2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.10.1 圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題練習(xí) 理 北師大版

10.10.1 圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問(wèn)題核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 【典例】(2021·鄭州模擬)O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)定點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的直線MO和MK的斜率分別為k1,k2,且k1·k2=-. (1)求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程.(2)過(guò)點(diǎn)K作相互垂直的兩條直線與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),求證:直線AB過(guò)定點(diǎn).【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線OM,MK的斜率,即可得到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件(注意斜率存在的條件)(2)根據(jù)點(diǎn)K的位置,確定過(guò)點(diǎn)K相互垂直的兩直線斜率是否存在;假設(shè)兩直線斜率存在,那么斜率互為負(fù)倒數(shù).建立A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,求出直線方程所滿足的條件,進(jìn)而確定定點(diǎn).【解析】(1)由題意,知k1·k2=-,得·=-,整理得x2+y(y-2)=0,故C的方程為+(y-1)2=1(x0).(也可以寫作x2+2y2-4y=0).(2)顯然兩條過(guò)點(diǎn)K的直線斜率都存在,設(shè)過(guò)點(diǎn)K的直線方程為y=kx+2,聯(lián)立解得x=,y=,設(shè)直線AB的方程為:Ax+By+C=0,將x=,y=代入得+C=0整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,由于兩直線垂直,斜率乘積為-1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系=-1,即2B+3C=0,故直線AB過(guò)定點(diǎn).圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系,找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).(2021·鷹潭模擬)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,下頂點(diǎn)D(0,-1),且離心率e=.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,0)且斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得MPA=MPB恒成立?假設(shè)存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo);假設(shè)不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),由得b=1,=,又a2=b2+c2,所以a2=3,b2=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P(m,0)滿足條件,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可知,k0,設(shè)直線l方程為y=k(x-1),由消去y整理得,(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,x1+x2=,x1x2=,由MPA=MPB得,kPA+kPB=0,所以+=0,又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),+=+=0,所以k2(3k2-3)-(m+1)·6k2+2m(3k2+1)=0,所以k(6k2-6-6mk2-6k2+6mk2+2m)=0,所以k(-6+2m)=0,即m=3,所以P(3,0),所以定點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0).考點(diǎn)二圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 【典例】(2021·咸陽(yáng)模擬)A(-2,0),B(2,0),點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)且直線AC和直線BC的斜率之積為-. (1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程.(2)設(shè)直線l與(1)中軌跡相切于點(diǎn)P,與直線x=4相交于點(diǎn)Q,判斷以PQ為直徑的圓是否過(guò)x軸上一定點(diǎn).【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)兩直線的斜率存在,故動(dòng)點(diǎn)C與A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等;利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出斜率,構(gòu)造等式關(guān)系.(2)直線和曲線相切,可利用判別式建立直線方程中的參數(shù)之間的關(guān)系,代入方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量垂直,進(jìn)而坐標(biāo)化處理【解析】(1)設(shè)C(x,y).由題意得kAC·kBC=·=-(y0).整理,得+=1(y0).故動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為+=1(y0).(2)方法一:易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l:y=kx+m.聯(lián)立得方程組 消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依題意得=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.設(shè)x1,x2為方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的兩個(gè)根,那么x1+x2=,所以x1=x2=.所以P,即P.又Q(4,4k+m),設(shè)R(t,0)為以PQ為直徑的圓上一點(diǎn),那么由·=0,得·(4-t,4k+m)=0.整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.綜上可知以PQ為直徑的圓過(guò)x軸上一定點(diǎn)(1,0).方法二:設(shè)P(x0,y0),那么曲線C在點(diǎn)P處的切線PQ:+=1.令x=4,得Q.設(shè)R(t,0)為以PQ為直徑的圓上一點(diǎn),那么由·=0,得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0,即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.綜上可知,以PQ為直徑的圓過(guò)x軸上一定點(diǎn)(1,0).圓過(guò)定點(diǎn),可依據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角直接轉(zhuǎn)化為兩條線段的垂直,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量垂直,即兩向量的數(shù)量積等于0,從而建立方程求解定點(diǎn)的坐標(biāo).(2021·西安模擬)橢圓C:+=1(a>b>0),離心率e=,A是橢圓的左頂點(diǎn),F是橢圓的左焦點(diǎn),=1,直線m:x=-4.(1)求橢圓C的方程.(2)直線l過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),直線PA,QA分別與直線m交于M,N兩點(diǎn),試問(wèn):以MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn),如果是,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo);如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)得,橢圓C的方程為+=1.(2)當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=k,P、Q,直線PA:y=,令x=-4,得M,同理N,以MN為直徑的圓:+=0,整理得:+y2+2ky+4k2=0,得x2+8k2x+4k2-12=0,x1+x2=,x1x2=,將代入整理得:x2+y2+8x-y+7=0,令y=0,得x=-1或x=-7.當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),令P、Q、M、N,以MN為直徑的圓+y2=9也過(guò)、兩點(diǎn),綜上:以MN為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn)、.考點(diǎn)三定值問(wèn)題 命題精解讀1.考什么:(1)考查圓錐曲線中與定值有關(guān)問(wèn)題的求解與證明等問(wèn)題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)、考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想等.2.怎么考:以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為根底,考查定值問(wèn)題的求解與證明.3.新趨勢(shì):以定值問(wèn)題為核心,與函數(shù)、平面向量等知識(shí)模塊交匯.學(xué)霸好方法圓錐曲線中定值問(wèn)題的特點(diǎn)及兩大解法(1)特點(diǎn):待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值.(2)兩大解法:從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);變量法:其解題流程為與長(zhǎng)度、角度相關(guān)的定值【典例】(2021·濟(jì)寧模擬)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且橢圓C過(guò)點(diǎn)P. (1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A,與直線x=3相交于點(diǎn)B,求證:AFB的大小為定值.【解析】(1)因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn),所以+=1,因?yàn)殡x心率為,所以=,又因?yàn)閍2=b2+c2,由得a2=3,b2=2,c2=1.所以橢圓C的方程為:+=1.(2)顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為:y=kx+m.由消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由=24(3k2-m2+2)=0得m2=3k2+2.所以xA=-=-=-,所以yA=kxA+m=-+m=.所以切點(diǎn)A的坐標(biāo)為,又點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,3k+m),右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),所以=,=(2,3k+m),所以·=×2+×(3k+m)=0,所以AFB=90°,即AFB的大小為定值.證明角度為定值的一般方法是什么?提示:證明角度為定值,即借助向量將角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為平面向量數(shù)量積的相關(guān)問(wèn)題求解.代數(shù)式的定值【典例】拋物線C:y2=ax(a>0)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2t. (1)求拋物線C的方程.(2)拋物線C上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)Q(3,-1)的直線與拋物線C交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合),設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.【解析】(1)由拋物線的定義可知|PF|=t+=2t,那么a=4t,由點(diǎn)P在拋物線上,得at=,所以a×=,那么a2=1,由a>0,得a=1,所以拋物線C的方程為y2=x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線C上,且yA=1,所以xA=1.所以A(1,1),設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(3,-1)的直線的方程為x-3=m(y+1),即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),那么y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2=·=-.所以k1k2為定值.證明代數(shù)式的定值問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵點(diǎn)是什么?提示:代數(shù)式的定值問(wèn)題,只需將代數(shù)式坐標(biāo)化,代入點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行直接運(yùn)算即可.1.(2021·青島模擬)直線l過(guò)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),且垂直于拋物線的對(duì)稱軸,l與拋物線兩交點(diǎn)間的距離為2.(1)求拋物線C的方程.(2)假設(shè)點(diǎn)P(2,2),過(guò)點(diǎn)(-2,4)的直線m與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1和k2.求證:k1k2為定值,并求出此定值.【解析】(1)由題意可知,2p=2,解得p=1,那么拋物線的方程為x2=2y.(2)由題易知直線m的斜率存在,設(shè)直線m的方程為y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),那么k1=,k2=,k1k2=,聯(lián)立拋物線x2=2y與直線y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中=4(k2+4k+8)>0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,那么k1k2=-1.因此k1k2為定值,且該定值為-1.2.,橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(-1,0),(1,0). (1)求橢圓C的方程.(2)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.【解析】(1)由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為+=1,因?yàn)锳在橢圓上,所以+=1,解得b2=3,b2=-(舍去).所以橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)直線AE的方程為:y=k(x-1)+,代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.設(shè)E(xE,yE),F(xF,yF),因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上,所以xE=,yE=kxE+-k.又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以-k代k,可得xF=,yF=-kxF+k.所以直線EF的斜率kEF=.即直線EF的斜率為定值,其值為. 1.橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與y2=8x的焦點(diǎn)重合且點(diǎn)A(2,)為橢圓上一點(diǎn)(1)求橢圓方程.(2)過(guò)點(diǎn)A任作兩條與橢圓C相交且關(guān)于x=2對(duì)稱的直線,與橢圓C分別交于P,Q兩點(diǎn),求證:直線PQ的斜率是定值.【解析】(1)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),那么橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),故a2=b2+4,把點(diǎn)A代入橢圓方程得:+=1,解得: 所以橢圓C方程為+=1.(2)由題意,可設(shè)直線AP的方程為y=k(x-2)+,那么直線AQ的方程為y=-k(x-2)+,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),那么y1=k(x1-2)+,y2=-k(x2-2)+,把直線AP的方程與橢圓C方程聯(lián)立得:(1+2k2)x2+(4k-8k2)x+(8k2-8k-4)=0,2·x1=,故x1=,同理可得x2=,所以kPQ=k·=k·=,所以直線PQ的斜率是定值.2.(2021·寶雞模擬)橢圓C:y2=2px(p>0),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)F到直線3x-4y+3=0的距離為d1,焦點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d2,且=.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M的直線l分別與拋物線C相交于P、Q兩點(diǎn),且+為定值,求點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】(1)由題意知,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,那么d1=,d2=p,又=,解得:p=2.故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.(2)設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為,點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為,顯然直線l的斜率不為0.設(shè)直線l的方程為x=my+t.聯(lián)立方程消去x,并整理得y2-4my-4t=0,那么=16>0且y1+y2=4m,y1y2=-4t.由=,=.有+=+=,假設(shè)+為定值,必有t=2.所以當(dāng)+為定值時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為. - 15 -