2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.6 正弦定理和余弦定理練習(xí) 理 北師大版

4.6 正弦定理和余弦定理核心考點·精準研析考點一正弦定理1.(2021·銅川模擬)在ABC中,AB=,A=75°,B=45°,那么AC=.2.銳角ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,假設(shè)B=2A,那么的取值范圍是()A.B.C.D.3.(2021·全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.bsinA+acosB=0,那么B=.【解析】1.C=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得=,即=,解得AC=2.答案:22.選D.因為B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,所以=,所以=tanA.因為ABC是銳角三角形,所以解得<A<,所以<tanA<1,所以<tanA<.即的取值范圍是.3.bsinA+acosB=0,由正弦定理可得sinBsinA+sinAcosB=0,即sinB=-cosB,又因為sin2B+cos2B=1,解得sinB=,cosB=-,故B=.答案:解三角形的策略(1)將條件統(tǒng)一化為邊的關(guān)系,或角的關(guān)系.一般來說,求邊化邊,求角化角.(2)代數(shù)式兩邊,邊的次數(shù)相同時,可用正弦定理,將邊換為角的正弦.1.(2021·武漢模擬)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=1,b=,A=30°,假設(shè)B為銳角,那么ABC=()A.113B.123C.132D.141【解析】選B.因為a=1,b=,A=30°,B為銳角,所以由正弦定理得sinB=,那么B=60°,所以C=90°,那么ABC=123.2.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.假設(shè)a=2ccosA,sinA=1,那么sinC的值為()A.B.C.D.【解析】選B.因為sinA=1,即sinA=,又a=2ccosA,cosA=>0,所以cosA=.由條件及正弦定理得sinA=2sinCcosA,即=2×sinC,所以sinC=.考點二余弦定理【典例】在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a-c=b,sinB=sinC. (1)求cosA的值.(2)求cos的值.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)看到“sinB=sinC,想到運用正弦定理,轉(zhuǎn)化為b=c,又由“a-c=b運用余弦定理求得cosA.(2)看到“cos想到公式cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.利用(1)得出的cosA的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cos的值【解析】(1)在ABC中,由=及sinB=sinC,可得b=c,又由a-c=b,得a=2c,所以cosA=.(2)在ABC中,由cosA=,可得sinA=.于是,cos2A=2cos2A-1=-,sin2A=2sinA·cosA=.所以cos=cos2Acos+sin2Asin=×+×=.用正、余弦定理求解三角形根本量的方法第一步:選定理.兩角兩邊用正弦定理,三邊一角用余弦定理.第二步:求解.將代入定理求解.1.(2021·長沙模擬)在ABC中,D是AC邊上的點,且AB=AD,BD=AD,BC=2AD,那么sinC的值為()A.B.C.D.【解析】選A.設(shè)AB=AD=2a,那么BD=a,那么BC=4a,所以cosADB=,所以cosBDC=-,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cosC=,而C,所以sinC=.2.(2021·晉城模擬)如圖,在銳角三角形ABC中,sinBAC=,sinABC=,BC=6,點D在邊BC上,且BD=2DC,點E在邊AC上,且BEAC,BE交AD于點F.(1)求AC的長.(2)求cosDAC及AF的長.【解析】(1)在銳角三角形ABC中,sinBAC=,sinABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC=5.(2)由sinBAC=,sinABC=,得cosBAC=,cosABC=,所以cosC=-cos(BAC+ABC)=-cosBACcosABC+sinBACsinABC=-×+×=.因為BEAC,所以CE=BCcosC=6×=,AE=AC-CE=.在ACD中,AC=5,CD=BC=2,cosC=,由余弦定理得AD=,所以cosDAC=.由BEAC,得AFcosDAC=AE,所以AF=.考點三正、余弦定理的綜合應(yīng)用命題精解讀1.考什么:判斷三角形形狀、個數(shù)、面積問題,最值、范圍問題;2.怎么考:考查解三角形問題常與平面幾何交匯,題目中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)的幾何元素如高、角平分線、線段的垂直平分線、三角形內(nèi)切圓等;與平面向量交匯考查,解三角形還常與不等式,三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題.學(xué)霸好方法1.判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊:通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.(2)化角:通過三角恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A+B+C=這個結(jié)論.2.在三角形中求邊、角的方法(1)假設(shè)求角,尋求得到這個角的一個函數(shù)的方程,結(jié)合角的范圍求解.(2)假設(shè)求邊,尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角,利用三角形面積公式列方程求解.判斷三角形個數(shù)、形狀【典例】1.在ABC中,a=2,b=,A=45°,那么滿足條件的三角形有()A.1個B.2個C.0個D.無法確定2.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.假設(shè)=,那么ABC的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】1.選B.因為bsinA=×=,所以bsinA<a<b.所以滿足條件的三角形有2個.【一題多解】選B.作A=45°,那么點B,C分別在A的兩條邊上.因為AC=b=,所以點C固定.過C作AB的垂線,垂足為D,易知CD=h=,又因為a=2,即<a<,所以B有兩個位置符合題意.所以滿足條件的三角形有2個.2.選D.由=,所以=或=0,即C=90°或=.由正弦定理,得=,所以=,即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,因為B,C均為ABC的內(nèi)角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以ABC為等腰三角形或直角三角形.1.三角形解的個數(shù)如何判斷?提示:(1)兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.(2)三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理時,需判斷其解的個數(shù),用余弦定理時,可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù).(3)數(shù)形結(jié)合,作圖,與相應(yīng)的直角三角形比擬.2.三角形形狀如何判定?提示:(1)角化邊:利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷.(2)邊化角:通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷.面積問題【典例】1.(2021·全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.假設(shè)b=6,a=2c,B=,那么ABC的面積為.【解析】因為cosB=,又因為b=6,a=2c,B=,可得c2=12,解得c=2,a=4,那么ABC的面積S=×4×2×=6.答案:62.在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c且acosC=(2b-c)cosA. (1)求角A的大小.(2)假設(shè)a=2,求ABC面積的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得:sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA,從而可得:sin(A+C)=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,又B為三角形的內(nèi)角,所以sinB0,于是cosA=,又A為三角形的內(nèi)角,所以A=.(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA得4=b2+c2-2bc·2bc-bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號,所以bc4(2+),所以S=bcsinA2+.所以ABC面積的最大值為2+.解三角形與三角恒等變換交匯問題【典例】ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,那么C= ()A.B.C.D.【解析】選B.由題意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=sinCsin=0,所以A=.由正弦定理=得=,即sinC=,得C=.三角形與三角恒等變換交匯問題如何求解?提示:1.(2021·蕪湖模擬)在ABC中,cosB=(a,b,c分別為角A,B,C的對邊),那么ABC的形狀為()A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】選A.因為cosB=,由余弦定理得=,整理得b2+a2=c2,即C為直角,那么ABC為直角三角形.2.在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC,那么A的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選C.由正弦定理及sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC得a2b2+c2-bc,即b2+c2-a2bc,由余弦定理得cosA=,又0<A<,所以0<A.所以A的取值范圍是.3.(2021·西安模擬)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A=2B.(1)求證:a=2bcosB.(2)假設(shè)b=2,c=4,求B的值.【解析】(1)因為A=2B,所以由正弦定理=,得=,所以a=2bcosB.(2)因為b=2,c=4,A=2B,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得16cos2B=4+16-16cos2B,所以cos2B=,因為A+B=2B+B<,所以B<,所以cosB=,所以B=.1.ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sinC-cosC=1-cos,假設(shè)ABC的面積S=(a+b)sinC=,那么ABC的周長為()A.2+5B.+5C.2+3D.+3【解析】選D.由sinC-cosC=1-cos2sincos-=1-coscos2cos-2sin-1=0,因為cos0,所以sin-cos=-,兩邊平方得sinC=,由sin-cos=-得sin<cos,所以0<<,即0<C<,由sinC=得cosC=.又S=absinC=(a+b)sinC=,所以a+b=ab=4,所以a=b=2,再根據(jù)余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=8-2,解得c=-1,所以ABC的周長為+3.2.如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=1,BC=,ACCD,CD=AC,當(dāng)ABC變化時,對角線BD的最大值為.【解析】設(shè)ABC=,ACB=,在ABC中,由余弦定理得AC2=4-2cos.由正弦定理得=,所以sin=.又CD=AC,在BCD中,由余弦定理得BD2=3+3(4-2cos)-2×××cos,即BD2=15-6cos+6sin=15+12sin.當(dāng)=時,BD取得最大值3.答案:3- 12 -