2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.5 空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算練習(xí) 理 北師大版

9.5 空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算 1.在空間四邊形ABCD中,假設(shè)=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),點(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),那么的坐標(biāo)為()A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)2.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,0,2),B(1,-3,1),點(diǎn)M在y軸上,且M到A與到B的距離相等,那么M的坐標(biāo)是_. 3.如下列圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點(diǎn).用,表示,那么=_. 4.G為正四面體ABCD外接球的球心,那么=x+y+z,x,y,z分別是()A.,B.,C.,D.,【解析】1.選B.因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),所以=-,=(+),=(+).所以=(+)-(+)=(+)=(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).2.設(shè)M(0,y,0),那么=(1,-y,2),=(1,-3-y,1),由題意知|=|,所以12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得y=-1,故M(0,-1,0).答案:(0,-1,0)3.因?yàn)?(+),所以=+=(+)+=+.答案:+4.選A.取BC的中點(diǎn)M,BCD的中心為O,那么=,=+,=+,=+,即x=y=z=.用向量表示某一向量的方法(1)用向量來(lái)表示未知向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的假設(shè)干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,我們可把這個(gè)法那么稱為向量加法的多邊形法那么.(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法那么,向量加法的平行四邊形法那么在空間中仍然成立.考點(diǎn)二共線向量定理、共面向量定理及其應(yīng)用 【典例】1.a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),假設(shè)向量a,b,c共面,那么實(shí)數(shù)等于()A.B.C.D.2.如圖,M,N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,且G為AM上一點(diǎn),且GMGA=13.求證:B,G,N三點(diǎn)共線.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1因?yàn)閍,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程組可求參數(shù)值.2要證B,G,N三點(diǎn)共線,只要證=即可,想到選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄糠謩e表示和. 【解析】1.選D.因?yàn)橄蛄縜,b,c共面,所以由共面向量根本定理,存在惟一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得xa+yb=c,所以,解方程組得=.2.設(shè)=a,=b,=c,那么=+=+ =-a+(a+b+c)=-a +b +c,=+=+(+)=-a+b+c=.所以,即B,G,N三點(diǎn)共線.證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P,A,B)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面=且同過(guò)點(diǎn)P=x+y對(duì)空間任一點(diǎn)O,=+t對(duì)空間任一點(diǎn)O,=+x+y1.e1,e2是平面內(nèi)不共線兩向量,=e1-ke2,=2e1+e2,=3e1-e2,假設(shè)A,B,D三點(diǎn)共線,那么k的值是()A.2B.-3C.-2D.3【解析】選A.=-=e1-2e2,又A,B,D三點(diǎn)共線,設(shè)=,所以,所以k=2.2.如圖,平行六面體ABCD-A'B'C'D',E,F,G,H分別是棱A'D',D'C',C'C和AB的中點(diǎn),求證E,F,G,H四點(diǎn)共面.【證明】取=a,=b,=c,那么=+=+2+=b-a+2a+( + )=b+a+(b-a-c-a)=b-c,所以與b,c共面.即E,F,G,H四點(diǎn)共面.考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算、利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)度、夾角大小以及證明垂直問(wèn)題.(2)考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.怎么考:常見(jiàn)命題方向:證明線線垂直,求空間角.3.新趨勢(shì):以柱、錐、臺(tái)體為載體,利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算解決求值問(wèn)題.學(xué)霸好方法1.(1)利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑 :一是根據(jù)數(shù)量積的定義,利用模與夾角直接計(jì)算;二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.(2)利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題.a0,b0,aba·b=0;|a|=;cos<a,b>=.2.交匯問(wèn)題:與立體幾何知識(shí)聯(lián)系,考查證明垂直,求空間角等問(wèn)題. 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【典例】1.在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E是BC的中點(diǎn),那么·=()A.0B.C.-D.-2.向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且ka+b與2a-b互相垂直,那么k=_.【解析】1.選D.·=·=-.2.由題意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0,解得k=.答案:數(shù)量積的應(yīng)用【典例】空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以,為邊的平行四邊形的面積.(2)假設(shè)|a|=,且a分別與,垂直,求向量a的坐標(biāo).【解析】(1)由題意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos<,>=,所以sin<,>=,所以以,為邊的平行四邊形的面積為S=2×|·|·sin<,>=14×=7.(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得解得或所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1,-1,-1).1.向量a=(1,0,-1),那么以下向量中與a成60°夾角的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)【解析】選B.經(jīng)檢驗(yàn),選項(xiàng)B中向量(1,-1,0)與向量a=(1,0,-1)的夾角的余弦值為,即它們的夾角為60°.2.如下列圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面為平行四邊形,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長(zhǎng).(2)求證:AC1BD.(3)求BD1與AC夾角的余弦值.【解析】(1)記=a,=b,=c,那么|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=.|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×=6,所以|=,即AC1的長(zhǎng)為.(2)因?yàn)?a+b+c,=b-a,所以·=(a+b+c)·(b-a)=a·b+b2+b·c-a2-a·b-a·c=b·c-a·c=|b|·|c|cos 60°-|a|c|cos 60°=0.所以,所以AC1BD.(3)=b+c-a,=a+b,所以|=,|=,·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.所以cos <,>=.所以AC與BD1夾角的余弦值為.如圖,在ABC中,ADAB,=,|=1,那么·= _. 【解析】由題干圖可得:·=(+)·=·+·=0+·=(+)·=·|2=.答案: 可修改 歡迎下載 精品 Word