2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.9.1 圓錐曲線中求值與證明問題練習(xí) 理 北師大版

10.9.1 圓錐曲線中求值與證明問題核心考點·精準(zhǔn)研析考點一求值問題 1.(2021·西安模擬)橢圓、雙曲線均是以直角三角形ABC的斜邊AC的兩端點為焦點的曲線,且都過B點,它們的離心率分別為e1,e2,那么+=()A.B.2C.D.32.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,直線AB垂直于x軸,F為拋物線的焦點,射線BF交拋物線的準(zhǔn)線于點C,且|AB|=|AF|,AFC的面積為2+2,那么p的值為()A.B.1C.2D.43.(2021·天津高考)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.橢圓的短軸長為4,離心率為. (1)求橢圓的方程.(2)設(shè)點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負(fù)半軸上.假設(shè)|ON|=|OF|(O為原點),且OPMN,求直線PB的斜率.【解析】1.選B.如圖,由題意,設(shè)橢圓的長半軸為a1,雙曲線的半實軸為a2,根據(jù)橢圓和雙曲線定義:|AB|+|BC|=2a1,|BC|-|AB|=2a2,可得|BC|=a1+a2,|AB|=a1-a2,設(shè)AC=2c,在直角三角形ABC中,由勾股定理可得,4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2 ,即+ = 2c2,即+=2.2.選C.過點A作AH垂直于準(zhǔn)線,垂足為H,作CG垂直于AB,垂足為G,根據(jù)拋物線的定義|AH|=|AF|,CEAB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,由SAFC=SABC-SAFB,SABC=|AB|·|CG|=|AD|·|CG|,SAFB=|AB|·|DF|=|AD|·|DF|,得SAFC=|AD|·|CG|-|AD|·|DF|=|AD|(|CG|-|DF|),=|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|·|EF|,又|DE|=|AF|=|DF|,那么|EF|=(-1)|DF|,|AD|=2|DF|=|EF|,可得SAFC=|EF|2,又因為SAFC=2+2,所以|EF|=2,因為EF正好是焦點到準(zhǔn)線的距離,即p=2.3.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以,橢圓的方程為+=1.(2)由題意,設(shè)P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).設(shè)直線PB的斜率為k(k0),又B(0,2),那么直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,進(jìn)而直線OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-.由OPMN,得·=-1,化簡得k2=,從而k=±.所以直線PB的斜率為或-.1.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么所得弦長:|P1P2|=|x1-x2|=|y1-y2|.(2)斜率不存在時,可求出交點坐標(biāo),直接求解(利用兩點間距離公式).2.平面圖形面積的求解,首先根據(jù)題意確定平面圖形的形狀,然后確定其面積的表達(dá)式,求出相關(guān)的度量弦長、距離等,最后代入公式求解即可.3.條件求值,主要是將條件坐標(biāo)化,列出對應(yīng)的方程,通過解方程(組)求值.秒殺絕招題1中可以利用賦值法簡化求解過程,減少計算量.不妨設(shè)直角三角形ABC三邊長度分別為3,4,5.那么橢圓與雙曲線的焦距2c=5,那么在橢圓中,2a1=3+4=7,故e1=;在雙曲線中,2a2=|3-4|=1,故e1=5.所以+=+=2.考點二證明問題 命題精解讀1.考什么:(1)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如某點在某直線上、某直線經(jīng)過某個點、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法等.2.怎么考:以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為背景,考查角度與長度關(guān)系的證明,直線平行、垂直、三點共線等位置關(guān)系的證明等.3.新趨勢:等量關(guān)系的證明與三角函數(shù)等知識的結(jié)合,如證明角度相等.學(xué)霸好方法1.解決證明問題時,主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等直接進(jìn)行證明.2.交匯問題:數(shù)量關(guān)系的問題,多與其他模塊知識相結(jié)合,如三角函數(shù)、向量以及函數(shù)相關(guān)知識等.證明數(shù)量關(guān)系【典例】(2021·北京模擬)橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為F(1,0),離心率為.A為橢圓C的左頂點,P,Q為橢圓C上異于A的兩個動點,直線AP,AQ與直線l:x=4分別交于M,N兩點. (1)求橢圓C的方程.(2)假設(shè)PAF與PMF的面積之比為,求M的坐標(biāo).(3)設(shè)直線l與x軸交于點R,假設(shè)P,F,Q三點共線,求證:MFR=FNR.【解題導(dǎo)思】序號題目拆解(1)根據(jù)條件求標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)值由題意得c=1,結(jié)合離心率求得a,再由隱含條件求得b,那么橢圓方程可求.(2)求AP與AM的關(guān)系將兩個三角形面積比轉(zhuǎn)化為AP與AM的關(guān)系.求M的縱坐標(biāo)利用向量關(guān)系建立坐標(biāo)的方程求解.(3)求R點坐標(biāo)直線l與x軸的交點求P點坐標(biāo)聯(lián)立方程組求解,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標(biāo)建立點的坐標(biāo)之間的關(guān)系利用三點共線斜率相等建立坐標(biāo)關(guān)系證明數(shù)量等式證明兩個角的三角函數(shù)(正切)值相等,范圍相等.【解析】(1)由題意得 解得因為a2-b2=c2,所以b2=3.所以橢圓C的方程為+=1.(2)因為PAF與PMF的面積之比為,所以|AP|=|PM|.所以=.設(shè)M(4,m)(m0),P(x0,y0),那么(x0+2,y0)=(6,m),解得x0=-1,y0=.將其代入+=1,解得m=±9.所以M的坐標(biāo)為(4,9)或(4,-9).(3)設(shè)M(4,m),N(4,n),P(x0,y0),由題知R(4,0),假設(shè)m=0,那么P為橢圓C的右頂點,由P,F,Q三點共線知,Q為橢圓C的左頂點,不符合題意.所以m0.同理n0.直線AM的方程為y=(x+2).由 消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0.=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立.由-2x0=,解得x0=.所以y0=(x0+2)=.所以P.當(dāng)PFx軸時,即|m|=3時,|n|=3,=1,由橢圓的對稱性可得|MR|=|FR|=|NR|=3.又因為MRF=NRF=90°,所以MFR=FNR=45°.當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時,|m|3,|n|3,直線FP的斜率kFP=.同理kFQ=.因為P,F,Q三點共線,所以=.所以mn=-9.在RtMRF和RtNRF中,tanMFR=,tanFNR=,所以tanMFR=tanFNR.因為MFR,FNR均為銳角,所以MFR=FNR.綜上,假設(shè)P,F,Q三點共線,那么MFR=FNR.數(shù)量關(guān)系證明的一般方法是什么?提示:數(shù)量關(guān)系的證明,一般采用直接法,即直接利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明.當(dāng)然要結(jié)合函數(shù)的一些性質(zhì),如該題就是先證明兩個角的正切函數(shù)值相等,而且角的范圍是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,所以兩角相等.證明位置關(guān)系【典例】(2021·大連模擬)設(shè)橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,假設(shè)橢圓E的離心率為,ABF2的周長為16. (1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C,D,設(shè)弦AB,CD的中點分別為M,N.證明:O,M,N三點共線.【解題導(dǎo)思】序號題目拆解(1)求標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)根據(jù)離心率與三角形的周長列方程組求參數(shù)(2)求直線OM的斜率根據(jù)點差法,建立弦AB的中點M與直線AB的斜率之間的關(guān)系,從而求得直線OM的斜率求直線ON的斜率根據(jù)點差法,建立弦CD的中點N與直線AB的斜率之間的關(guān)系,從而求得直線ON的斜率證明三點共線證明兩直線OM,ON斜率相等【解析】(1)由題意知,4a=16,a=4.又因為e=,所以c=2,b=2,所以橢圓E的方程為+=1.(2)當(dāng)直線AB、CD的斜率不存在時,由橢圓的對稱性知,中點M,N在x軸上,O,M,N三點共線;當(dāng)直線AB,CD的斜率存在時,設(shè)其斜率為k(k0),且設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).那么 + = 1, + = 1,相減得 =- ,所以·=-,即·=-,即k·kOM=-,所以kO M=-;同理可得kO N=-,所以kO M=kO N,所以O(shè),M,N三點共線.位置關(guān)系的證明的一般思路是什么?提示:位置關(guān)系的證明,多通過位置關(guān)系的坐標(biāo)化處理,將其轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的證明,故一般多利用直接證明方法,即直接通過代數(shù)運(yùn)算證明.1.(2021·濟(jì)南模擬)拋物線W:x2=2py(p>0)的焦點為F,點A在W上,AF的中點坐標(biāo)為(2,2).(1)求拋物線W的方程.(2)假設(shè)直線l與拋物線W相切于點P(異于原點),與拋物線W的準(zhǔn)線相交于點Q,證明:FPFQ.【解析】(1)由題知F,設(shè)A,因為AF的中點坐標(biāo)為(2,2),所以解得:xA=4,p=4.所以拋物線W的方程為:x2=8y.(2)由y=x2,得y=x,設(shè)點P(x00),那么直線l的方程為y-= x0 (x-x0 ),即為y = x0 x-,令y=-2,得Q,所以=,=,所以·=x0×-4=0,所以FPFQ.2.(2021·長沙模擬)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,過F的直線交拋物線于A,B兩點.(1)假設(shè)以A,B為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=16,求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過A,B分別作拋物線的切線l1,l2,證明:l1,l2的交點在定直線上.【解析】(1)設(shè)AB中點為M,A到準(zhǔn)線的距離為d1,B到準(zhǔn)線的距離為d2,M到準(zhǔn)線的距離為d.那么d=yM+,由拋物線的定義可知,d1=|AF|,d2=|BF|,所以d1+d2=|AB|=8,由梯形中位線可得d=4,所以yM+=4,而yM=3,所以3+=4,可得p=2,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py得y=,那么y=,所以直線l1的方程為y-y1=(x-x1),直線l2的方程為y-y2=(x-x2),聯(lián)立得x=,y=,即l1,l2交點坐標(biāo)為.因為AB過焦點F,所以設(shè)直線AB方程為y-=kx,代入拋物線x2=2py中得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2,所以=-,所以l1,l2的交點在定直線y=-上.1.過橢圓W:+y2=1的左焦點F1作直線l1交橢圓于A,B兩點,其中A(0,1),另一條過F1的直線l2交橢圓于C,D兩點(不與A,B重合),且D點在x軸下方且不與點(0,-1)重合.過F1作x軸的垂線分別交直線AD,BC于E,G.(1)求B點坐標(biāo)和直線l1的方程.(2)求證:|EF1|=|F1G|.【解析】(1)由題意可得直線l1的方程為y=x+1.與橢圓方程聯(lián)立,得可求得B.(2)當(dāng)l2與x軸垂直時,C,D兩點與G,E兩點重合,由橢圓的對稱性,|EF1|=|F1G|.當(dāng)l2不與x軸垂直時,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),l2的方程為y=k(x+1)(k1).由 消去y,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.那么x1+x2=,x1x2=.由,x20,那么直線AD的方程為y-1=x,令x=-1,得點E的縱坐標(biāo)yE=.把y2=k(x2+1)代入得yE=.由,x1-,那么直線BC的方程為y+=,令x=-1,得點G的縱坐標(biāo)yG=.把y1=k(x1+1)代入得yG=.yE+yG=+ =.把x1+x2=,x1x2=代入到2x1x2+3(x1+x2)+4中,那么2x1x2+3(x1+x2)+4=2×+3×+4=0.即yE+yG=0,即|EF1|=|F1G|.2.(2021·重慶模擬)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,右焦點為F,且橢圓C過點.(1)求橢圓C的方程.(2)假設(shè)點A,B分別為橢圓C的左右頂點,點P是橢圓C上不同于A,B的動點,直線AP與直線x=a交于點Q,證明:以線段BQ為直徑的圓與直線PF相切.【解析】(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c(c>0),依題意,解得a=2,b=,c=1,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)方法一:設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),x0±2,因為P在橢圓上,所以+=1,所以=3-,由A,B兩點的坐標(biāo)為(-2,0),(2,0),所以直線AP的方程為:y=(x+2),當(dāng)x=2時y=,那么點Q的坐標(biāo)為,設(shè)線段BQ的中點為T,那么點T的坐標(biāo)為,有|BT|=,當(dāng)x01時,直線PF的方程為:y=(x-1),整理為y0x-(x0-1)y-y0=0,由+(x0-1)2=3-+-2x0+1=(-8x0+16)=(x0-4)2,那么點T到直線PF的距離為d= =,由d=|BT|,故以BQ為直徑的圓與直線PF相切.當(dāng)x0=1時,那么點P的坐標(biāo)為或,直線PF的方程為x=1,直線AP的方程為x-2y+2=0或x+2y+2=0.將x=2代入直線AP的方程得點Q的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2),線段BQ中點T的坐標(biāo)為(2,1)或(2,-1),所以|BT|=1.又點T到直線PF的距離d=1,由d=|BT|,故以BQ為直徑的圓與直線PF相切.方法二:由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(1,0).依題意,直線AP的斜率存在,設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2),設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),由,消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.所以-2+x0=,所以x0=,所以y0=k(x0+2)=,所以P的坐標(biāo)為.因為直線AP與x=2交點為Q,所以Q的坐標(biāo)為(2,4k),B(2,0),所以以BQ為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(2,2k),半徑為|2k|.當(dāng)直線PF的斜率存在,即1,k2時直線PF的方程為y=(x-1),即y=(x-1),整理得4kx-(1-4k2)y-4k=0,設(shè)圓心(2,2k)到直線PF的距離為d,那么d=|2k|,所以以BQ為直徑的圓與直線PF相切.當(dāng)直線PF的斜率不存在,即k2=時,直線PF的方程為x=1.圓心坐標(biāo)為(2,±1),圓的半徑為1,此時以BQ為直徑的圓與直線PF相切.- 15 -