2021版高考數(shù)學一輪復習 第六章 不等式 6.3 簡單線性規(guī)劃練習 理 北師大版

6.3 簡單線性規(guī)劃核心考點·精準研析考點一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1.(2021·佛山模擬)不等式組表示的平面區(qū)域是()2.實數(shù)x,y滿足不等式組那么點(x,y)構成的平面區(qū)域的面積是()A.3B.C.2D.3.點P(1,-2)及其關于原點的對稱點均在不等式2x+by-1<0表示的平面區(qū)域內,那么實數(shù)b的取值范圍是.【解析】1.選B.x-2y+40表示的區(qū)域在直線x-2y+4=0的下方及直線上,x-y+2<0表示的區(qū)域在直線x-y+2=0的上方,那么對應的區(qū)域為選項B.2.選A.根據題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域,分別求出三個點的坐標A(2,2),B(4,-2),C(1,1),求出點B到直線y=x的距離為3,|AC|=,所以SABC=×|AC|×d=××3=3.3.根據題意,設Q與P(1,-2)關于原點對稱,那么Q的坐標為(-1,2),假設P,Q均在不等式2x+by-1<0表示的平面區(qū)域內,那么有解得:<b<,即b的取值范圍為.答案:題3中,假設將“均在不等式2x+by-1<0表示的平面區(qū)域內改為“分別位于直線2x+by-1=0的兩側,那么實數(shù)b的取值范圍是. 【解析】由題意(2-2b-1)(-2+2b-1)<0,即(2b-1)(2b-3)>0,解得b<或b>.答案:1.點與平面區(qū)域的關系及應用點在平面區(qū)域內,那么點的坐標滿足表示平面區(qū)域的不等式組,假設點的坐標不滿足不等式組中的任何一個不等式,那么點不在平面區(qū)域內,這一關系可用于平面區(qū)域的判斷和求參數(shù)的范圍.2.求平面區(qū)域的面積首先作出平面區(qū)域,確定平面區(qū)域的形狀,其次利用兩點間距離公式求距離,點到直線的距離公式求高,進而求面積.【秒殺絕招】排除法解T1,根據選項圖形中的特殊點排除不正確選項,如利用原點即可排除選項A.考點二簡單線性規(guī)劃問題中的最值 命題精解讀1.考什么:(1)考查求最大值、最小值,與平面區(qū)域面積相關的問題.(2)考查數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)及數(shù)形結合、分類與整合等思想方法.2.怎么考:考查線性目標函數(shù)的最值為主,有時也涉及非線性目標函數(shù)的最值.學霸好方法1.求最值問題的解題思路按照作出可行域,確定并求出最優(yōu)解,代入目標函數(shù)求最值的步驟解題.2.交匯問題: 與根本初等函數(shù)交匯時,利用函數(shù)的圖像與可行域的關系討論,與向量交匯時借助向量的運算轉化目標函數(shù).求線性目標函數(shù)的最值【典例】(2021·新余模擬)實數(shù)x,y滿足約束條件那么目標函數(shù)z=x+2y的最小值為. 【解析】由約束條件可得可行域如圖:由圖得目標函數(shù)過可行域內的點A時值最小,聯(lián)立直線AB、AC方程得點A(1,-1),所以z=x+2y最小值為-1.答案:-1目標函數(shù)對應的直線與邊界直線傾斜程度大小如何確定?提示:目標函數(shù)對應直線與邊界直線斜率的大小決定傾斜程度的大小,當斜率同號時,斜率越大,傾斜角越大.求非線性目標函數(shù)的最值【典例】(2021·太原模擬)實數(shù)x,y滿足那么z=的取值范圍為()A.(-,-2B.(-,-3C.D.【解析】選B.z=-1+,設k=,那么k的幾何意義是區(qū)域內的點與定點D(1,0)連線的斜率,作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖,A(3,3),B(0,2),由圖形知,AD的斜率為=,此時z=,BD的斜率為=-2,此時z=-3,那么z=的取值范圍為(-,-3.分式形式的目標函數(shù)常見的幾何意義是什么?提示:分式形式的目標函數(shù)可以變形為兩點連線的斜率形式,即轉化為斜率求范圍.求參數(shù)的值或范圍【典例】(2021·紹興模擬)給出平面區(qū)域如下列圖,假設目標函數(shù)z=x+ay僅在點(2,2)處取得最大值,那么a的取值范圍為 ()A.0<a<B.aC.a>D.0<a<【解析】選C.根據畫出的約束條件表示的可行域為ABC內部(包括邊界),易知當a=0時,z=x的最大值不是2,不符合題意;當a>0時,由目標函數(shù)z=x+ay得y=-x+,由題意得-3=kAC<-<0,解得a>當a<0時,目標函數(shù)為y=-x+在A點處取不到最大值;綜上所述,a的取值范圍是a>.本例中的參數(shù)a影響了目標函數(shù)的哪個性質?是如何進行討論的?提示:a的不同取值影響目標函數(shù)對應直線的斜率,將條件轉化為目標函數(shù)對應的斜率與邊界斜率的大小進行討論.1.(2021·咸陽模擬)x,y滿足那么目標函數(shù)z=-x+y的最大值是()A.-B.0C.3D.52.(2021·衡陽模擬)假設實數(shù)x,y滿足那么z=(x-2)2+y2的最大值為()A.B.2C.10D.123.(2021·蕪湖模擬)x,y滿足約束條件假設目標函數(shù)z=3x+y的最小值為-5,那么z的最大值為()A.2B.3C.4D.5【解析】1.選C.由不等式組畫出可行域如圖陰影局部.畫出目標函數(shù)并平移,顯然過點A時目標函數(shù)的值最大,如圖中虛線所示,由,解得點A(-1,2),代入目標函數(shù)得zmax=1+2=3.2.選C.實數(shù)x,y滿足的可行域如圖,依題意目標函數(shù)z=(x-2)2+y2為可行域內點與點D(2,0)距離的平方,如圖,觀察計算,|DC|=|DB|=>|DA|=2,那么z=(x-2)2+y2的最大值為10.3.選D.作出不等式組滿足的可行域如圖:可得直線x+y+a=0與直線x-2y+4=0的交點A,使目標函數(shù)z=3x+y取得最小值-5,故由3x+y=-5和x-2y+4=0,解得 x=-2,y=1,可知A(-2,1)在直線x+y+a=0上,即-2+1+a=0,所以a=1,由x+y+1=0和2x+y-2=0可得C(3,-4),當過點C(3,-4)時,目標函數(shù)z=3x+y取得最大值,最大值為5.1.(2021·池州模擬)假設實數(shù)x,y滿足且2x+y-7c(x-3)恒成立,那么c的取值范圍是()A.B.(-,2C.D.2,+)【解析】選D.作出實數(shù)x,y滿足對應的平面區(qū)域如圖:由可行域可知x-3<0,由2x+y-7c(x-3)恒成立,可得c=2+恒成立,令z=2+,幾何意義為區(qū)域內的點和D(3,1)連線的斜率加2.由圖形,可得A(0,2),B(0,1),由圖可知,直線BD的斜率為0,即斜率的最大值,所以z的最大值為2,所以c的取值范圍是2,+).2.太極圖被稱為“中華第一圖.從孔廟大成殿梁柱,到樓觀臺、三茅宮、白外五觀的標記物,太極圖無不躍居其上,這種廣為人知的太極圖,其形狀如陰陽兩魚互抱在一起,因而被稱為“陰陽魚太極圖.在如下列圖的陰陽魚圖案中,陰影局部的區(qū)域可用不等式組或x2+(y-1)21來表示,設(x,y)是陰影中任意一點,那么z=x+y的最大值為. 【解析】依題意,z=x+y,所以y=-x+z,z表示直線y=-x+z在y軸上的截距,所以當直線y=-x+z與圓x2+(y-1)2=1切于如圖的點A時,z最大(z>1),因為直線y=-x+z與圓相切,所以點(0,1)到直線x+y-z=0的距離為1,即1=,因為z>1,所以=1,解得z=1+.答案:1+考點三簡單線性規(guī)劃的實際應用 【典例】(2021·蚌埠模擬)現(xiàn)在全國正在嚴格實施垃圾分類,經測算回收1噸廢紙可以生產出0.8噸再生紙,可節(jié)約用水約100噸,節(jié)約用煤約1.2噸,回收1噸廢鉛蓄電池可生產再生鉛約0.6噸,可節(jié)約用煤約0.8噸,節(jié)約用水約120噸,回收每噸廢鉛蓄電池的費用約0.9萬元,回收1噸廢紙的費用約為0.2萬元.現(xiàn)用于回收廢紙和廢鉛蓄電池的費用不超過18萬元,在保證節(jié)約用煤不少于12噸的前提下,最多可節(jié)約用水約噸【解題導思】序號聯(lián)想解題(1)由回收廢紙、廢鉛蓄電池,想到分別設為回收x,y噸.(2)由費用不超過18萬元,想到0.2x+0.9y18.(3)由節(jié)約用煤不少于12噸,想到1.2x+0.8y12.(4)由求節(jié)約用水,想到目標函數(shù)z=100x+120y【解析】設回收廢紙x噸,回收廢鉛蓄電池y噸,可節(jié)約用水z噸,由條件可得z=100x+120y,作出不等式組表示的可行域,如下列圖.y=-x+,平移直線可得當直線過點A時,在y軸上的截距最大,即z最大,由圖可得點A(90,0),此時z取得最大值為9 000.答案:9 000利用線性規(guī)劃解決實際問題的一般步驟(1)審題:仔細閱讀材料,抓住關鍵,準確理解題意,明確有哪些限制條件,借助表格或圖形理清變量之間的關系.(2)設元:設問題中起關鍵作用的(或關聯(lián)較多的)量為未知量,并列出相應的不等式組和目標函數(shù).(3)作圖:準確作出可行域,平移找點(最優(yōu)解).(4)求解:代入目標函數(shù)求解(最大值或最小值).(5)檢驗:根據結果,檢驗反響.(2021·清華附中模擬)A,B兩個居民小區(qū)的居委會欲組織本小區(qū)的中學生,利用雙休日去市郊的敬老院參加獻愛心活動.兩個小區(qū)每位同學往返車費及效勞老人的人數(shù)如表:A小區(qū)B小區(qū)往返車費3元5元效勞老人的人數(shù)5人3人根據安排,去敬老院的往返總車費不能超過37元,且B小區(qū)參加獻愛心活動的同學比A小區(qū)的同學至少多1人,那么接受效勞的老人最多有人. 【解析】設A,B兩小區(qū)參加活動同學的人數(shù)分別為x,y,受到效勞的老人人數(shù)為z,那么z=5x+3y,且作出可行域,如圖,平移直線z=5x+3y,由圖可知,當直線z=5x+3y過點M(4,5)時,最大,所以當x=4,y=5時,取得最大值為35,即接受效勞的老人最多有35人.答案:35 可修改 歡迎下載 精品 Word