八年級(jí)數(shù)學(xué)-勾股定理及其?？碱}型

八年級(jí)數(shù)學(xué) 勾股定理及其?？碱}型 勾股定理也稱畢達(dá)哥拉斯定理 文字表述 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 結(jié)合直角三角形圖形 用字母 可表示為 如下圖 a b 為直角邊 c 為斜邊 22c 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系 完美地體現(xiàn)了 數(shù)形統(tǒng)一 的數(shù)學(xué)思想 將初中幾何與代數(shù)很好的聯(lián) 系起來(lái) 因此 學(xué)好勾股定理這一知識(shí)點(diǎn)對(duì)于我們解決數(shù)學(xué)問題有很大的幫助 下面我們具體來(lái)看看初中數(shù)學(xué)有關(guān)勾股 定理的一些常見題型及其解答方法 一 邊的計(jì)算 1 在 Rt ABC 中 C 90 若 a 6 b 8 則 c 解 因?yàn)?所以 c 10 22abc 評(píng)論 直接由勾股定理所以得 2 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 則斜邊上的高 CD 的長(zhǎng)為 A B C D 1552527 解 由勾股定理知 AB 5 又因?yàn)?S ABC AC BC AB CD12 即 3 4 5 CD 所以 CD 215 評(píng)論 通過勾股定理求出斜邊 再利用面橋關(guān)系求出斜邊上的高 3 若一直角三角形兩邊的長(zhǎng)為 12 和 5 則第三邊的長(zhǎng)為 A 13 B 13 或 C 13 或 15 D 1519 解 當(dāng) 12 對(duì)應(yīng)的邊為斜邊時(shí) 此時(shí)由勾股定理得第三邊為 19 當(dāng) 12 對(duì)應(yīng)的邊是直角邊時(shí) 則第三邊為斜邊 由 得第三邊的長(zhǎng)為 1322abc 評(píng)論 勾股定理結(jié)合分類討論思想 學(xué)生要注意這類試題的多解性 4 Rt 一直角邊的長(zhǎng)為 11 另兩邊為自然數(shù) 則 Rt 的周長(zhǎng)為 A 121 B 120 C 132 D 不能確定 解 設(shè)該 Rt 的三邊分別為 a b c a b 為直角邊 c 為斜邊 由勾股定理知 即 11 2 b2 c2 22 所以 b c c b 121 因?yàn)?b c 都為自然數(shù) 所以 b c c b 都為正自然數(shù) 又因?yàn)?121 只有 1 11 121 這三個(gè)正整數(shù)因式 所以 b c 121 c b 1 所以 b 60 c 61 評(píng)論 本題以直角三角形為載體 同過勾股定理將初中幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)很好地串聯(lián)起來(lái)考察學(xué)生的能力 二 直角三角形的判定 5 在 ABC 中中 a b c 為 A B C 的對(duì)邊 給出如下的命題 若 A B C 1 2 3 則 ABC 為直角三角形 若 A C 一 B 則 ABC 為直角三角形 若 則 ABC 為直角三角形 若 a b c 5 3 4 則 ABC 為直角三角形 若 a c 45ca b a c b 2 則 ABC 為直角三角形 若 a c 2 2ac b 2 則 ABC 為直角三角形 若 12 9 B 15 則 ABC 為直角三角形 上面的命題中正確的有 A 6 B 7 C 8 D 9 解 對(duì) 因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為 180 度 所以 A B C 180 因?yàn)?A B C 1 2 3 所以 C 180 所以 C 90 則 ABC 為直角三角形 正確 對(duì) 因?yàn)?A B C 180 而 A C 一 B 所以 C 一21 B B C 180 所以 C 90 即 ABC 為直角三角形 正確 對(duì) 設(shè) a 5k 因?yàn)?則45ca 3b c 4k C2 b2 a2 所以為 ABC 直角三角形 正確 同理易知 正確 對(duì) 因?yàn)?a c a c b 2 所以 a2 c2 b2 所以 ABC 為直角三角形 正確 對(duì) 因?yàn)?a c 2 2ac b 2 所以 a2 c2 2ac 2ac b 2 所以 a2 c2 b2 正確 對(duì) 因?yàn)?12 9 15 所以 AB2 AC2 BC2所以正確 答案選 B 評(píng)論 直角三角形的評(píng)定可以從角和邊兩方面來(lái)進(jìn)行 從角來(lái)判定需結(jié)合三角形內(nèi)角和定理 從邊來(lái)判定需結(jié)合勾股定 理 一般是驗(yàn)證最大邊的平方是否等于兩小邊的平方和 三 翻折 6 矩形紙片 ABCD 中 AD 4 cm AB 10cm 按如圖 18 1 方式折疊 使點(diǎn) B 與點(diǎn) D 重合 折痕為 EF 則 DE cm 解 設(shè) DE 為 x 因?yàn)?DE 是由 BE 翻折過來(lái)的 所以 DE BE x 則 AE 10 x 在 Rt ABD 中 AD2 AE2 DE2 所以 4 2 10 x 2 x 2 解得 x 5 8 cm 評(píng)論 翻折和旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)常見的題型 解答這類題的關(guān)鍵在于把握翻折和旋轉(zhuǎn)前后的聯(lián)系 主要是看清哪些量沒變 抓住這些不變的量 以此為突破口便可以順利解決 本題的不變量是 DE 和 BE 的長(zhǎng)度 抓住這個(gè)關(guān)系 再通過勾股定理 建立等式 在直角三角形中便可解出邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度 四 爬行 7 如圖 有一個(gè)圓柱 它的高等于 16cm 底面半徑等于 4cm 在 圓柱下底面的 點(diǎn)有一只螞蟻 它想吃到上底面上與 點(diǎn)相對(duì)的AAB 點(diǎn)處的食物 需要爬行的最短路程是 cm 取 3 解 螞蟻要沿圓柱體側(cè)面爬 將圓柱體的側(cè)面沿螞蟻所在的垂直于底面的直線切開 展開后是一個(gè)長(zhǎng)為 8 寬為 16 的 長(zhǎng)方形 螞蟻所在的是一個(gè)頂點(diǎn) 而相對(duì)的點(diǎn)則是對(duì)面那條長(zhǎng)為 8 的邊的中點(diǎn) 所以根據(jù)勾股定理 兩點(diǎn)之間的距離 為 d d2 8 2 16 2從而解出 d 評(píng)論 爬行問題是勾股定理的一大重要應(yīng)用 關(guān)鍵在于將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形 從而簡(jiǎn)單便捷地找出最短距離 然 后再利用勾股定理求出邊長(zhǎng) 8 已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2cm 寬為 1cm 高為 4cm 一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從 A 點(diǎn)爬到 B 點(diǎn) 那么沿哪條路最近 最短的路程是多少 解 將長(zhǎng)方體的側(cè)面 B B C C 展開到與長(zhǎng)方體的正面 AC C A 在同一平面內(nèi) 得到長(zhǎng)方形 AB B A 長(zhǎng) AB 3 cm 寬 A A 4 螞蟻沿長(zhǎng)方體的表面從 A 點(diǎn)爬到 B 點(diǎn)最短距離即為長(zhǎng)方形 AB B A 的對(duì)角線 A B 長(zhǎng) 由勾股定理易知 A B 5 五 圖形變換 9 如圖 2 1 是小紅用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形 兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a 和 b 斜邊長(zhǎng)為 c 如圖 2 2 是以 c 為直角邊的等腰直角三角形 她想將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形 可以嗎 1 如果能 請(qǐng)你畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖 寫出它是什么圖形 2 用這個(gè)圖形證明勾股定理 3 假設(shè)圖 2 1 中的圖有若干個(gè) 你能運(yùn)用 1 中所示的直角三角形拼出另一個(gè)能證明勾股定理的圖形嗎 請(qǐng)畫出 拼后的示意圖 無(wú)需證明 23 1 如圖是直角梯形 2 因?yàn)?S 梯形 a b a b a b 2 S 2 ab c2 ab c2 所以 a b 2 ab c2 即 a2 b2 c 2 3 如圖121111 所示 評(píng)論 這是一道圖形換的題 具體涉及到圖形的拼湊 解決勾股定理這方面的試題關(guān)鍵是要對(duì)課本勾股定理證明涉及到 的幾種常見的圖形以及證明過程和原理要熟練掌握 再利用適當(dāng)?shù)倪w移便可以解答了 六 實(shí)際應(yīng)用 10 某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園 如圖 5 所示 ACB 90 AC 80 米 BC 60 米 若線段 CD 是一條小渠 且 D 點(diǎn)在邊 AB 上 已知水渠的造價(jià)為 10 元 米 問 D 點(diǎn)在距 A 點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí) 水渠的造價(jià)最低 最低造價(jià) 是多少 解 當(dāng) CD 為斜邊上的高時(shí) CD 最短 從而水渠造價(jià)最低 因?yàn)?CD AB AC BC 所以 CD ACB 48 米 所以 AD 22804AC 64 米 所以 D 點(diǎn)在距 A 點(diǎn) 64 米的地方 水渠的造價(jià)最低 其最低造價(jià)為 480 元 cc b ab 11 有一只小鳥在一棵高 4m 的小樹梢上捉蟲子 它的伙伴在離該樹 12m 高 20m 的一棵大樹的樹梢上發(fā)出友好的叫聲 它立刻以 4m s 的速度飛向大樹樹梢 那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)大樹和伙伴在一起 解 如圖所示 根據(jù)題意 得 AC 20 4 16 BC 12 根據(jù)勾股定理 得 AB 20 則小鳥所用的時(shí)間是 20 4 5 s 評(píng)論 解答勾股定理的實(shí)際應(yīng)用題 首先要審清題意 然后找出試題情景中涉及到的直角三角形 再結(jié)合勾股定理便可 以求出了 在該題中 我們關(guān)鍵是要根據(jù)題意畫出勾股定理涉及到的直角三角形圖形 只需求得 AB 的長(zhǎng) 根據(jù)已知條 件 得 BC 12 AC 20 4 16 再根據(jù)勾股定理就可求解 補(bǔ)充