2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.3 圓的方程練習(xí) 理 北師大版

10.3 圓的方程核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一 求圓的方程 1.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=22.三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),那么ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 ()A.B.C.D.3.假設(shè)圓C的半徑為1,圓心C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,那么圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=14.圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程是()A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=45.圓C經(jīng)過P(-2,4),Q(3,-1)兩點(diǎn),且在x軸上截得的弦長等于6,那么圓C的方程為_.【解析】1.選D.由題意可得圓的半徑為r=,那么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+ (y-1)2=2.2.選B.圓心在直線BC的垂直平分線,即x=1上,設(shè)圓心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圓心到原點(diǎn)的距離為d=.3.選A.因?yàn)閳A心C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C(0,0),所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=1.4.選D.設(shè)圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),那么有解得a=1,b=,從而所求圓的方程為(x-1)2+(y-)2=4.5.設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0.設(shè)x1,x2是方程的兩根,由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,聯(lián)立,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0求圓的方程的兩種方法(1)幾何法,通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的根本量.確定圓的方程時(shí),常用到的圓的三個(gè)性質(zhì):圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上;圓心在任一弦的中垂線上;兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線;(2)代數(shù)法,即設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解: 假設(shè)條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),那么設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值.假設(shè)條件沒有明確給出圓心或半徑,那么選擇圓的一般方程,依據(jù)條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.【秒殺絕招】第4題的解答可以畫出直線與圓的圖形,發(fā)現(xiàn)直線的傾斜角為30°,所以圓心M(2,0)的對(duì)稱圓心M,和原點(diǎn)O構(gòu)成等邊三角形,所以xM =2cos 60°=1,yM =2sin 60°=.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的軌跡問題 【典例】1.(2021·貴陽模擬)圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過點(diǎn)A(2,3)作圓C的任意弦,那么這些弦的中點(diǎn)P的軌跡方程為_. 2.直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程.(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1看到中點(diǎn)想到中點(diǎn)坐標(biāo)公式2看到直角想到垂直關(guān)系,從而聯(lián)想到斜率之積為-1或者向量的數(shù)量積為0【解析】1.方法一:設(shè)P(x,y),圓心C(1,1).因?yàn)镻點(diǎn)是過點(diǎn)A的弦的中點(diǎn),所以.又因?yàn)?(2-x,3-y),=(1-x,1-y).所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.所以P點(diǎn)的軌跡方程為+(y-2)2=.方法二:由得,PAPC,所以由圓的性質(zhì)知點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上,圓心C(1,1),而AC中點(diǎn)為,|AC|=,所以半徑為.所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為+(y-2)2=.答案:+(y-2)2=2.(1)方法一:設(shè)C(x,y),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以y0.因?yàn)锳CBC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化簡得x2+y2-2x-3=0.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y0).方法二:設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CD|=|AB|=2.由圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y0).(2)設(shè)M(x,y),C(x0,y0),因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y0).求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法:(1)直接法,直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;(2)定義法,根據(jù)圓、直線等定義列方程;(3)幾何法,利用圓的幾何性質(zhì)列方程;(4)代入法,找到要求點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系,代入點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.設(shè)定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡.【解析】如下圖,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),那么線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分,故=,=.從而又N(x+3,y-4)在圓上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求軌跡為圓:(x+3)2+(y-4)2=4,但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況).考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問題 命題精解讀1.考什么:(1)圓的幾何性質(zhì);(2)根本不等式;(3)函數(shù)的單調(diào)性.2.怎么考:以選擇題或填空題的形式考查3.新趨勢(shì):(1)借助幾何性質(zhì)求解;(2)建立函數(shù)關(guān)系求解.學(xué)霸好方法方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件:A=C0,B=0,且D2+E2-4AF>0.1.解決與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)的最值問題:轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的最值問題.2.過x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程:x0x+y0y=r2. 利用幾何法求最值【典例】1.(2021·南寧模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,(x1-2)2+=5, x2-2y2+4=0,那么(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為()A.B.C.D.【解析】選B.由得點(diǎn)(x1,y1)在圓(x-2)2+y2=5上,點(diǎn)(x2,y2)在直線x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圓(x-2)2+y2=5上的點(diǎn)和直線x-2y+4=0上點(diǎn)的距離的平方,而距離的最小值為-=,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為.2.(2021·聊城模擬)M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn), (1)求m+2n的最大值.(2)求的最大值和最小值.【解析】(1)因?yàn)閤2+y2-4x-14y+45=0的圓心C(2,7),半徑r=2,設(shè)m+2n=t,將m+2n=t看成直線方程,因?yàn)樵撝本€與圓有公共點(diǎn),所以圓心到直線的距離d=2,解上式得:16-2t16+2,所以,所求的最大值為16+2.(2)記點(diǎn)Q(-2,3).因?yàn)楸硎局本€MQ的斜率,設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,那么=k.由直線MQ與圓C有公共點(diǎn),所以2.可得2-k2+,所以的最大值為2+,最小值為2-.用代數(shù)法求最值【典例】1.假設(shè)點(diǎn)P為圓x2+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)為兩個(gè)定點(diǎn),那么|PA|+|PB|的最大值為()A.2B.2C.4D.4【解析】選B.由得,線段AB為圓的直徑.所以|PA|2+|PB|2=4,由根本不等式得=2,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)取等號(hào),所以|PA|+|PB|2.2.圓C過點(diǎn)P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱. (1)求圓C的方程.(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求·的最小值.【解析】(1)設(shè)圓心C(a,b),由得M(-2,-2),那么解得那么圓C的方程為x2+y2=r2,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2=2,故圓C的方程為x2+y2=2.(2)設(shè)Q(x,y),那么x2+y2=2,·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ,y=sin ,所以·=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2,又=-1,所以·的最小值為-4.1.假設(shè)直線ax+by+1=0(a>0,b>0)把圓(x+4)2+(y+1)2=16分成面積相等的兩局部,那么+的最小值為()A.10 B.8C.5D.4【解析】選B.因?yàn)閳A(x+4)2+(y+1)2=16的圓心坐標(biāo)為(-4,-1),直線ax+by+1=0把圓分成面積相等的兩局部,所以該直線過點(diǎn)(-4,-1),-4a-b+1=0,即4a+b=1, +=+(4a+b)=4+4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=時(shí)取“=.2.(2021·廈門模擬)兩點(diǎn)A(0,-3),B(4,0),假設(shè)點(diǎn)P是圓C:x2+y2-2y=0上的動(dòng)點(diǎn),那么ABP的面積的最小值為()A.6B.C.8D.【解析】選B.x2+y2-2y=0可化為x2+(y-1)2=1,那么圓C為以(0,1)為圓心,1為半徑的圓.如圖,過圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P,連接BP,AP,這時(shí)ABP的面積最小,直線AB的方程為+=1,即3x-4y-12=0,圓心C到直線AB的距離d=,又|AB|=5,所以ABP的面積的最小值為×5×=.1.點(diǎn)P(t,t),tR,點(diǎn)M是圓x2+(y-1)2=上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是圓(x-2)2+y2=上的動(dòng)點(diǎn),那么|PN|-|PM|的最大值是()A.-1B.2C.3D.【解析】選B.易知圓x2+(y-1)2=的圓心為A(0,1),圓(x-2)2+y2=的圓心為B(2,0),P(t,t)在直線y=x上,A(0,1)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A(1,0),那么|PN|-|PM|-=|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA|+1|AB|+1=2.(此時(shí)|PN|最大,|PM|最小)2.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓:x2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),那么·的最大值為_. 【解析】由題意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn),故其坐標(biāo)滿足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2y4,所以,當(dāng)y=4時(shí),·的值最大,最大值為6×4-12=12.答案:123.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=-圖像上的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a,a-3)(aR),那么|PQ|的最小值為_. 【解析】函數(shù)y=-的圖像表示圓(x-1)2+y2=4在x軸及下方的局部,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),那么得y=-3,即x-2y-6=0,作出圖像如下圖,由于圓心(1,0)到直線x-2y-6=0的距離d=>2,所以直線x-2y-6=0與圓(x-1)2+y2=4相離,因此|PQ|的最小值是-2.答案:-2- 10 -