一行對應的代數(shù)列式余子理式按行(列乘積)展開的和，即11221122(1,2, )(1,2, )iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa AinDa Aa Aa Ajn或第45頁/共121頁111212122212( , ,1,2, )ijnnnnnna i jnaaaaaaDaaa 的系數(shù)構成的行列式為方程組的系數(shù)行列式11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb（1）第46頁/共121頁jDDjn其中是把系數(shù)行列式 中的第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后得到的 階行列式，即0,(1,2, )1.5.1jjnnDxjnDD （）的線性方程組（1），克萊姆法則含 個方程 個未知量當其時有惟定一系式解數(shù)行列理111,111,111,1,1jjnjnn jnn jnnaabaaDaabaa第47頁/共121頁111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xaxaxa xaxax線性方程組齊次線性為方程組.易知，120nxxx一定是它的解，稱為零解零解。若有一組不全為零的數(shù)是它的解，稱為非零解非零解。0.齊次線性方程組的系數(shù)行列式它只有零解D 第48頁/共121頁Ch2 Ch2 矩陣矩陣第49頁/共121頁11,2+,|,(,),()： (-),初等變換： 分塊對角形上 下 三角形同型對稱反對稱伴隨矩陣的運算一些特殊矩陣重矩陣.：矩陣可逆的判別一、，伴要理論隨矩陣的性質， 初等變換下秩的不變.主要內容性TnkA AB AA AO E kE diag a aa第50頁/共121頁3n 用伴隨矩陣求逆矩陣()，初等變換法求逆矩陣，用分塊矩陣求逆矩陣.先形式簡化，再求解(低階用定義，高階用初等變換)求二、一些解子式法，矩陣可逆的判別求可逆矩陣的逆矩陣：解矩陣方程：題方法三、本章重點求矩陣的秩矩陣可逆的判別，伴隨矩陣的初性質，用初等變變換題等換法解第51頁/共121頁*1-1-111111-1111,(1)| 0();(2);(3),();()() ,1(4)(0)(),()() ;TTTmmmA BnAAAAAAABABEBBAA BABABB AAAAAkA kkAAkmN AAA設皆為 階方陣可逆即非奇異 ，可逆，且，若可逆，且若皆可逆，則也可逆，且也可逆，若 可逆，則也可逆，對任四、如何判別矩陣可也逆意可逆，(5)( )()(6)().Ar AnAnAAEA可逆即 是 階滿秩矩陣 ；可逆即 的標準形是單位矩陣第52頁/共121頁,2.ABAB BAABA BABACABCBBAABA1.稱為乘為乘 ，若兩個一般情況下與 可交，矩陣乘換滿足法不滿足交換何條件矩陣滿足則稱。,律和消時去律。左？右 mmAmAAAAn 個設 為矩陣，對于正整數(shù) ，有 階1.(),2.,.kkkkABA BAOAO一般地若不一定有矩陣的運算矩陣的運算第53頁/共121頁111211121121222122221212=，nmnmTm nmmmnnnmnaaaaaaaaaaaaAAaaaaaa矩陣的轉置有以下運算法則矩陣的轉置有以下運算法則：(1)();(2)();(3)()(;(4).TTTTTTTTTTAAABABABkAkBAA第54頁/共121頁,TAA方陣的行列式具有的性質方陣的行列式具有的性質：,nkAkAABA BBA：定定義義，伴伴隨隨矩矩陣陣重重要要性性質質1*,.nnAAA對對任任意意的的有有*,(det) .AAAA AA E對對任任意意方方陣陣均均有有定定義義，非非奇奇異異矩矩陣陣逆逆矩矩陣陣，定定理理. .1*,1.0AAAAAA且 可逆時，其逆矩陣為 方陣 可逆的充要條件是 定理 逆逆矩矩陣陣的的性性質質： 1*11111,=.,.TknnnAAkA AAAAAA BABB A,可逆,若可逆，則若均可逆 則 第55頁/共121頁1,.AnnBABEBAEAAB設 是 階矩陣，若存在 階方陣 ，使 則 可逆，且或 第56頁/共121頁初等方陣：由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣.矩陣的初等變換：(1)交換矩陣的兩行(列); （對換變換）(2)用非零常數(shù)k乘矩陣的某一行(列); （倍乘變換）(3) 某行(列)的l倍加到另一行(列)上. .（倍加變換）初等行變換、 初等列變換第57頁/共121頁初等變換和初等方陣之間的關系初等變換和初等方陣之間的關系：AiAAi(). 設設 是是任任意意一一個個矩矩陣陣，則則用用第第 種種初初等等方方陣陣( () )乘乘 ，相相當當于于對對 施施行行第第 種種初初左左行行定定理理2 2. .等等. .2 2右右列列 變變換換6 6第58頁/共121頁任何矩陣都可以經過初等變換化為任何矩陣都可以經過初等變換化為標準形矩陣標準形矩陣. .()()() () 標準形矩陣rrn rm rrm rn rEOOO12122112,2.6.3,.ststAP PPQ QQPP PAQQQA對任意矩陣存在與,使為 的標準初等定理陣形矩陣方第59頁/共121頁,.2.6.2ABABAB若矩陣 可經過化為初等變換等價則稱矩陣 與，記作定義2.6.1.m nm nABmPnQPAQB矩陣與等價存在 階可逆矩陣 及 階可逆矩陣 ，使得推論 第60頁/共121頁.AEAA的標準形矩陣為方陣 可逆可表為若干初等矩陣的乘積.求逆矩陣的方法求逆矩陣的方法：初等行變換法：初等行變換法, A E 初初變變換換行行等等1,E A 第61頁/共121頁()0規(guī)定：m nr O,.()0()min, ()( ),對于有當行時 稱 為.列 滿秩矩陣m nAr AArnAmm nAAA為滿秩當 為矩陣為可方陣時，逆矩陣.2.7.2 初等變換不改變定理矩陣的秩.1.() 的的等于階子式不非零子式等于零，最而階子式都高階數(shù)有一個等零有于所Arr ArArr第62頁/共121頁將矩陣 經初等行變換化為階梯形矩陣 ，則 的秩等于中非零行的行數(shù)。ABAB求矩陣的秩的方法求矩陣的秩的方法(2) 自上而下各行中，從左起的第一個非零元素左邊零的個數(shù)，隨著行數(shù)的增加而增加.階梯形矩陣階梯形矩陣 ：若滿足 (1)元素全為零的行（如果有的話），位于矩陣的最下面；2.7.()1)(TAr Ar A矩陣 與其轉置矩陣的秩相等，即性質；2.7.2任何矩陣乘以可逆矩陣后性質，其秩不變。矩陣的秩的性質矩陣的秩的性質第63頁/共121頁Ch3 Ch3 n維向量維向量第64頁/共121頁2.向量、線性相關、線性無關、極大無關組、向量組的秩向量的運算、向量相關性討論、向量組的秩定義角一、重要概念二、主要內度具體向量形式 子式矩陣的秩1.向量組的相關性討論定義角度抽象向量形式一系列定理向量組的秩與極大無關組的討論：以列作矩陣，通過初等行變換化為(階容三梯形典型習題例題)行最簡形第三章小結第65頁/共121頁120( )sinAAr An AAAAPPP PAEAAXOAXb1.方陣 可逆的充分必要條件A此時稱 非奇異為滿秩矩陣的行 列 向量組線性無關可逆為初等矩陣的標準形為單位矩陣只有零解有唯一些解一結論：第三章小結第66頁/共121頁 2.(1)min,=(2),min , (3)(4),(5),|.m nTTnnr ABr A r BAr ABr BAr Am nr AAr Ar AA BABOr Ar Bnr ABr Ar Br A Br Ar B關于矩陣秩的關系式當 可逆時，證有關矩陣秩時，常用該結論，一個矩陣的秩不會超過其行 列 數(shù)， 下一章證第三章小結第67頁/共121頁12121122,+?nnnnx xxxxx方程組是否有解的問題就轉化為向量組 ，的問題，即：是否存在一組數(shù)滿足若存在，則方程組有解，否則無解.1122nnxxx11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb1212( ,) ,(,) (1,2, ,).TmTjjjmjb bbjn其中向量形式第68頁/共121頁121211221212,.,3.2.,1,nnnnnnmk kkkkk 定義線性組設是一組 維向量如果存在數(shù)使得稱向量 可以表示為向量組的，或稱 可合線由向量組性表示.12,nk kk稱為一組組合系數(shù)線性組合第69頁/共121頁(1,2, )jjn總方程組解的情況與 能否由向量組線性表出結：之間的關系(1,2, )jjn方程組有惟一的解能夠由向量組線性表出，并且表示（1）法惟一；(1,2, )jjn（2）方程組有無窮多解能夠由向量組線性表出，并且表示法不惟一；(1,2, )jjn方程組無解不能夠由（3向量組線）性表出.1122nnxxx11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb第70頁/共121頁12123.2.2(1),(1),(2)(1)(2).(2設有兩個向量組若向量組中向量可由向量組線性表示，則定義向量組可由向量組線性表示稱每個mn 若向量組(1)與(2)可互相線性表示，則稱向量組(1)與(2)等價向量組的等價第71頁/共121頁1212112212123.2.3,.,nnnnnnnmk kkkkkk kk不設為 個 維向量如果存在一組定義線性相關的數(shù)使得成立,稱向量組,相關數(shù)稱系為為全零 12,n 否則,稱向量組線性無關.線性相關與線性無關第72頁/共121頁 12112212(1),=0.nnnnkkkkkk 線性無注關若，則必有線性無關的敘述112212=0證線性無關(假設，證)：nnnkkkkkk(2)(3)(4)=.(5)=kl零向量與任一向量線性相關.含有零向量的任一向量組線性相關.兩個非零向量 ， 線性相關或者對單個向量 構成的向量組線性相關. 第73頁/共121頁(1,2, )jjn齊次方程（1）組有非零解向量組線性相關； 12(,) ,1,2, ,若設可得該方程組的向量形式：Tjjjnjaaajn1122nnxxx(1,2, )齊次方程組解的情況與向量組線性相關性之間的關系總結：jjn(1,2, )jjn齊次方程（2）組只有零解向量組線性無關；對于對于n元齊次線性方程組元齊次線性方程組11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax第74頁/共121頁.若一個向量組中有兩個向量的對應分量成比例，則這個向量組必線結性相關論若一個向量組中有部分組線性相關，則整個向量組線結論性相關.若一個向量組線性無關，則其任一部分組均線性無關.一個線性無關的向量組中的每個向量按相同的位置隨意增加 一些分量所得到的高維向量組仍線結論性無關.一個線性相關的向量組中的每個向量按相同的序號 劃去一些分量所得到的低維向量組仍線性相關.12,0.nnDn 個 維向量線性無關的充分必要條件是結論12,0.個 維向量線性相關的充分必要條件是nnnD 第75頁/共121頁1212,(2),3.,12 1,.ssss 向量組線性相關中是其余個向至少一個向量量的線定理性組合.1212123.,.2 2,.sss 如果向量組線性無關，但，定線性相關，則向量 可由向量組線性表示，且表示法惟一理線性組合和線性相關定理第76頁/共121頁12121212112,3.,.3,2,.sttssttst （替換定理）若向量組線性無關，且可由向量組線性表示，則并且可適當排列向量的次序，使得向量組，與向量組定等價理121212,.stsst 若向量組可由向量組線性表示并且，則向量組線性相關第77頁/共121頁3.2.1.mnmn若，則 個 維向量必推線性相關論1.nn特別的，個 維向量必線性相關2.3.2.兩個等價的線性無關的向量組，必含有相推同個數(shù)的向量論3.3.2 一個向量組的任意兩個極大無關組，都含有 相同定理個數(shù)的向量.第78頁/共121頁極大線性無關組極大線性無關組1231231123,.,.,.,3.3.1.,稱為向量組( ):,極大無關組的一個是指為( )的部分組，且滿足定兩,義以下個條件rrrsraa 123(1),.,r 線性無關；123(2),.,向量組( )中的每個向量都可以由線性表示.ra 12112( ):,3.3,.1 向量組的部分組是極大無關組的條件是充分必要定：理rrsra 12,r （1）線性無關；( )1（2）向量組中任意個向量線性相關.ar 第79頁/共121頁（1）一個向量組的極大無關組可注能不惟一；（2）全是零向量的向量組沒有極大無關組；（3）線性無關向量組的極大無關組是其本身；（4）任何向量組均與其極大無關組等價；第80頁/共121頁r ( , , ,規(guī)定：)=01212,.,(,.,).向量組的任一極大無關組所含向量的個數(shù)，稱為該向量組的秩，記作定義3.3.2：ssr 1212ssrs（2）向量組， ，線性無關， ， ；1212ssrs（1）對任何向量組 ， ， ，均有0， ，注1212ssrs（3）向量組， ，線性相關， ，；向量組的秩向量組的秩第81頁/共121頁12121212,(,)(3.3.3,)ststrr 如果向量組可由向量組線性定表示，則理12121212,(,)(,)如果向量組與等價，則特別地，ststrr 等價向量組有相同的秩，反之不一注定成立.第82頁/共121頁推廣推廣3.3.4=Ar AAA對任意的矩陣 ， 的行秩的列秩 定(理).()in ( ), ( ).3.3.5r ABmr A r B矩陣乘積的秩不大于每個因子的秩， 即定理121()min ()nii nr A AAr A 矩陣的行秩與列秩矩陣的行秩與列秩第83頁/共121頁思路：以向量為列構造矩陣，對其進行初等行變換化為階梯形矩陣，其非零行的行數(shù)記為該向量組的秩.求向量組的秩求向量組的秩第84頁/共121頁1212,3.3.,6,nnmnABAB 若若對對矩矩陣陣變變換換化化為為矩矩陣陣 ，則則的的列列向向量量組組同同 的的列列向向量量組組之之間間有有完完全全相相同同僅僅施施以以初初等等行行的的線線性性定定理理關關系系，即即12121212,.ssnjjjnjjjAB (1)(1)若若 的的列列向向量量組組中中部部分分組組線線性性無無關關，則則 的的列列向向量量組組中中對對應應的的也也線線性性無無關關，反反之之亦亦然然極大無關組的求法極大無關組的求法第85頁/共121頁矩矩陣陣的的初初等等( (列列) )變變換換不不改改變變其其( (行行) )向向量量間間的的線線行行列列簡簡述述：性性關關系系. .1212121212211221,=,=.ssssnjjjjjjjjnjjjjsjjsjjABkkkkkk (2)(2)若若 的的列列向向量量組組中中某某個個向向量量可可由由其其中中的的線線性性表表示示： 則則 的的列列向向量量組組中中對對應應的的可可由由其其中中的的線線性性表表示示，且且 第86頁/共121頁一、求極大無關組12,.,s 求向量組的一個極大無關組的方法：12,.,;sA （1）以為向量作矩陣列1212,( ),.,.,.rrjjjABr BrBjjjr（2）對矩陣 施以化成階梯形矩陣設且 中第列有一個 階子式不等于零，則即為所求向量組的一個極大初等行變無關組換第87頁/共121頁12,.,s 求向量組的一個極大無關組并將其余向量用極大無關組線性表出的方法：12,.,;（1）以為列向量作矩陣sA ;（2）將矩陣 通過初等變階梯形換先為行化矩陣AB1212,.,.,.（3）再通過初等變換化為矩陣設矩陣 中第列為單位向量，則即為所求向量組的一個極大無關行簡組；且 中列向量間的線性關系即為 中相應列向化階梯形量間的關系行線性rrjjjCCjjjCA二、求極大無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表出第88頁/共121頁Ch4 Ch4 線性方程組線性方程組第89頁/共121頁mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111線性方程組的一般形式：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系數(shù)矩陣：11121212221212nnmmmnmaaabaaabAbaaa增廣矩陣：（4.4）第90頁/共121頁12(1,2,).iiimiaaina其其中中1122nnxxxB向向量量形形式式：AXB矩矩陣陣形形式式：1122.nmxbxbAXBxb其其中中 為為系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣，解解向向量量 ，第91頁/共121頁定理定理（線性方程組有解的判定定理線性方程組有解的判定定理）( )( ),4.4( )( ).r Ar Ar Ar A有有解解線線性性方方程程組組無無解解( )( )4.,4.4( )( ).2.2r Ar Anr Ar An有有唯唯一一解解線線性性方方程程組組定定有有窮窮多多理理無無解解第92頁/共121頁齊次線性方程組：000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組有非零解若若 mn（方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)）（方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)）,則齊次方程則齊次方程組必有非零解組必有非零解.齊次線性方程組僅有零解齊次線性方程組僅有零解( ).r An( ).r An含含 n 個方程個方程 n 個未知量的齊次線性方程組個未知量的齊次線性方程組 僅有零解僅有零解0|,A0|.A有非零解有非零解齊次線性方程組總有零解齊次線性方程組總有零解.第93頁/共121頁m nAX0齊次線性方程組的解的結構齊次線性方程組的解的結構1212121122124.4.14.4.24.4.,.().,(,3,).sssskkkkkkkk 是是解解也也是是解解是是解解也也是是解解為為任任意意常常數(shù)數(shù)是是解解 性性質質性性質質 性性質質也也是是解解為為任任意意數(shù)數(shù) 常常第94頁/共121頁定義定義基礎解系基礎解系121212,12,.sssAX 若若齊齊次次線線性性方方程程組組的的解解向向量量滿滿足足：（）；（ ）方方程程組組的的解解線線性性無無向向量量 都都可可由由線線性性表表出出則則稱稱為為方方程程組組的的一一個個基基任任一一礎礎解解系系關關第95頁/共121頁定理定理()0,.m nm nr ArnAXnr若，則齊次線性方程組存在基礎解系 且任一基礎解系中含有個解向量12112212,( ,).n rn rn rn rAXXcccc cc 若齊次線性方程組的一個基礎解系為則其通解為 是任意常數(shù)定理定理第96頁/共121頁非齊次線性方程組的解的結構BXAnm非齊次線性方程組非齊次線性方程組m nAX0導出組導出組第97頁/共121頁性質性質1 1、解的性質、解的性質00,.m nm nm nAXBAXOAXB為方程組的解為其導出組的解也是的解1212,. 為非齊次線性方程組的解為其導出組的解性質性質第98頁/共121頁0120112221, ( )( ),( ,).設非齊次線性方程組其一個特解為導出組的一個基礎解系為則其通解為是任意常數(shù)m nn rn rn rn rAXB r Ar Arncccccc 定理定理( (非齊次線性方程組的解的結構）非齊次線性方程組的解的結構）第99頁/共121頁Ch5 Ch5 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量第100頁/共121頁12.|., ().niiiiAAAAnAnrEAnnnQ 特征值、特征向量、向量內積（長度）、向量正交、正交向量組（一定線性無關）、施密特正交化、正交矩陣方陣 的不同特征值對應的特征向量線性無關相似矩陣的特征值相同可對角化有 個線一、重要概念二、一性無關的特征向量可對角化對每個 重特征值階實矩陣 為正交陣其列(行)向量組為正交單位些結論向量組.第101頁/共121頁矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量,. 設 為 階若存在常數(shù) 與 維列向量使 則稱 為 的特征值為 的對應于特征值 的特定義方陣征向5 1量非零. .1AnnAAA定義定義5.1.25.1.200特征多項式特設矩陣(),稱為矩陣 的特征矩陣,稱| 為 的,稱 |為 的.征方程特征根(特特征方程征值).重特征值(根的根稱為 的即 的若是 |的).重根，則稱 是 的ijn nAaEAAEAAEAAAAEAkAk第102頁/共121頁特征值與特征向量的求法步驟步驟:121.0,.nEAA 令解 的特征值121122122.(1,2, ),()0,().,0.ssssiiiiiiiiiiiiiiiiinAEAkkkkkXkA對特征值解線性方程組得基礎解系即 的屬于特征值 的線性無關的特征向量的屬于特征值 的全部特征向量為其中為不全為 的常數(shù)第103頁/共121頁特征值與特征向量的基本性質.有相同的特征值與其轉置矩陣階矩陣TAAn注.未必有相同的特征向量與TAA性質1212112212,();|. 設的 個特征值為則(1)性質5(2).1.3nijnnnnnAanaaatr AA AA可可 逆逆無無 零零 特特 征征 值值第104頁/共121頁1212,.,.,.mmnA 階矩陣 的互不相同的特征值對應的特征向量線性無關性質性質則特征向量組關的特征向量的線性無對應于特征值是矩陣個不同的特征值的階矩陣是設), 2 , 1(,2121siAsAn，iiriisi21111212122212,.,.,.,.,.srrsssr線線性性無無關關性質性質第105頁/共121頁,.AkAkA設設是是 矩矩 陣陣 的的 特特 征征 多多 項項 式式 的的重重 根根 則則 的的 對對應應 于于的的 線線 性性 無無 關關 的的 特特 征征 向向 量量 最最 多多 為為個個特特 別別 地地 ， 若若是是 的的 單單 特特 征征 值值 ， 則則 對對 應應 于于的的 線線 性性 無無 關關 的的 特特 征征 向向 量量 只只 有有 一一 個個性質性質第106頁/共121頁(1);nAkkAk設設是是 矩矩 陣陣的的 特特 征征 值值 ， 則則是是的的 特特 征征 值值為為 常常 數(shù)數(shù)矩陣的特征值的其他性質矩陣的特征值的其他性質(2);kkAk是是的的 特特 征征 值值為為 正正 整整 數(shù)數(shù)11-11011-110(3)( ),()();mmmmmmmmfxa xaxa xaffAa AaAa Aa E設設則則是是的的 特特 征征 值值-1*1(4).AAAA若若可可 逆逆 ， 則則是是的的 特特 征征 值值 ，是是 其其 伴伴 隨隨 矩矩 陣陣的的 特特 征征 值值第107頁/共121頁相似矩陣與矩陣可對角化的條件相似矩陣與矩陣可對角化的條件1設 與 都是 階矩陣,若存在 階可逆矩陣 ,使,則稱 與 相似,記作 :.ABnnPP APBABAB相似矩陣的性質相似矩陣的性質1,( )( ).ABABAB tr Atr B 若若則則 與與 有有相相同同的的特特征征值值.ABAB與 有相同的特征值，未必有注：11,.ABABAB若若則則 可可可可逆逆2 2逆逆且且. .3 若,則(為 正 整 數(shù) ).mmABABm定義定義第108頁/共121頁矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件.nAAn階矩陣 相似于對角矩陣 的充要條件是 有 個線性無關的特征向量定理定理推論.,2121相似與對角矩陣則個相異的特征值有階矩陣若nnAnAn注充分不必要條件5.2(.2,) 可對角定化對每一個 重均理特征值有niiiiArrEAnr第109頁/共121頁A判斷矩陣 可否對角化及對角化的步驟：.,) 1 (21sA的所有互異特征值求出矩陣(2),.iAA求 的屬于每個特征值 的線性無關的特征向量 將這些向量合起來得 的一個特征向量組(3)(2),;,.nAA若中的特征向量組中向量的個數(shù)為 則可對角化 否則不可對角化(4),:,.APPAnA當 可對角化時 求可逆矩陣 和為以 的個線性無關的特征向量為列向量的矩陣為以 的特征值為主對角線上的元素的對角矩陣第110頁/共121頁實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化向量的內積與正交向量組向量的內積與正交向量組,21naaanbbb211 122( , )nnTaba ba b 內積的基本性質： (2)()( , )( , ); 對稱性(3)()(,)( ,);kk 齊次性(4),( , )( , ); (1)()( , )0,( , )00. 非負性而且當且僅當?shù)?11頁/共121頁1222212(,)( , ).:Tnna aaaaa 長度（或模、范數(shù)）向量的注 .11的向量稱為單位向量）長度為（).0(1:2）向量的單位化（則為任意實數(shù)中任意兩向量是設,nkR; 00, 0)(1 (且非負性;|)(2(kk齊次性;),()(3(不等式SchwartzCauch.)(4(三角形不等式性質性質第112頁/共121頁( ,)0,. 若則稱向量 與直，記作正交或垂12,s 不含零若的向量組兩量兩正交向即, 2 , 1, 0),(sjijiji 則稱該向量組為正交向量組.若正交向量組中每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為標準正交向量組或單位正交向量組.維單位向量組如n定義定義定義定義定理定理 正交向量組線性無關正交向量組線性無關.第113頁/共121頁1212由線性無關向量組,構造一個與其等價的正交向量組,，的一種方法.ss 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化 令為線性無關的向量組設,)2(,21ss112221111(,)(,) 3311113),(),(22223),(),(ss1111),(),(s2222),(),(s1111),(),(sssss.,21為正交向量組則s第114頁/共121頁則標準化將每個,), 2 , 1(siiss,2211為標準正交化向量組. 第115頁/共121頁正交矩陣,.為 階實矩陣 且TAA AnE(1),|11;AA若 為正交矩陣 則為 或-1(2);TAAA若 為正交矩陣,則，且為正交矩陣(4)()().若為正交矩陣，,為 維列向量，則 ,nAnAA (3),.A BnAB若均 為階 正 交 矩 陣 則也 是 正 交 矩 陣性質性質1AA若 為正交矩陣 的特征值,則也是 的特征值.A);5.3.2(AA 實矩陣 為正交矩陣的列 行 向量組是 標準正定交向量組理第116頁/共121頁實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化定理 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)， 且其特征向量為實向量.定理 實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向 量必正交.第117頁/共121頁15.3.,6,.ABPPAPBAB 設 、 為同階矩陣，若存在矩陣定義正交使得則稱陣 與 正交相似矩15.3.,5,AnQQ AQ 設 為 階實對稱矩陣 則存在正交矩陣使定理其中,21n.,21的特征值為An即實對稱矩陣必與對角形矩陣正交相似.第118頁/共121頁,(-).3 1- .5 .iiiiiiAnArArrE An r 設 為 階實對稱矩陣是 的一個 重特征根 則 恰有 個對應于特征值 的線性無關的特征向量, 即推論第119頁/共121頁.,) 1 (21sA的所有互異特征值求出矩陣nA階實對稱矩陣 對角化的方法：.,0)()2(并將其正交標準化的基礎解系對應的齊次方程組求每一個特征值 AEii.)3(Qn交矩陣個特征向量為列構造正以正交標準化后的AQQ1)4(1122ss 第120頁/共121頁 感謝您的觀看！第121頁/共121頁