數(shù)學第八章 立體幾何 第四節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 文

第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)總綱目錄教材研讀1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點突破2.面面平行的判定與性質(zhì)考點二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考點二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考點一直線與平面平行的判定和性質(zhì)考點三平行關(guān)系的綜合問題考點三平行關(guān)系的綜合問題1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)教材研讀教材研讀 判定性質(zhì)定義定理圖形條件a= a,b , ab a a,a,=b 結(jié)論aba=ab2.面面平行的判定與性質(zhì)面面平行的判定與性質(zhì) 判定判定性質(zhì)性質(zhì)定義定義定理定理圖形圖形條件條件= a,b, ab=P,a,b , =a, =b ,a結(jié)論結(jié)論aba與兩個平面平行有關(guān)的結(jié)論與兩個平面平行有關(guān)的結(jié)論(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.(2)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(3)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例.(4)如果兩個平面分別平行于第三個平面,那么這兩個平面互相平行.(5)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個平面平行.1.若兩條直線都與一個平面平行,則這兩條直線的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.異面 D.以上均有可能答案答案 D與一個平面平行的兩條直線可以平行、相交,也可以異面.D2.(2018北京朝陽期中)已知m,n表示兩條不同的直線,表示平面,下列說法正確的是()A.若m,n,則mn B.若m,mn,則nC.若m,mn,則n D.若m,mn,則n答案答案 D A項,直線m與直線n也可能相交或異面;B項,也可能n或直線n與平面相交但不垂直;C項,也可能n;只有D項正確,故選D.D3.(2016北京朝陽二模)已知m,n,l為三條不同的直線,為三個不同的平面,則下列命題中正確的是()A.若ml,nl,則mn B.若m,n,則mnC.若m,n,則mn D.若,則答案答案 C選項A中,若ml,nl,則m與n可平行,可相交,也可異面,故A錯;選項B中,若m,n,則m與n可平行,可相交,也可異面,故B錯;選項D中,若,則與可平行,可相交,故D錯.選項C正確.C4.(2016北京朝陽期末)給出四個命題:平行于同一平面的兩個不重合的平面平行;平行于同一直線的兩個不重合的平面平行;垂直于同一平面的兩個不重合的平面平行;垂直于同一直線的兩個不重合的平面平行.其中真命題的序號是 .答案答案解析解析若,則,即平行于同一平面的兩個不重合的平面平行,故正確;若a,a,則與平行或相交,故錯誤;若,則平面與平行或相交,故錯誤;若a,a,則與平行,故正確.故真命題為.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的是 (只填序號).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1.解析解析如圖,因為ABC1D1,所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,故AD1BC1,從而正確;易證BDB1D1,AB1DC1,又AB1B1D1=B1,BDDC1=D,故平面AB1D1平面BDC1,從而正確;由圖易知AD1與DC1異面,故錯誤;答案答案因AD1BC1,AD1 平面BDC1,BC1平面BDC1,故AD1平面BDC1,故正確.考點一直線與平面平行的判定和性質(zhì)考點一直線與平面平行的判定和性質(zhì)考點突破考點突破典例典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分別為AC,A1C1的中點.求證:(1)AD1平面BDC1;(2)BD平面AB1D1.證明證明(1)D1,D分別為A1C1與AC的中點,四邊形ACC1A1為平行四邊形,C1D1DA,四邊形ADC1D1為平行四邊形,AD1C1D,又AD1 平面BDC1,C1D平面BDC1,AD1平面BDC1.(2)連接D1D,BB1平面ACC1A1,BB1平面BB1D1D,平面ACC1A1平面BB1D1D=D1D,BB1D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點,BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,BDB1D1,又BD 平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,BD平面AB1D1.方法技巧方法技巧證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a ,b,aba);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa);(4)利用面面平行的性質(zhì)(,a ,aa).變式變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點”變?yōu)椤癉,D1分別為AC,A1C1上的點”,則當?shù)扔诤沃禃r,BC1平面AB1D1?1111ADDC解析解析當=1時,BC1平面AB1D1.如圖,取D1為線段A1C1的中點,1111ADDC此時=1,連接A1B交AB1于點O,連接OD1,由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形,O為A1B的中點,在A1BC1中,點O,D1分別為A1B,A1C1的中點,1111ADDCOD1BC1,又OD1平面AB1D1,BC1 平面AB1D1,BC1平面AB1D1,當=1時,BC1平面AB1D1.1111ADDC變式變式1-2若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點”變?yōu)椤癉,D1分別為AC,A1C1上的點且平面BC1D平面AB1D1”,則為何值?ADDC解析解析 如圖,連接A1B交AB1于O,連接OD1,則易知A1O=OB.由平面BC1D平面AB1D1,且平面A1BC1平面BC1D=BC1,平面A1BC1平面AB1D1=D1O,得BC1D1O,=,同理可得AD1DC1,則易知=,又=1,=1,即=1.1111ADDC1AOOB1111ADDCDCAD1AOOBDCADADDC典例典例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1平面BCHG.考點二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考點二平面與平面平行的判定與性質(zhì)證明證明(1)G,H分別是A1B1,A1C1的中點,GH是A1B1C1的中位線,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四點共面.(2)E,F分別是AB,AC的中點,EFBC.EF 平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.易知A1GEB,四邊形A1EBG是平行四邊形,A1EGB.A1E 平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.方法技巧方法技巧證明面面平行的常用方法(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進行證明.2-1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,如圖.(1)求證:平面AB1D1平面C1BD;(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E,F,并證明A1E=EF=FC. 解析解析(1)證明:因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中,ADB1C1, AD=B1C1 ,所以四邊形AB1C1D是平行四邊形,所以AB1C1D.又因為C1D平面C1BD,AB1 平面C1BD,所以AB1平面C1BD.同理,B1D1平面C1BD.又因為AB1B1D1=B1,AB1平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,所以平面AB1D1平面C1BD.(2)如圖,連接A1C1,交B1D1于點O1,連接AO1,與A1C交于點E.又因為AO1平面AB1D1,所以點E也在平面AB1D1內(nèi),所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點.連接AC,交BD于點O,連接C1O,與A1C交于點F,則點F就是A1C與平面C1BD的交點.下面證明A1E=EF=FC.因為平面A1C1C平面AB1D1=EO1,平面A1C1C平面C1BD=C1F,平面AB1D1平面C1BD,所以EO1C1F,在A1C1F中,O1是A1C1的中點,所以E是A1F的中點,即A1E=EF.同理可證OFAE,所以F是CE的中點,即FC=EF,所以A1E=EF=FC.典例典例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是BC,CC1,C1D1,A1A的中點.求證:(1)BFHD1;(2)EG平面BB1D1D;(3)平面BDF平面B1D1H.考點三平行關(guān)系的綜合問題考點三平行關(guān)系的綜合問題證明證明(1)如圖所示,取BB1的中點M,連接MH,MC1,易證四邊形HMC1D1是平行四邊形,HD1MC1.又易證得MC1BF,BFHD1.(2)取BD的中點O,連接EO,D1O,則OEDC,且OE=DC,又D1GDC且D1G=DC,OED1G,四邊形OEGD1是平行四邊形,GED1O.又GE 平面BB1D1D,D1O1212平面BB1D1D,EG平面BB1D1D.(3)由(1)知BFHD1,又BDB1D1,B1D1、HD1平面B1D1H,BF、BD平面BDF,且B1D1HD1=D1,DBBF=B,平面BDF平面B1D1H.1.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關(guān)系,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下: 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)2.在解決線面、面面平行的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應(yīng)用性質(zhì)定理時,其順序正好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定,絕對不可過于“模式化”.3-1如圖,四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點.(1)求證:BE平面DMF;(2)求證:平面BDE平面MNG.證明證明(1)如圖,連接AE,則AE必過DF與GN的交點O,連接MO,則MO為ABE的中位線,所以BEMO,又BE 平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因為N,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點,所以DEGN.因為M為AB的中點,所以MN為ABD的中位線,所以BDMN.又GNNM=N,EDBD=D,所以平面BDE平面MNG.