數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步章末 新人教B版必修2

章末復(fù)習(xí)第一章立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、深化所學(xué)知識(shí).2.會(huì)畫幾何體的直觀圖，并能計(jì)算幾何體的表面積和體積.3.熟練掌握線線、線面、面面間的平行與垂直關(guān)系知識(shí)梳理達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引知識(shí)梳理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的平面所截而成的.這三種幾何體都是多面體.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它們都稱為旋轉(zhuǎn)體.在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常需作它們的軸截面或截面.(3)由柱、錐、臺(tái)、球組成的簡(jiǎn)單組合體，研究它們的結(jié)構(gòu)特征實(shí)質(zhì)是將它們分解成多個(gè)基本幾何體.2.空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法為：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法.它的主要步驟：畫軸；畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x、y、z軸的線段；截線段：平行于x、z軸的線段的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.3.幾何體的表面積和體積的有關(guān)計(jì)算幾何體的表面積和體積的有關(guān)計(jì)算(1)常見(jiàn)幾何體的側(cè)面積和體積的計(jì)算公式面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rl圓臺(tái)S側(cè)(r1r2)l直棱柱S側(cè)chVSh正棱錐正棱臺(tái)球S球面4R2(2)求幾何體體積常用技巧等體積法；割補(bǔ)法.4.平行關(guān)系平行關(guān)系(1)基本性質(zhì)4平行于同一條直線的兩條直線 .即如果直線ab，cb，那么.(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理?xiàng)l件結(jié)論符號(hào)語(yǔ)言判定如果 的一條直線和 的一條直線平行這條直線和這個(gè)平面_，m，l平行ac不在一個(gè)平面平行平面內(nèi)lml 性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面 ，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面_這條直線和_l，mlm平行相交兩平面的l交線平行(3)平面與平面平行的判定文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.符號(hào)語(yǔ)言：a，b，a，b.圖形語(yǔ)言：如圖所示.abP(4)平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.符號(hào)語(yǔ)言：，a，ab.圖形語(yǔ)言：如圖所示.作用：證明兩直線平行.b5.垂直關(guān)系垂直關(guān)系(1)直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內(nèi)的 直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直.推論：如果在兩條 中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.(2)直線與平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)1：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的 一條直線垂直.兩條相交平行直線任意性質(zhì)2：如果兩條直線 ，那么這兩條直線平行.(3)面面垂直的判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的 ，則這兩個(gè)平面互相垂直.(4)面面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在 垂直于 的直線垂直于另一個(gè)平面.一條垂線一個(gè)平面內(nèi)它們交線垂直于同一個(gè)平面6.共面與異面直線共面與異面直線(1)共面：空間中的 或 ，如果都在同一平面內(nèi)，我們就說(shuō)它們共面.(2)異面直線：既 又 的直線.幾個(gè)點(diǎn)幾條直線不平行不相交思考辨析 判斷正誤1.菱形的直觀圖仍是菱形.()2.簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差.()3.夾在兩平行平面的平行線段相等.()題型探究例例1如圖，從底面半徑為2a，高為的圓柱中，挖去一個(gè)底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比.類型一空間幾何體的表面積與體積解答反思與感悟反思與感悟空間幾何體的體積與表面積的計(jì)算方法(1)等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個(gè)面都可作底面來(lái)處理，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問(wèn)題的求解.(2)割補(bǔ)法：像求平面圖形的面積一樣，割補(bǔ)法是求幾何體體積的一個(gè)重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個(gè)熟悉的柱、錐、臺(tái)體或它們的組合體；“補(bǔ)”就是通過(guò)補(bǔ)形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體.總之，割補(bǔ)法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來(lái)解決.(3)展開(kāi)法：把簡(jiǎn)單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開(kāi)成平面圖形，這樣便把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，可以有效地解決簡(jiǎn)單空間幾何體的表面積問(wèn)題或側(cè)面上(球除外)兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題.(4)構(gòu)造法：當(dāng)探究某些幾何體性質(zhì)較困難時(shí)，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對(duì)稱性比較好的幾何體，以此來(lái)研究所求幾何體的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求三棱錐A1AB1D1的高.解解設(shè)三棱錐A1AB1D1的高為h，解答111AAB DV111AAB DV111BAA DV類型二空間中的平行問(wèn)題例例2如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn).求證：(1)GE平面BB1D1D；證明證明證明取B1D1中點(diǎn)O，連接GO，OB，OBGE.OB平面BB1D1D，GE 平面BB1D1D，GE平面BB1D1D.(2)平面BDF平面B1D1H.證明證明由正方體性質(zhì)得B1D1BD，B1D1 平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.連接HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，得HD1BF.HD1 平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.證明反思與感悟反思與感悟(1)判斷線線平行的方法利用定義：證明線線共面且無(wú)公共點(diǎn).利用平行公理：證明兩條直線同時(shí)平行于第三條直線.利用線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.利用面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.利用線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(2)判定線面平行的方法利用定義：證明直線a與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，往往借助反證法.利用直線和平面平行的判定定理：a ，b，aba.利用面面平行的性質(zhì)的推廣：，aa.(3)判定面面平行的方法利用面面平行的定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn).利用面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即a，a.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即，.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2如圖，ABC為正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中點(diǎn)，N是EC的中點(diǎn)，求證：平面DMN平面ABC.證明證明證明M，N分別是EA與EC的中點(diǎn)，MNAC，又AC平面ABC，MN 平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，N為EC中點(diǎn)，EC2BD，四邊形BCND為矩形，DNBC，又DN 平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN，平面DMN平面ABC.類型三空間中的垂直關(guān)系例例3如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，且AECD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點(diǎn)，將ADE沿AE折起，使得DEEC.(1)求證：AE平面CDE；證明證明證明由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.(2)求證：FG平面BCD；證明證明取AB的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，GHBD，F(xiàn)HBC.GH 平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理，F(xiàn)H平面BCD，又GHFHH，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.證明(3)在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR平面DCB，并說(shuō)明理由.解答解解取線段AE的中點(diǎn)R，DC的中點(diǎn)M，DB的中點(diǎn)S，連接MS，RS，BR，DR，EM，四邊形MERS是平行四邊形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中點(diǎn)，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.反思與感悟反思與感悟空間中垂直關(guān)系的判定方法(1)判定線線垂直的方法利用線面垂直的性質(zhì)(若a，b，則ab).(2)判定線面垂直的方法線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性).線面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa).平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(ab，ba).面面垂直的性質(zhì)(，l，a，ala).面面平行的性質(zhì)(a，a).(3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理(a，a).跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3如圖，在ABC中，ACBC，四邊形ABED是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn).(1)求證：GF平面ABC；證明證明證明如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.因?yàn)镚，F(xiàn)分別是EC和BD的中點(diǎn)，所以HGBC，HFDE.又因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以DEAB，從而HFAB.所以HF平面ABC，HG平面ABC.又因?yàn)镚HHFH，所以平面HGF平面ABC，又GF平面HGF，所以GF平面ABC.(2)求證：平面EBC平面ACD；證明證明因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以EBAB.又因?yàn)槠矫鍭BED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以BE平面ABC，所以BEAC.又因?yàn)镃A2CB2AB2，所以ACBC.又因?yàn)锽EBCB，所以AC平面BCE.又因?yàn)锳C平面ACD，從而平面EBC平面ACD.證明(3)求幾何體ADEBC的體積V.解答解解取AB的中點(diǎn)N，連接CN，因?yàn)锳CBC，又平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以CN平面ABED.因?yàn)镃ABED是四棱錐，達(dá)標(biāo)檢測(cè)答案12341.已知圓錐的母線長(zhǎng)為10 cm，側(cè)面積為60 cm2，則此圓錐的體積為5解析解析解析圓錐的側(cè)面積為rl10r60，得r6.解析解析當(dāng)l1l2，l2l3時(shí)，l1也可能與l3相交或異面，故A錯(cuò)；l1l2，l2l3l1l3，B正確；當(dāng)l1l2l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D錯(cuò).1234解析答案2.若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A.l1l2，l2l3l1l3B.l1l2，l2l3l1l3C.l1l2l3l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共點(diǎn)l1，l2，l3共面5答案1234解析答案解析解析選項(xiàng)A中當(dāng)m，n時(shí)，m與n可以平行、相交、異面；選項(xiàng)B中滿足條件的與可以平行，也可以相交；選項(xiàng)C中，當(dāng)，m時(shí)，m與可以垂直，也可以平行等.故選項(xiàng)A、B、C均不正確.3.設(shè)有不同的直線m，n和不同的平面，下列四個(gè)命題中，正確的是A.若m，n，則mnB.若m，n，m，n，則C.若，m，則mD.若，m，m ，則m51234解析答案4.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP 過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_.解析解析MN平面AC，平面PMNQ平面ACPQ，5123455.如圖，在棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求證：(1)直線PA平面DEF；證明證明因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DEPA.又因?yàn)镻A 平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.證明(2)平面BDE平面ABC.證明證明因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA6，BC8，證明又因?yàn)镈F5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因?yàn)锳CEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.123451.研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時(shí)可以通過(guò)作截面把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題來(lái)解決.另外，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，我們都是通過(guò)展開(kāi)圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問(wèn)題通常也是由截面把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決.規(guī)律與方法2.轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為