2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.10.2 圓錐曲線中的探究性問題練習(xí) 理 北師大版

10.10.2 圓錐曲線中的探究性問題核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一探究數(shù)量關(guān)系 【典例】(2021·宜昌模擬)橢圓P:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最小值為2-. (1)求橢圓P的方程.(2)直線x=1與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M的直線AB與P交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P為直線x=1上任意一點(diǎn),設(shè)直線AB與直線x=4交于點(diǎn)N,記PA,PB,PN的斜率分別為k1,k2,k0,那么是否存在實(shí)數(shù),使得k1+k2=k0恒成立?假設(shè)是,請(qǐng)求出的值;假設(shè)不是,請(qǐng)說明理由.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)根據(jù)題干條件列出a,b,c的關(guān)系求解(2)將直線AB與橢圓P的方程聯(lián)立,消元后建立兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,兩點(diǎn)坐標(biāo)求三個(gè)斜率值,代入等式確定實(shí)數(shù)的值【解析】(1)橢圓上的左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最小為2-=a-c,結(jié)合題干條件得到 解之得 ,故橢圓P的方程為:+y2=1.(2)設(shè)A,B,P,M,假設(shè)直線AB與x軸不重合時(shí),設(shè)直線AB的方程為x=my+1,點(diǎn)N,k0=,將直線代入橢圓方程整理得:y2+2my-3=0,顯然>0,那么y1+y2=-,y1y2=-,k1+k2=+ = =2·=2k0,假設(shè)直線AB與x軸重合時(shí),那么B,A,N,此時(shí)k1+k2=+=-t,而k0=-t,故k1+k2=2k0. 綜上所述,存在實(shí)數(shù)=2符合題意.1.探究性問題求解的思路及策略(1)思路:先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,假設(shè)結(jié)論正確,那么存在;假設(shè)結(jié)論不正確,那么不存在.(2)策略:當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論;當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件.在這個(gè)解題思路指導(dǎo)下解決探索性問題與解決具有明確結(jié)論的問題沒有什么差異.2.解決存在性問題的一些技巧(1)特殊值(點(diǎn))法:對(duì)于一些復(fù)雜的題目,可通過其中的特殊情況,解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立.(2)核心變量的選取:因?yàn)榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素,所以通常以該要素作為核心變量,其余變量作為輔助變量,必要的時(shí)候消去.(3)核心變量的求法:直接法:利用條件與輔助變量直接表示出所求要素,并進(jìn)行求解,間接法:假設(shè)無法直接求出要素,那么可將核心變量參與到條件中,列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程(組),運(yùn)用方程思想求解.(2021·廣州模擬)橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,且點(diǎn)P在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程.(2)過點(diǎn)M(1,1)任作一條直線l,l與橢圓E交于不同于P點(diǎn)的A,B兩點(diǎn),l與直線m:3x+4y-12=0交于C點(diǎn),記直線PA,PB,PC的斜率分別為k1,k2,k3.試探究k1+k2與k3的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)因?yàn)闄E圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,所以e=a=2c,因?yàn)閍2=b2+c2,所以b=c.故可設(shè)橢圓E的方程為:+=1,因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E上,所以將其代入橢圓E的方程得+=1c2=1.所以橢圓E的方程為+=1.(2)依題意,直線l不可能與x軸垂直,故可設(shè)直線l的方程為:y-1=k(x-1), 即y=kx-k+1,A(x1,y1),B(x2,y2)為l與橢圓E的兩個(gè)交點(diǎn).將y=kx-k+1代入方程3x2+4y2-12=0化簡得(4k2+3)x2-8(k2-k)x+4k2-8k-8=0.所以x1+x2=,x1x2=.所以k1+k2=+=+=2k-=2k-·=2k-·=,又由3x+4(kx-k+1)-12=0,解得x=,y=,即C點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以k3=.因此,k1+k2與k3的關(guān)系為:k1+k2=2k3. 考點(diǎn)二探究定點(diǎn)與定值 【典例】(2021·成都模擬)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,直線x+y-1=0被圓x2+y2=b2截得的弦長為.(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)(1,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得·為定值?假設(shè)存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和·的值;假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系,與離心率為聯(lián)立求a,b.(2)將直線AB與橢圓C的方程聯(lián)立,建立交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.需要注意直線是否與x軸重合的處理.【解析】(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為,所以a=b,因?yàn)閳Ax2+y2=b2的圓心到直線x+y-1=0的距離為d=,所以直線x+y-1=0被圓x2+y2=b2截得的弦長為2=2=.解得b=1,故a=b=,所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)設(shè)P(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí),設(shè)l的方程:x=my+1.由得(m2+2)y2+2my-1=0, 所以x1+x2=,x1x2=+1,·=(x1-t,y1)·(x2-t,y2)=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2=+t2+1=-+t2+1,當(dāng)=2,即t=時(shí),·的值與m無關(guān),此時(shí)·=-.當(dāng)直線l與x軸重合且t=時(shí),·=·=-2=-.所以存在點(diǎn)P,使得·為定值-.定點(diǎn)與定值的探究性問題,一般采用假設(shè)法.首先根據(jù)所解決的問題設(shè)出參數(shù);然后假設(shè)定點(diǎn)存在,定值成立,再根據(jù)定點(diǎn)與定值問題的解決方法,列出參數(shù)所滿足的等式關(guān)系,那么可將探究性問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組的解的存在性問題.(2021·九江模擬)F1,F2是離心率為的橢圓E:+=1 (a>b>0)的兩焦點(diǎn),假設(shè)存在直線l,使得F1,F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的連線恰好是圓C:x2+y2-2mx-4my+5m2-1=0 的一條直徑.(1)求橢圓E的方程;(2)過橢圓E的上頂點(diǎn)A作斜率為k1,k2的兩條直線AB,AC,兩直線分別與橢圓交于B,C兩點(diǎn),當(dāng)k1·k2=-2時(shí),直線BC是否過定點(diǎn)?假設(shè)是,求出該定點(diǎn),假設(shè)不是,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)將圓C的方程配方得+=1,所以其圓心為,半徑為1.由題意知,橢圓E的焦距2c等于圓C的直徑,所以c=1,又e=,所以a=,b2=a2-c2=1,所以橢圓E的方程為+y2=1.(2)因?yàn)閗1·k2=-2<0,所以直線BC斜率存在,A,設(shè)直線lBC:y=kx+m,B,C, 消y整理得x2+4kmx+2m2-2=0,x1+x2=-,x1x2=(*),又k1k2=·=-2,整理得+2x1x2=0,即+2x1x2=0,所以x1x2+k+=0.將(*)代入得-+=0,整理得5m2-2m-3=0,解得m=-(m=1舍去),所以直線BC過定點(diǎn).考點(diǎn)三探究位置關(guān)系 【典例】圓C:(x-1)2+y2=r2(r>1),設(shè)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn),過點(diǎn)A作圓C的弦AM,并使弦AM的中點(diǎn)恰好落在y軸上.(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程.(2)延長MC交曲線E于點(diǎn)N,曲線E在點(diǎn)N處的切線與直線AM交于點(diǎn)B,試判斷以點(diǎn)B為圓心,線段BC長為半徑的圓與直線MN的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)的軌跡方程(2)圓心為B,半徑為|BC|,故只需比擬點(diǎn)B到直線MN的距離與|BC|的大小即可【解析】(1)設(shè)M(x,y),由題意可知,A(1-r,0),AM的中點(diǎn)D,x>0,因?yàn)镃(1,0),所以=,=.在C中,因?yàn)镃DDM,所以·=0,所以x-=0,即y2=4x(x>0),所以點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4x(x>0).(2)設(shè)直線MN的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),y2-4my-4=0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4,又r-1=x1,那么點(diǎn)A(-x1,0),所以直線AM的方程為y=x+.設(shè)直線BN的方程為y=k+y2,聯(lián)立整理得ky2-4y+4y2-k=0,由=0可得k=,那么直線BN的方程為y=x+.聯(lián)立可得xB=-1,yB=2m,所以點(diǎn)B(-1,2m),|BC|=2,所以點(diǎn)B到直線MN的距離d=2=|BC|,所以B與直線MN相切.直線與曲線位置關(guān)系的探究性問題,關(guān)鍵是利用代數(shù)法或幾何法將直線和曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的探究問題來解決.如該題中探究直線和圓的位置關(guān)系,只需比擬圓的半徑與圓心到直線的距離大小即可.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點(diǎn)(2,).(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B,右焦點(diǎn)為F,直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),問是否存在直線l,使得F為BMN的垂心,假設(shè)存在,求出直線l的方程;假設(shè)不存在,說明理由.【解析】(1)由可得,解得a2=8,b2=4,c=2,所以橢圓C的方程為+=1.(2)由可得,B(0,2),F(2,0),所以kBF=-1.因?yàn)锽Fl,所以可設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程整理,得3x2+4mx+2m2-8=0.那么=(4m)2-12(2m2-8)=96-8m2>0,得m2<12.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),那么x1+x2=-,x1x2=,因?yàn)锽NMF,所以·=-1.即y1y2+x1x2-2y1-2x2=0.因?yàn)閥1=x1+m,y2=x2+m,所以(x1+m)(x2+m)+x1x2-2(x1+m)-2x2=0,即2x1x2+(m-2)(x1+x2)+m2-2m=0,所以2·+(m-2)·+m2-2m=0.所以3m2+2m-16=0,所以m=-或m=2.又m=2時(shí),直線l過B點(diǎn),不合要求,所以m=-,故存在直線l:y=x-滿足題設(shè)條件.【變式備選】1.(2021·人大附中模擬)橢圓C:+=1的離心率等于,P,Q(2,-3)是橢圓上的兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程.(2)A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)A,B運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足APQ=BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值?如果為定值,請(qǐng)求出此定值;如果不是定值,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)由題意可得 ,解得a=4,b=2,c=2.所以橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)APQ=BPQ時(shí),那么PA、PB的斜率之和為0,設(shè)直線PA的斜率為k,那么PB的斜率為-k,PA的直線方程為y-3=k(x-2),聯(lián)立 ,得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0.所以x1+2=.同理PB的直線方程為y-3=-k(x-2),可得x2+2=.所以x1+x2=,x1-x2=,kAB= =,所以直線AB的斜率為定值.2.如圖,A,B是橢圓C:+y2=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn),M,N是橢圓上與A,B均不重合的相異兩點(diǎn),設(shè)直線AM,BN,AN的斜率分別是k1,k2,k3.(1)求k2·k3的值.(2)假設(shè)直線MN過點(diǎn),求證:k1·k3=-.(3)設(shè)直線MN與x軸的交點(diǎn)為(t,0)(t為常數(shù)且t0),試探究直線AM與直線BN的交點(diǎn)Q是否落在某條定直線上?假設(shè)是,請(qǐng)求出該定直線的方程;假設(shè)不是,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)設(shè)N(x0,y0),由于A(-,0),B(,0),所以k2·k3=·=,因?yàn)镹(x0,y0)在橢圓C上,于是+=1,即-2=-2,所以k2·k3=-. (2)設(shè)直線MN:x=my+,M(x1,y1),N(x2,y2),由得(m2+2)y2+my-=0.于是y1+y2=-,y1·y2=-,k1·k3=·=-.(3)由于直線MN與x軸的交點(diǎn)為(t,0),于是直線MN的方程:x=my+t,聯(lián)立直線MN:x=my+t與橢圓C:+y2=1的方程,可得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,于是y1+y2=-,y1·y2=,因?yàn)橹本€AM:y=(x+),直線BN:y=(x-),兩式相除,可知=·=·=·=,于是xt=2,所以x=,即直線AM與直線BN的交點(diǎn)Q落在定直線x=上.- 16 -