2020年中考數(shù)學一輪復習 基礎考點及題型 專題23 圓（含解析）

專題23 圓 考點總結 【思維導圖】 【知識要點】 知識點一 與圓有關的概念 圓的概念：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓．這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O． 特點：圓是在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形． 確定圓的條件： ⑴ 圓心； ⑵ 半徑， ⑶ 其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大?。? 補充知識： 1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓； 2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓； 3）半徑相等的圓叫做等圓． 弦的概念：連結圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦． 弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。訟、B為端點的弧記作AB，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。? 圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓． 在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧， 小于半圓的弧叫做劣弧． 弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距． 弦心距、半徑、弦長的關系：（考點） 圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角． 圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 三角形的外接圓 1）經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形． 2）三角形外心的性質： ①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等； ②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合. 3）銳角三角形外接圓的圓心在它的內部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）. 圓內接四邊形概念：如果一個四邊形的所有頂點都在一個圓上，那么這個四邊形叫做圓內接四邊形。 弓形與扇形 弓形的概念：由弦及其所對的弧組成的圖形。 扇形的概念：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。 【典型例題】 1．（2018·陸豐市民聲學校中考模擬）如圖，AB是⊙O直徑，點C，D在⊙O上，OD∥AC，下列結論錯誤的是（ ） A．∠BOD=∠BAC B．∠BAD=∠CAD C．∠C=∠D D．∠BOD=∠COD 【答案】C 【詳解】∵OD//AC， ∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD，故A選項正確， ∵OA=OD， ∴∠D=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD，故B選項正確， ∵OA=OC，∴∠BAD=∠C，∴∠BOD=∠COD，故D選項正確， 由已知條件無法得出∠C=∠D，故C選項錯誤， 故選C. 2．（2018·北京中考模擬）有下列四種說法： ①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．其中，錯誤的說法有（　　） A．1種 B．2種 C．3種 D．4種 【答案】B 【詳解】 圓確定的條件是確定圓心與半徑，是假命題，故此說法錯誤； 直徑是弦，直徑是圓內最長的弦，是真命題，故此說法正確； 弦是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，是假命題，故此說法錯誤； ④半圓是弧，但弧不一定是半圓，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫半圓，所以半圓是弧．但比半圓大的弧是優(yōu)弧，比半圓小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圓，是真命題，故此說法正確． 其中錯誤說法的是①③兩個． 故選：B． 3．（2018·上海中考模擬）下列說法中，正確的個數(shù)共有（　?。? （1）一個三角形只有一個外接圓； （2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形； （3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等； （4）三角形的內心到該三角形三個頂點距離相等； A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【詳解】 （1）一個三角形只有一個外接圓，正確； （2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確； （3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，正確； （4）三角形的內心是三個內角平分線的交點，到三邊的距離相等，錯誤； 故選：C． 4．（2018·湖北中考模擬）有下列說法：①等弧的長度相等；②直徑是圓中最長的弦；③相等的圓心角對的弧相等；④圓中90°角所對的弦是直徑；⑤同圓中等弦所對的圓周角相等．其中正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】B 【解析】試題解析： 同圓或等圓中，能夠相互重合的弧叫等弧，所以長度相等，故正確； 連接圓上任意兩點的線段叫做弦，所以直徑是最長的弦，故正確； 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤； 圓中90°圓周角所對的弦是直徑，故錯誤； 弦所對的圓周角可在圓心一側，也可在另一側，這兩個圓周角互補，但不一定相等，所以同圓中等弦所對的圓周角也不一定相等，故錯誤. 綜上所述，正確的結論有2個，故應選B. 5．（2017·廣東中考模擬）如圖，在⊙O中，AB為直徑，CD為弦，已知∠ACD＝40°，則∠BAD的度數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：∵在⊙O中，AB為直徑， ∴∠ADB=90°， ∵∠B=∠ACD=40°， ∴∠BAD=90°﹣∠B=50°． 故選D． 【考查題型匯總】 考查題型一 利用圓的半徑相等進行相關計算 1．（2019·浙江省杭州第七中學中考模擬）如圖，A、C、B是⊙O上三點，若∠AOC=40°，則∠ABC的度數(shù)是（ ）． A．10° B．20° C．40° D．80° 【答案】B 【解析】 根據(jù)同一弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半,所以∠ACB的度數(shù)等于∠AOB的一半,故選B 2．（2018·黑龍江中考模擬）如圖，點A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，則∠B的度數(shù)是（　　） A．70° B．80° C．110° D．140° 【答案】C 【解析】 詳解：作AC對的圓周角∠APC，如圖， ∵∠P=12∠AOC=12×140°=70° ∵∠P+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣70°=110°， 故選：C． 3．（2019·四川省平昌中學中考模擬）如圖，在⊙O中，直徑CD⊥弦AB，則下列結論中正確的是　　 A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD 【答案】B 【詳解】 解：∵直徑CD⊥弦AB， ∴弧AD =弧BD， ∴∠C=12∠BOD． 故選B． 4．（2018·貴州中考模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，⊙O的半徑為4，則AC的長等于（　?。? A．43 B．63 C．23 D．8 【答案】A 【解析】 試題解析：連接OA，OC，過點O作OD⊥AC于點D， ∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC， ∴∠COD=∠B=60°； 在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°， ∴CD=32OC=23， ∴AC=2CD=43． 故選A． 5．（2019·云南中考模擬）如圖，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，則∠ADC的度數(shù)為（　　） A．70° B．45° C．35° D．30° 【答案】C 【詳解】 解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°， ∴=AC， ∴∠ADC=12∠AOB=35°． 故選C． 6．（2019·廣西中考模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（A、B除外），∠AOD＝136°，則∠C的度數(shù)是（ ） A．44° B．22° C．46° D．36° 【答案】B 【詳解】 ∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故選：B． 考查題型二 圓心角與圓周角的關系解題 1．（2019·武漢市第四十六中學中考模擬）如圖，BE是⊙O的直徑，半徑OA⊥弦BC，點D為垂足，連AE、EC． （1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度數(shù)； （2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半徑． 【答案】（1）56°．（2）3. 【詳解】 解：1連接OC． ∵半徑OA⊥弦BC， ∴AC=AB， ∴∠AOC=∠AOB， ∵∠AOC=2∠AEC=56°， ∴∠AOB=56°． 2∵BE是⊙O的直徑， ∴∠ECB=90°， ∵AC=AB ∴∠AEC=∠BEA， ∵∠BEA=∠B， ∴∠B=∠AEB=∠AEC ∵∠B+∠AEB+∠AEC=180°， ∴∠B=∠AEB=∠AEC=30°， ∵EC=3， ∴EB=2EC=6， ∴⊙O的半徑為3． 2．（2018·吉林中考模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是AB延長線上的點，CD與⊙O相切于點D，連結BD、AD． （1）求證；∠BDC＝∠A． （2）若∠C＝45°，⊙O的半徑為1，直接寫出AC的長． 【答案】（1）詳見解析；（2）1+2 【詳解】 (1)證明：連結OD．如圖， ∵CD與⊙O相切于點D， ∴OD⊥CD， ∴∠2+∠BDC＝90°， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°，即∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠BDC， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠A， ∴∠BDC＝∠A； （2）解：在Rt△ODC中，∵∠C＝45°， ∴OC=2OD=2∴AC=OA+OC=1+2 3．（2019·蘇州高新區(qū)實驗初級中學中考模擬）已知：如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB，垂足為點E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的長． 【答案】43 【詳解】 解：連接OD，設⊙O的半徑為r，則OE＝r﹣2， ∵∠BAD＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∵CD⊥AB， ∴CD＝2DE，∠ODE＝30°， ∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4； ∴OE＝4﹣2＝2， ∴DE＝OD2-OE2＝42-22＝23， ∴CD＝2DE＝43． 知識點二 圓的基本性質 n 對稱性 1. 圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線 2. 圓是中心對稱圖形。 n 垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。? 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? 常見輔助線做法（考點）： 1） 過圓心，作垂線，連半徑，造RT△，用勾股，求長度； 2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分． n 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。 推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等 n 圓周角定理（考點） 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等． 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． （在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角） n 圓內接四邊形 性質：圓內接四邊形的對角互補，一個外角等于其內對角． 【考查題型匯總】 考查題型三 運用垂徑定理進行相關計算 1．（2019·蘇州高新區(qū)第四中學校中考模擬）如圖，等腰△ABC內接于半徑為5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC＝13．求BC的長． 【答案】BC＝6． 【詳解】 連接AO，交BC于點E，連接BO， ∵AB＝AC， ∴AB=AC， 又∵OA是半徑， ∴OA⊥BC，BC＝2BE， 在Rt△ABE中，∵tan∠ABC＝13， ∴AEBE=13， 設AE＝x，則BE＝3x，OE＝5﹣x， 在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2， ∴(3x)2+(5﹣x)2＝52， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝1， ∴BE＝3x＝3， ∴BC＝2BE＝6． 2．（2019·四川省平昌中學中考模擬）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點E，連結EC．若AB＝8，CD＝2． （1）求OD的長． （2）求EC的長． 【答案】（1）5 （2）213 【詳解】 解：(1)設⊙O半徑為r，則OA＝OD＝r，OC＝r﹣2， ∵OD⊥AB， ∴∠ACO＝90°， AC＝BC＝12AB＝4， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2， r＝5， ∴OD＝r＝5； (2)連接BE，如圖： 由(1)得：AE＝2r＝10， ∵AE為⊙O的直徑， ∴∠ABE＝90°， 由勾股定理得：BE＝6， 在Rt△ECB中，EC＝BE2+BC2＝62+42＝213． 故答案為：(1)5；(2)213. 13．（2019·廣東中考模擬）如圖，OD是⊙O的半徑，AB是弦，且OD⊥AB于點C連接AO并延長交⊙O于點E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半徑OA的長． 【答案】r＝5 【詳解】 解：∵OD⊥弦AB，AB＝8， ∴AC＝12AB=12×8＝4， 設⊙O的半徑OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中， r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5 考查題型四 利用垂徑定理解決實際問題 1．（2018·山東中考模擬）某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑．如圖，若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑． 【答案】10cm 【解析】 解：過點O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，連接OB， ∵OC⊥AB ∴BD=12AB=12×16=8cm 由題意可知，CD=4cm ∴設半徑為xcm，則OD=（x﹣4）cm 在Rt△BOD中， 由勾股定理得：OD2+BD2=OB2 （x﹣4）2+82=x2 解得：x=10． 答：這個圓形截面的半徑為10cm． 2．（2017·江西南昌二中中考模擬）用工件槽（如圖1）可以檢測一種鐵球的大小是否符合要求，已知工件槽的兩個底角均為90°，尺寸如圖（單位：cm）．將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內時，若同時具有圖1所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖2是過球心O及A、B、E三點的截面示意圖，求這種鐵球的直徑． 【答案】20㎝． 【解析】 連接OA、OE，設OE與AB交于點P，如圖 ∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD ∴四邊形ACDB是矩形 ∵CD=16cm，PE=4cm ∴PA=8cm，BP=8cm， 在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2 即OA2=82+（OA﹣4）2 解得：OA=10． 答：這種鐵球的直徑為20cm． 3．（2018·山東中考模擬）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)請你用直尺和圓規(guī)作出這個輸水管道的圓形截面的圓心(保留作圖痕跡)； (2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝8 cm，水面最深地方的高度為2 cm，求這個圓形截面的半徑． 【答案】（1）詳見解析；（2）這個圓形截面的半徑是5 cm. 【詳解】 (1)如圖，作線段AB的垂直平分線l，與弧AB交于點C，作線段AC的垂直平分線l′與直線l交于點O，點O即為所求作的圓心． (2)如圖，過圓心O作半徑CO⊥AB，交AB于點D， 設半徑為r，則AD＝12AB＝4，OD＝r－2， 在Rt△AOD中，r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5， 答：這個圓形截面的半徑是5 cm. 考查題型五 圓心角、弧、弦的關系的應用 1．（2019·富順縣趙化中學校中考真題）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點E,AB=CD,連接AD、BC. 求證：⑴AD=BC； ⑵AE=CE. 【答案】（1）見解析；（2）見解析. 【詳解】 證明（1）∵AB=CD， ∴AB=CD，即AD+AC=BC+AC， ∴AD=BC； （2）∵AD=BC， ∴AD=BC， 又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE． 2．（2018·上海中考模擬）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直徑． 求證：BD=CD． 【答案】見解析 【詳解】 證明：∵AB=AC， ∴AB=AC ∴∠ADB=∠ADC， ∵AD是⊙O的直徑， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠BAD=∠DAC， ∴BD=CD ∴BD=CD． 3．（2019·江西中考模擬）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，M為弧CD的中點，連接AM，BM，求證：AM＝BM． 【答案】見解析. 【詳解】 ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD＝BC， ∴弧AD=弧BC， ∵M為弧CD中點， ∴弧MD=弧MC， ∴弧AM=弧BM， ∴AM＝BM． 考查題型六 圓周角定理求角的度數(shù) 1．（2019·遼寧中考模擬）如圖，AB是⊙O直徑，若∠AOC＝140°，則∠D的度數(shù)是（　?。? A．20° B．30° C．40° D．70° 【答案】A 【詳解】 ∵∠AOC＝140°， ∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°， ∵∠BOC 與∠BDC 都對AMFM=AEFO=153=35， ∴∠D＝12∠BOC＝20°， 故選A． 2．（2018·江蘇中考真題）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD=50°，則∠ACD=_____°． 【答案】40 【詳解】 連接BD，如圖， ∵AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°， ∴∠ACD=∠ABD=40°， 故答案為：40． 3．（2019·江蘇中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，∠AOC=120°，則∠CDB=_____°． 【答案】30 【詳解】 ∵∠BOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°， ∴∠CDB＝12∠BOC=30°． 故答案為：30． 4．（2019·黑龍江中考真題）如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，點D在圓上且∠ADC=30°，則∠AOB的度數(shù)為_____． 【答案】60° 【詳解】 ∵OA⊥BC， ∴AB=AC， ∴∠AOB=2∠ADC， ∵∠ADC=30°， ∴∠AOB=60°， 故答案為60°． 考查題型七 圓周角定理推論的應用 1．（2018·北京中考真題）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，則∠ADB=________． 【答案】70° 【解析】 詳解：∵CB=CD， ∴∠CAB=∠CAD=30°， ∴， ∵∠ABD=∠ACD=50°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=70°． 故答案為：70°. 2．（2018·貴州中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為半圓的三等分點，CE⊥AB于點E，∠ACE的度數(shù)為_____． 【答案】30° 【詳解】 如圖，連接OC． ∵AB是直徑，AC=CD=BD， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等邊三角形， ∴∠A=60°， ∵CE⊥OA， ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=90°﹣60°=30°． 故答案為30° 3.（2019·湖南中考真題）如圖，C、D兩點在以AB為直徑的圓上，AB=2，∠ACD=30°，則AD=_______． 【答案】1 【詳解】 解：∵AB為直徑， ∴∠ADB=90°， ∵∠B=∠ACD=30°， ∴AD=12AB=12×2=1． 故答案為1． 考查題型八 利用圓內接四邊形的性質定理求角的度數(shù) 1．（2019·吉林中考模擬）如圖，四邊形ABCD是半圓的內接四邊形，AB是直徑，DC=CB．若∠C=110°，則∠ABC的度數(shù)等于（ ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】A 【詳解】 連接AC， ∵四邊形ABCD是半圓的內接四邊形， ∴∠DAB=180°-∠C=70°， ∵DC=CB， ∴∠CAB=12∠DAB=35°， ∵AB是直徑， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°， 故選A． 2．（2019·四川中考真題）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，P為DE上的一點（點P不與點D重合），則∠CPD的度數(shù)為（ ） A．30° B．36° C．60° D．72° 【答案】B 【詳解】 連接CO、DO，正五邊形內心與相鄰兩點的夾角為72°，即∠COD=72°， 同一圓中，同弧或同弦所對應的圓周角為圓心角的一半， 故∠CPD=72°×12=36°, 故選B. 3．（2019·廣東中考模擬）如圖，△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝40°，點D是劣弧BC上一點，連結CD、BD，則∠D的度數(shù)是( ) A．50° B．45° C．140° D．130° 【答案】D 【詳解】 ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°， ∴∠A=90°-∠ACB=90°-40°=50°， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=180°-50°=130°． 故選D． 4．（2018·遼寧中考模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠B=80°，則∠ADC的度數(shù)是（　?。? A．60° B．80° C．90° D．100° 【答案】D 【詳解】 ∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形， ∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°. 故選D. 知識點三 與圓有關的位置關系 n 點與圓的位置有三種： 位置關系 圖形 定義 性質及判定 點在圓外 點在圓的外部 d>r?點P在⊙O的外部. 點在圓上 點在圓周上 d=r?點P在⊙O的圓周上. 點在圓內 點在圓的內部 d<r?點P在⊙O的內部. 三點定圓的方法： 1）經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點O為圓心，以OA的長為半徑，即可作出過點A的圓，這樣的圓有無數(shù)個． 2）經(jīng)過兩點A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點O作為圓心，以OA的長為半徑，即可作出過點A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個． 3）經(jīng)過三點時： 情況一：過三點的圓：若這三點A、B、C共線時，過三點的圓不存在； 情況二：若A、B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個． 定理：不在同一直線上的三點確定一個圓． 反證法：首先假設某命題結論不成立（即假設經(jīng)過同一條直線上的三個點可以作一個圓），然后推理出與定義、已有定理或已知條件明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證。 【考查題型匯總】 考查題型九 點與圓的位置關系 1．（2018·北京中考模擬）在平面直角坐標系xOy中，若點P（4，3）在⊙O內，則⊙O的半徑r的取值范圍是（ ） A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5 【答案】D 【詳解】∵O（0，0），P（3，4）， ∴OP=， ∵點P(3,4)在⊙O內，⊙O的半徑r， ∴r>5， 故選D. 2．（2017·遼寧中考模擬）矩形ABCD中，AB＝8，，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P 為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）． A．點B、C均在圓P外； B．點B在圓P外、點C在圓P內； C．點B在圓P內、點C在圓P外； D．點B、C均在圓P內． 【答案】C 【詳解】 ∵AB=8，點P在邊AB上，且BP=3AP ∴AP=2， ∴根據(jù)勾股定理得出，r=PD==7， PC==9， ∵PB=6＜r，PC=9＞r ∴點B在圓P內、點C在圓P外,故選C． 3．（2019·上海中考模擬）在直角坐標平面內，點O是坐標原點，點A的坐標是（3，2），點B的坐標是（3，﹣4）．如果以點O為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點A、B中有一點在圓O內，另一點在圓O外，那么r的值可以取（　?。? A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【詳解】 ∵點A的坐標是（3，2），點B的坐標是（3，﹣4）， ∴OA＝32+22=13， OB＝32+42＝5， ∵以點O為圓心，r為半徑的圓O與直線AB相交，且點A、B中有一點在圓O內，另一點在圓O外， ∴13＜r＜5， ∴r＝4符合要求． 故選B． 4．（2016·四川中考模擬）已知矩形ABCD的邊AB=15，BC=20，以點B為圓心作圓，使A，C，D三點至少有一點在⊙B內，且至少有一點在⊙B外，則⊙B的半徑r的取值范圍是（ ）. A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25 【答案】C 【解析】 當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，則BD===25．由圖可知15＜r＜25，故選C． n 直線和圓的位置關系 位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關系如下表： 位置關系 圖形 定義 性質及判定 相離 直線與圓沒有公共點 d>r?直線l與⊙O相離 相切 直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點 d=r?直線l與⊙O相切 相交 直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線 d<r?直線l與⊙O相交 切線的性質及判定（重點） 切線的性質： 定理：圓的切線垂直于過切點的半徑． 切線的判定 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長． 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角． 三角形內切圓概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形． 【考查題型匯總】 考查題型十 直線與圓的位置關系的應用 1．（2019·吉林中考模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以點C為圓心，以2cm長為半徑作圓，試判斷⊙C與AB的位置關系． 【答案】相切 【詳解】 作CD⊥AB于點D， ∵∠B＝30°，BC＝4cm， ∴CD＝BC＝2cm， 即CD等于圓的半徑． ∵CD⊥AB， ∴AB與⊙C相切． 2．（2014·福建中考模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半徑為7，判斷⊙A與直線BC的位置關系，并說明理由． 【答案】⊙A與直線BC相交．理由見解析. 【解析】 ⊙A與直線BC相交． 過A作AD⊥BC，垂足為點D． ∵AB=AC，BC=16， ∴BD=12BC=12×16=8， 在Rt△ABC中，AB=10，BD=8， ∴AD=AB2-BD2=102-82=6， ∵⊙O的半徑為7， ∴AD＜r，⊙A與直線BC相交． 考查題型十一 利用切線的判定定理判定直線為切線的方法 1．（2018·山東中考模擬）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD=90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC=∠BAC． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）若AC∥DE，當AB=8，CE=2時，求AC的長． 【答案】（1）證明見解析；（2）AC的長為． 【解析】 （1）如圖，連接BD， ∵∠BAD=90°， ∴點O必在BD上，即：BD是直徑， ∴∠BCD=90°， ∴∠DEC+∠CDE=90°． ∵∠DEC=∠BAC， ∴∠BAC+∠CDE=90°． ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE=90°， ∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE． ∵點D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切線； （2）∵DE∥AC． ∵∠BDE=90°， ∴∠BFC=90°， ∴CB=AB=8，AF=CF=AC， ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°， ∴∠CDE=∠CBD． ∵∠DCE=∠BCD=90°， ∴△BCD∽△DCE， ∴， ∴， ∴CD=4． 在Rt△BCD中，BD==4， 同理：△CFD∽△BCD， ∴， ∴， ∴CF=， ∴AC=2AF=． 2．（2019·四川中考模擬）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠B＝30°，延長BA到D，使∠BDC＝30°． (1)求證：DC是⊙O的切線； (2)若AB＝2，求DC的長． 【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】 （1）連接OC． ∵OB=OC，∠B=30°， ∴∠OCB=∠B=30°， ∴∠COD=∠B+∠OCB=60°， ∵∠BDC=30°， ∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC， ∵BC是弦， ∴點C在⊙O上， ∴DC是⊙O的切線，點C是⊙O的切點； （2）解：∵AB=2， ∴OC=OB==1， ∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°， ∴DC=OC=. 考查題型十二 三角形內心的應用 1．（2018·河北中考真題）如圖，點I為△ABC的內心，AB=4，AC=3，BC=2，將∠ACB平移使其頂點與I重合，則圖中陰影部分的周長為（　?。? A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【詳解】連接AI、BI， ∵點I為△ABC的內心， ∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI=∠BAI， 由平移得：AC∥DI， ∴∠CAI=∠AID， ∴∠BAI=∠AID， ∴AD=DI， 同理可得：BE=EI， ∴△DIE的周長=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4， 即圖中陰影部分的周長為4， 故選B． 2．（2019·臺灣中考真題）如圖，直角三角形的內切圓分別與、相切于點、點，根據(jù)圖中標示的長度與角度，求的長度為何？（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 解：設， ∵直角三角形的內切圓分別與、相切于點、點， ， ，， 在中，，解得， 即的長度為． 故選：D． 3．（2019·安徽中考模擬）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點I是△ABC的內心，∠AIC=124°，點E在AD的延長線上，則∠CDE的度數(shù)為（　?。? A．56° B．62° C．68° D．78° 【答案】C 【解析】 ∵點I是△ABC的內心， ∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA， ∵∠AIC=124°， ∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB） =180°﹣2（∠IAC+∠ICA） =180°﹣2（180°﹣∠AIC） =68°， 又四邊形ABCD內接于⊙O， ∴∠CDE=∠B=68°， 故選C． 考察題型十三 利用切線長定理進行計算 1．（2019·河南中考模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線．交BC于點E． （1）求證：BE=EC （2）填空：①若∠B=30°，AC=2，則DB=______； ②當∠B=______度時，以O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形． 【答案】（1）見解析；（2）①3；②45. 【詳解】 （1）證明：連接DO． ∵∠ACB=90°，AC為直徑， ∴EC為⊙O的切線； 又∵ED也為⊙O的切線， ∴EC=ED， 又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠BDE+∠A=90° 又∵∠B+∠A=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴BE=ED， ∴BE=EC； （2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2， ∴AB=2AC=4， ∴BC==6， ∵AC為直徑， ∴∠BDC=∠ADC=90°， 由（1）得：BE=EC， ∴DE=BC=3， 故答案為3； ②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，理由如下： ∵∠ACB=90°， ∴∠A=45°， ∵OA=OD， ∴∠ADO=45°， ∴∠AOD=90°， ∴∠DOC=90°， ∵∠ODE=90°， ∴四邊形DECO是矩形， ∵OD=OC， ∴矩形DECO是正方形． 故答案為45． 2．（2019·陜西高新一中中考模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，與邊BC交于點F，過點E作EH⊥AB于點H，連接BE (1)求證：EH＝EC； (2)若AB＝4，sinA＝，求AD的長． 【答案】（1）證明見解析（2） 【詳解】 (1)如圖，連接OE， ∵AC與⊙O相切， ∴OE⊥AC，且BC⊥AC， ∴OE∥BC ∴∠CBE＝∠OEB， ∵EO＝OB， ∴∠EBO＝∠OEB ∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB， ∴CE＝EH (2)∵sinA＝=， ∴設OE＝2a，AO＝3a，(a≠0) ∴OB＝2a， ∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4 ∴a＝， ∵AD＝AB﹣BD＝4﹣4a ∴AD＝. 3．（2019·山東中考模擬）如圖，CD是⊙O的切線，點C在直徑AB的延長線上． （1）求證：∠CAD=∠BDC； （2）若BD=AD，AC=3，求CD的長． 【答案】（1）證明見解析；（2）CD=2． 【解析】 （1）證明：連接OD，如圖所示． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB． ∵CD是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑， ∴∠ODB+∠BDC=90°． ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∴∠OBD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BDC． （2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB， ∴△CDB∽△CAD， ∴． ∵BD=AD， ∴， ∴， 又∵AC=3， ∴CD=2． 考查題型十四 直角三角形周長、面積與內切圓半徑的應用 1．（2019·四川中考真題）已知關于的一元二次方程. （1）求證：無論為任何實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根； （2）若方程的兩個實數(shù)根為、，滿足，求的值； （3）若△的斜邊為5，另外兩條邊的長恰好是方程的兩個根、，求的內切圓半徑. 【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）1 【詳解】 （1）證明：∵， 無論為任何實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根. （2）由題意得：，， 即， 解得：； （3）解： 解方程得：， 根據(jù)題意得：，即 設直角三角形的內切圓半徑為，如圖， 由切線長定理可得：， 直角三角形的內切圓半徑=； 2．（2017·江蘇中考模擬）實踐操作如圖，∠△ABC是直角三角形，∠ACB=90，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母.(保留作圖痕跡，不寫作法) ①作∠BAC的平分線，交BC于點0 ②以點0為圓心，OC為半徑作圓.綜合運用在你所作的圖中， (1)直線AB與⊙0的位置關系是 (2)證明:BA·BD=BC·BO; (3)若AC=5,BC=12，求⊙0的半徑 【答案】實踐操作，作圖見解析；綜合運用：（1）相切；（2）證明見解析；（3） 【解析】 實踐操作，如圖所示： 綜合運用： 綜合運用： （1）AB與⊙O的位置關系是相切． ∵AO是∠BAC的平分線， ∴DO=CO， ∵∠ACB=90°， ∴∠ADO=90°， ∴AB與⊙O的位置關系是相切； （2）∵AB、AC是切線 ∴∠BDO=∠BCA=90° 又∠DBC=∠CBA ∴ΔBDO∽ΔCBA ∴ 即： （3）因為AC=5，BC=12， 所以AD=5，AB=13， 所以DB=13﹣5=7， 設半徑為x ，則OC=OD=x ，BO=（12﹣x）， x2+82=（12﹣x）2， 解得：x=． 答：⊙O的半徑為． 考查題型十五 圓內接四邊形綜合 1.（2016·浙江中考真題）如圖，已知四邊形ABCD內接于圓O，連結BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°． （1）求證：BD=CD； （2）若圓O的半徑為3，求的長． 【答案】（1）證明過程見解析；（2）π 【解析】 （1）∵四邊形ABCD內接于圓O， ∴∠DCB+∠BAD=180°， ∵∠BAD=105°， ∴∠DCB=180°﹣105°=75°， ∵∠DBC=75°， ∴∠DCB=∠DBC=75°， ∴BD=CD； （2）∵∠DCB=∠DBC=75°， ∴∠BDC=30°， 由圓周角定理，得，的度數(shù)為：60°， 故===π， 答：的長為π． 2．（2017·江蘇中考模擬）如圖所示，⊙C過原點，且與兩坐標軸分別交于點A，B兩點，點A的坐標為（0，3），M是第三象限內OB上一點，∠BMO＝120°，求⊙C的半徑． 【答案】3. 【詳解】 ∵四邊形ABMO是圓內接四邊形，∠BMO=120°， ∴∠BAO=60°， ∵AB是⊙C的直徑， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°， ∵點A的坐標為（0，3）， ∴OA=3， ∴AB=2OA=6， ∴⊙C的半徑長=AB2=3 n 圓和圓的位置關系 圓和圓的位置關系的定義、性質及判定：設⊙O1、⊙O2的半徑分別為R、r（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關系如下表： 位置關系 圖形 定義 性質及判定 外離 兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部． d>R+r?兩圓外離 外切 兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，每個圓上的點都在另一個圓的外部． d=R+r?兩圓外切 相交 兩個圓有兩個公共點． R-r<d<R+r?兩圓相交 內切 兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，一個圓上的點都在另一個圓的內部． d=R-r?兩圓內切 內含 兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部，兩圓同心是兩圓內含的一種特例． 0≤d<R-r?兩圓內含 【說明】圓和圓的位置關系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離與內含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內切與外切兩種情況． 【考查題型匯總】 考查題型十六 圓與圓的位置關系 1．（2019·上海中考真題）已知⊙A與⊙B外切，⊙C與⊙A、⊙B都內切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半徑長是（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【詳解】 設⊙A的半徑為X,⊙B的半徑為Y,⊙C的半徑為Z. 解得 故選C 2．（2019·福建中考模擬）如圖，已知∠POQ=30°，點A、B在射線OQ上（點A在點O、B之間），半徑長為2的⊙A與直線OP相切，半徑長為3的⊙B與⊙A相交，那么OB的取值范圍是（　?。? A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 【答案】A 【詳解】設⊙A與直線OP相切時切點為D，連接AD， ∴AD⊥OP， ∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4， 當⊙B與⊙A相內切時，設切點為C，如圖1， ∵BC=3， ∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5； 當⊙A與⊙B相外切時，設切點為E，如圖2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9， ∴半徑長為3的⊙B與⊙A相交，那么OB的取值范圍是：5＜OB＜9， 故選A． 3．（2019·上海市南塘中學中考模擬） 已知⊙的半徑長是5，點在上，且，如果⊙與⊙有公共點，那么⊙的半徑長的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 解：∵⊙的半徑長是5，點在上，且， ∴點到⊙的最大距離為8，最小距離為2， ∵⊙與⊙有公共點， ∴． 故選D． 4．（2011·江蘇中考真題）在△ABC中，∠C=90°．AC=3cm．BC=4cm，若⊙A．⊙B的半徑分別為1cm，4cm．則⊙A與⊙B的位置關系是 ( ) A．外切 B．內切 C．相交 D．外離 【答案】A 【詳解】 解： ∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm， ∴AB==5cm， ∵⊙A，⊙B的半徑分別為1cm，4cm， 又∵1+4=5， ∴⊙A與⊙B的位置關系是外切． 故選A． 5．（2019·上海中考模擬）已知⊙和⊙，其中⊙為大圓，半徑為3．如果兩圓內切時圓心距等于2，那么兩圓外切時圓心距等于（ ） A．1 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【詳解】 解：已知⊙為大圓，半徑為3．如果兩圓內切時圓心距等于2， 故⊙半徑為1， 故兩圓外切時圓心距等于3＋1＝4. 故選B. 考查題型十七 利用圓的相關知識解決動態(tài)問題 1．（2019·河南中考模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點D、E位于AB兩側的半圓上，射線DC切⊙O于點D，已知點E是半圓弧AB上的動點，點F是射線DC上的動點，連接DE、AE，DE與AB交于點P，再連接FP、FB，且∠AED＝45°． （1）求證：CD∥AB； （2）填空： ①當∠DAE＝　 　時，四邊形ADFP是菱形； ②當∠DAE＝　 　時，四邊形BFDP是正方形． 【答案】（1）詳見解析；（2）①67.5°；②90°． 【分析】 （1）要證明CD∥AB，只要證明∠ODF＝∠AOD即可，根據(jù)題目中的條件可以證明∠ODF＝∠AOD，從而可以解答本題； （2）①根據(jù)四邊形ADFP是菱形和菱形的性質，可以求得∠DAE的度數(shù)； ②根據(jù)四邊形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度數(shù)． 【詳解】 （1）證明：連接OD，如圖所示， ∵射線DC切⊙O于點D， ∴OD⊥CD， 即∠ODF＝90°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AOD＝2∠AED＝90°， ∴∠ODF＝∠AOD， ∴CD∥AB； （2）①連接AF與DP交于點G，如圖所示， ∵四邊形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD， ∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG， ∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°， ∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°， ∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°， 故答案為：67.5°； ②∵四邊形BFDP是正方形， ∴BF＝FD＝DP＝PB， ∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°， ∴此時點P與點O重合， ∴此時DE是直徑， ∴∠EAD＝90°， 故答案為：90°． 知識點四 正多邊形和圓 n 正多邊形 正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內角也都相等的多邊形叫做正多邊形． 正多邊形的相關概念： Ø 正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心． Ø 正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑． Ø 正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角． Ø 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距． 半徑、邊心距，邊長之間的關系： 畫圓內接正多邊形方法： 1） 量角器 （作法操作復雜，但作圖較準確） 2） 量角器+圓規(guī) （作法操作簡單，但作圖受取值影響誤差較大） 3） 圓規(guī)+直尺 （適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…..） n 圓錐 設⊙O的半徑為R，n°圓心角所對弧長為l， 弧長公式：l=nπR180 （弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關） 扇形面積公式：S扇形=n360πR2=12lR 母線的概念：連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段。 圓錐體表面積公式：S=πR2+πRl（l為母線） 備注：圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積 常見組合圖形的周長、面積的幾種常見方法： ① 公式法；② 割補法；③ 拼湊法；④ 等積變換法 【考查題型匯總】 考查題型十七 正多邊形的有關計算 1．（2013·四川中考真題）如圖，要擰開一個邊長為a＝6 mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為( ) A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm 【答案】C 【解析】 設正多邊形的中心是O，其一邊是AB， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四邊形ABCO是菱形， ∵AB=6mm,∠AOB=60°， ∴cos∠BAC=， ∴AM=6×= (mm)， ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， ∴AM=MC=AC， ∴AC=2AM= (mm). 故選C. 2．（2015·廣東中考模擬）正多邊形的中心角是36°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是( ) A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【解析】 試題分析：設這個正多邊形的邊數(shù)是n， ∵正多邊形的中心角是36°， ∴360n=36°， 解得n=10． 故選A． 考查題型十八 弧長、扇形面積與圓錐側面積的計算方法 1．（2019·盤錦市雙臺子區(qū)第四中學中考模擬）.如圖，圓錐側面展開得到扇形，此扇形半徑 CA=6，圓心角∠ACB=120°， 則此圓錐高 OC 的長度是_______． 【答案】4 【詳解】 設圓錐底面圓的半徑為 r， ∵AC=6，∠ACB=120°， ∴=2πr， ∴r=2，即：OA=2， 在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根據(jù)勾股定理得，OC==4， 故答案為4． 2．（2019·貴州中考真題）如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑，扇形的圓心角，則該圓錐的母線長為___． 【答案】6. 【詳解】 圓錐的底面周長cm， 設圓錐的母線長為，則： ， 解得， 故答案為． 3．（2019·內蒙古中考模擬）如圖，從直徑為4cm的圓形紙片中，剪出一個圓心角為90°的扇形OAB，且點O、A、B在圓周上，把它圍成一個圓錐，則圓錐的底面圓的半徑是_____cm． 【答案】 【詳解】 解：設圓錐的底面圓的半徑為r， 連結AB，如圖， ∵扇形OAB的圓心角為90°， ∴∠AOB＝90°， ∴AB為圓形紙片的直徑， ∴AB＝4cm， ∴OB＝cm， ∴扇形OAB的弧AB的長＝π， ∴2πr＝π， ∴r＝（cm）． 故答案為． 考查題型十九 應用弧長公式解決運動軌跡或掃過面積問題 1．（2019·四川中考真題）如圖，在中，，將△AOC繞點O順時針旋轉后得到，則AC邊在旋轉過程中所掃過的圖形的面積