2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 12.2 排列、組合與二項(xiàng)式定理練習(xí) 理 北師大版

12.2 排列、組合與二項(xiàng)式定理核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一排列、組合的根本問題 1.某校根據(jù)2021版新課程標(biāo)準(zhǔn)開設(shè)A類選修課3門,B類選修課4門,一位同學(xué)從中共選3門.假設(shè)要求兩類課程中各至少選一門,那么不同的選法共有()A.30種B.35種C.42種D.48種2.在由數(shù)字1、2、3、4、5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中,大于23 145且小于43 521的數(shù)共有()A.56個(gè)B.57個(gè)C.58個(gè)D.60個(gè)3.八個(gè)人分兩排坐,每排四人,限定甲必須坐在前排,乙、丙必須坐在同一排,共有_種安排方法. 4.(2021·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成_個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位【解析】1.選A.按照所選的3門課程中A類的情形分兩類:第一類,2門A類選修課,1門B類選修課,有種方法;第二類,1門A類選修課,2門B類選修課,有種方法,所以由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的選法共有+=12+18=30(種).2.選C.按照首位的大小分類:(1)開頭為231的,有一個(gè).(2)開頭為23的,第三位從4,5中選一個(gè),有種,余下的后兩位,有種,共有=4個(gè).(3)開頭為2,第2位從4,5中選一個(gè),有種,余下的后3位,有種,共有=12個(gè).(4)開頭為3,后四位由1,2,4,5全排列,有4!=24個(gè).(5)開頭為4,第二位為1,2中的一個(gè),有2種方法,后三位有3!=6種方法,共有2×6=12個(gè).(6)開頭為43,第三位從1,2中選一個(gè),有2種方法,后兩位有2!種方法,共有2×2=4個(gè).(7)開頭為435的,只有1個(gè),所以由分類加法計(jì)數(shù)原理得所求的數(shù)共有1+4+12+24+12+4+1=58(個(gè)).3.方法一:可分為“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法兩類情況.應(yīng)當(dāng)使用分類加法計(jì)數(shù)原理,在每類情況下,劃分“乙、丙坐下“甲坐下“其他五人坐下三個(gè)步驟,又要用到分步乘法計(jì)數(shù)原理,這樣可有如下算法:··+··=8 640(種).方法二:采取“總方法數(shù)減去不符合題意的所有方法數(shù)的算法.把“甲坐在前排的八人坐法數(shù)看成“總方法數(shù),這個(gè)數(shù)目是·.在這種前提下,不合題意的方法是“甲坐在前排,且乙、丙坐兩排的八人坐法,這個(gè)數(shù)目是····.其中第一個(gè)因數(shù)表示甲坐在前排的方法數(shù),表示從乙、丙中任選出一人的方法數(shù),表示把選出的這個(gè)人安排在前排的方法數(shù),下一個(gè)那么表示乙、丙中未安排的那個(gè)人坐在后排的方法數(shù),就是其他五人的坐法數(shù),于是總的方法數(shù)為·-····=8 640(種).答案:8 6404.分類討論:第一類:不含0的,按照分步乘法計(jì)數(shù)原理:=10×3×24=720;第二類:包含0的,按照分步乘法計(jì)數(shù)原理:=10×3×3×6=540,所以一共有1 260個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).答案:1 2601.求解有限制條件的排列問題的主要方法直接法分類法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),將要完成的事件分成幾個(gè)類型,分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù),再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn),將事件分成幾個(gè)步驟來完成,分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù),再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理,即可以把相鄰幾個(gè)元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中除法對(duì)于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以已定元素的全排列間接法對(duì)于分類過多的問題,按正難那么反,等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法2.兩類含有附加條件的組合問題的方法(1)“含有或“不含有某些元素的組合題型:假設(shè)“含,那么先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;假設(shè)“不含,那么先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取.(2)“至少或“最多含有幾個(gè)元素的組合題型:解這類題目必須十分重視“至少與“最多這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解,用直接法分類復(fù)雜時(shí),可用間接法求解.考點(diǎn)二排列、組合的綜合問題 【典例】1.從A,B,C,D,E 5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語競(jìng)賽,其中A不參加物理、化學(xué)競(jìng)賽,那么不同的參賽方案種數(shù)為()A.24B.48C.72D.1202.把20個(gè)不加區(qū)別的小球放入1號(hào),2號(hào),3號(hào)的三個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù),那么不同的方法種數(shù)為_.3.對(duì)于任意正整數(shù)n,定義“n的雙階乘n!如下:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n!=n··6·4·2,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n!=n··5·3·1,現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論:(2021!)·(2021!)=2021!,(2n)!=2n,2021!的個(gè)位數(shù)字是8,<,那么四個(gè)結(jié)論中正確的選項(xiàng)是_.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由“A不參加物理、化學(xué)競(jìng)賽聯(lián)想到分類:A參加,A不參加.2由題意知小球沒有區(qū)別,及盒子內(nèi)球數(shù)不小于編號(hào)數(shù),聯(lián)想到先在2,3號(hào)盒子里分別放上1,2個(gè)球,變成了擋板問題.3看到雙階乘,聯(lián)想到階乘.【解析】1.選C.因?yàn)锳參加時(shí)參賽方案有=48(種);A不參加時(shí)參賽方案有=24(種),所以不同的參賽方案共72種.2.先在編號(hào)為2,3的盒內(nèi)分別放入1個(gè),2個(gè)球,還剩17個(gè)小球,三個(gè)盒內(nèi)每個(gè)至少再放入1個(gè),將17個(gè)球排成一排,有16個(gè)空隙,插入2塊擋板分為三堆放入三個(gè)盒中,即可共有C=120種方法.答案:1203.因?yàn)?2021!)·(2021!)=(2021×2021××6×4×2)×(2021×2021××5×3×1)=2021×2021×2021××5×4×3×2×1=2021!所以是正確的.因?yàn)?2n)!=··6·4·2=2n··3·2·1=2n, 所以是正確的.因?yàn)橛芍?021!中有因數(shù)5,也有因數(shù)2,所以個(gè)位數(shù)字是0,所以是錯(cuò)誤的.因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n,都有<,所以=,<,=,<,=,<,把上面的2n個(gè)式子作乘法,得<,所以兩邊開方得<,所以是正確的.答案:解決排列、組合的綜合問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)解排列與組合綜合題一般是先選后排,或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步,再利用兩個(gè)原理作最后處理.(2)解受條件限制的組合題,通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決.分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一,防止出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.(3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理,注意答案的不同形式,處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng),錯(cuò)誤的答案都有重復(fù)或遺漏的問題.(4)熟記排列數(shù)、組合數(shù)公式及其變形,準(zhǔn)確計(jì)算.1.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.24B.48C.60D.72【解析】選D.分兩步:第一步,先排個(gè)位,有種選擇;第二步,排前4位,有種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知有·=72個(gè).2.某班組織文藝晚會(huì),準(zhǔn)備從A,B等8個(gè)節(jié)目中選出4個(gè)節(jié)目演出,要求A,B兩個(gè)節(jié)目至少有一個(gè)選中,且A,B同時(shí)選中時(shí),它們的演出順序不能相鄰,那么不同演出順序的種數(shù)為()A.1 860B.1 320C.1 140D.1 020【解析】選C.當(dāng)A,B節(jié)目中只選一個(gè)時(shí),共有=960種演出順序;當(dāng)A,B節(jié)目都被選中時(shí),由插空法得共有=180種演出順序.所以一共有960+180=1140種演出順序.3.i,m,n是正整數(shù),且1<im<n,求證:.【證明】(用分析法)原不等式等價(jià)于<,左邊=····,于是只要證明<即可,聯(lián)想到“糖水不等式:假設(shè)0<a<b,m>0,那么0<<<1及不等式的可乘性,所以····<··=,所以原不等式成立.考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理 命題精解讀1.考什么:(1)考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及由通項(xiàng)求某一項(xiàng)的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng).(2)考查應(yīng)用賦值法求某些數(shù)列的和.2.怎么考:求二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)或某指定項(xiàng)的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng),或知道某項(xiàng)系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù),反求參數(shù)的值,考查二項(xiàng)展開式中組合思想的應(yīng)用.3.新趨勢(shì):結(jié)合二項(xiàng)展開式的特征,與數(shù)列求和或不等式等知識(shí)交匯考查二項(xiàng)式定理.學(xué)霸好方法1.求解二項(xiàng)式定理問題的關(guān)鍵:(1)熟記二項(xiàng)式定理,會(huì)用組合思想解決展開式的通項(xiàng),或某些指定項(xiàng).(2)熟悉二項(xiàng)展開式的特征,掌握賦值法解某項(xiàng)數(shù)列求和問題.2.交匯問題:解決與數(shù)列、不等式等知識(shí)交匯問題時(shí),先用賦值法構(gòu)造求和模型,再轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及其應(yīng)用【典例】1.(2021·全國(guó)卷)的展開式中x4的系數(shù)為()A.10B.20C.40D.802.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A.B.160C.- D.-160【解析】1.選C.展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=(x2)5-r=2rx10-3r,令10-3r=4可得r=2,那么x4的系數(shù)為22=40.2.選A.的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x6-r=x6-2r,令6-2r=0,得r=3,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是T4=.如何解決與二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)有關(guān)的問題?提示:(1)求展開式中的特定項(xiàng)或其系數(shù).可依據(jù)條件寫出第k+1項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出k值即可.(2)展開式的某項(xiàng)或其系數(shù)求參數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)公式寫出第k+1項(xiàng),由特定項(xiàng)得出k值,最后求出其參數(shù).二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)的和 【典例】1.(2021·鄭州模擬)假設(shè)二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為8,那么該展開式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為()A.-1B.1C.27D.-272.(2021·鄂爾多斯模擬)在的展開式中,x3的系數(shù)等于-5,那么該展開式的各項(xiàng)的系數(shù)中最大值為()A.5B.10C.15D.203.(2021·襄陽模擬)設(shè)(x2+1)(2x+1)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a10(x+2)10,那么a0+a1+a2+a10的值為_.【解析】1.選A.依題意得2n=8,解得n=3,取x=1,得該二項(xiàng)展開式每一項(xiàng)的系數(shù)之和為(1-2)3=-1.2.選B.的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x5-r·=(-a)rx5-2r,令5-2r=3,那么r=1,所以-a×5=-5,即a=1,展開式中第2,4,6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù),第1,3,5項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù),故各項(xiàng)的系數(shù)中最大值為=10.3.在所給的多項(xiàng)式中,令x=-1可得(1+1)×(-2+1)8=a0+a1+a2+a10,即a0+a1+a2+a10=2.答案:2如何求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題?提示:求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題一般分兩步:第一步,要弄清所求問題是“展開式系數(shù)最大、“二項(xiàng)式系數(shù)最大兩者中的哪一個(gè).第二步,假設(shè)是求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值,那么依據(jù)(a+b)n中n的奇偶及二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)求解.假設(shè)是求展開式系數(shù)的最大值那么在系數(shù)均為正值的前提下,求最大值只需解不等式組即可求得答案.二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用 【典例】1.(x+y)(2x-y)6的展開式中x4y3的系數(shù)為()A.-80B.-40C.40D.802.(2021·棗陽模擬)(x2+x+y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為 ()A.10B.20C.30D.60【解析】1.選D.(2x-y)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=(2x)6-r(-y)r,當(dāng)r=2時(shí),T3=240x4y2,當(dāng)r=3時(shí),T4=-160x3y3,故x4y3的系數(shù)為240-160=80.2.選C.(x2+x+y)5的展開式的通項(xiàng)為=(x2+x·yr,令r=2,那么T3=(x2+x)3y2,又(x2+x)3的展開式的通項(xiàng)為(x2·xk=,令6-k=5,那么k=1,所以(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為=30.如何求解(a+b)m(c+d)n 或(a+b+c)n展開式的某一項(xiàng)的系數(shù)?提示:(1)假設(shè)n,m中一個(gè)比擬小,可考慮把它展開得到多個(gè),如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展開分別求解.(2)假設(shè)三項(xiàng)能用完全平方公式,那當(dāng)然比擬簡(jiǎn)單;假設(shè)三項(xiàng)不能用完全平方公式,只需根據(jù)題目特點(diǎn),把“三項(xiàng)當(dāng)成“兩項(xiàng)看,再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式去求特定項(xiàng)的系數(shù).(3)觀察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=(1+x)(1-x)5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2.(4)分別得到(a+b)n,(c+d)m的通項(xiàng)公式,綜合考慮.1.將多項(xiàng)式a6x6+a5x5+a1x+a0分解因式得,m為常數(shù),假設(shè)a5=-7,那么a0=()A.-2B.-1C.1D.2【解析】選D.因?yàn)?x+m)5的通項(xiàng)公式為Tr+1=x5-rmr,a5x5=x·x5-1m1+(-2)x5=(5m-2)x5,所以a5=5m-2,又因?yàn)閍5=-7,所以5m-2=-7,所以m=-1,所以常數(shù)項(xiàng)a0=(-2)×(-1)5=2.2.在的展開式中,含x5項(xiàng)的系數(shù)為()A.6B.-6C.24D.-24【解析】選B.由=-+-+,可知只有-的展開式中含有x5,所以的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)為-=-6.3.(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,那么a=_. 【解析】設(shè)(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.-得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,所以a=3.答案:31.(2021·湘潭模擬)假設(shè)(1-3x)2 020=a0+a1x+a2 020x2 020,xR,那么a1·3+a2·32+a2 020·32 020的值為()A.22 020-1B.82 020-1C.22 020D.82 020【解析】選B.由,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+a2 020·32 020=(1-9)2 020=82 020,所以a1·3+a2·32+a2 020·32 020=82 020-a0=82 020-1.2.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A.-30B.30C.-25D.25【解析】選C.=x2-3x+,的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r,易知當(dāng)r=4或r=2時(shí)原式有常數(shù)項(xiàng),令r=4,T5=(-1)4,令r=2,T3=(-1)2·,故所求常數(shù)項(xiàng)為-3×=5-30=-25.- 11 -