2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.7.1 利用空間向量求線線角與線面角練習(xí) 理 北師大版

9.7.1 利用空間向量求線線角與線面角核心考點·精準(zhǔn)研析 考點一異面直線所成的角  1.(2021·全國卷)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,那么異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,那么BM與AN所成角的余弦值為()A.B.C.D.3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱A1A底面ABC,AC=1,AA1=2,BAC=90°,假設(shè)AB1與直線A1C的夾角的余弦值是,那么棱AB的長度是_. 4.如下列圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點,=,假設(shè)異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為,那么的值為_.【解析】1.選C.以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,那么D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以=(-1,0,),=(1,1,),設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為,那么cos =|cos􀎮,􀎯|=.2.選C.建立如下列圖空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BC=CA=CC1=2,那么可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).所以cos<,>=.3.如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=a,那么A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2),C(0,1,0),所以=(a,0,2),=(0,1,-2),所以=,解得a=1,所以棱AB的長度是1.答案:14.以D為原點,以DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,正方體的棱長為2,那么A1,D1,E,A ,所以=,=+=+=+=,所以cos<,>=,解得=(=-舍去).答案:求異面直線所成的角的兩個關(guān)注點(1)用向量方法求兩條異面直線所成的角,是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解的.(2)由于兩異面直線所成角的范圍是0,兩方向向量的夾角的范圍是(0,),所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)有cos =|cos |.【解析】選C.由于BCA=90°,三棱柱為直三棱柱,且BC=CA=CC1,可將三棱柱補(bǔ)成正方體.建立如下列圖空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長為2,那么可得A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),所以=(-1,-1,2),=(0,1,2).所以cos<,>=.考點二直線與平面所成的角 【典例】(2021·全國卷)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把DFC折起,使點C到達(dá)點P的位置,且PFBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD.(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)要證面面垂直,先想到判定定理(2)要求線面角,考慮用向量法,想到如何建立空間坐標(biāo)系.【解析】(1)由可得,BFPF,BFEF,PFEF=F,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)方法一:作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點,的方向為y軸正方向,設(shè)正方形ABCD的邊長為2,建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PEPF.可得PH=,EH=.那么H(0,0,0),P,D,=,=為平面ABFD的一個法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為,那么sin =.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.方法二:因為PFBF,BFED,所以PFED,又PFPD,EDDP=D,所以PF平面PED,所以PFPE,設(shè)AB=4,那么EF=4,PF=2,所以PE=2,過P作PHEF交EF于H點,由平面PEF平面ABFD,所以PH平面ABFD,連接DH,那么PDH即為直線DP與平面ABFD所成的角,由PE·PF=EF·PH,所以PH=,因為PD=4,所以sinPDH=,所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形,BAD=120°,AB=2,E,F分別為CD,AA1的中點.(1)求證:DF平面B1AE.(2)假設(shè)AA1底面ABCD,且直線AD1與平面B1AE所成線面角的正弦值為,求AA1的長.【解析】(1)設(shè)G為AB1的中點,連接EG,GF,因為FG􀱀A1B1,又DE􀱀A1B1,所以FG􀱀DE,所以四邊形DEGF是平行四邊形,所以DFEG,又DF平面B1AE,EG平面B1AE,所以DF平面B1AE. (2)因為ABCD是菱形,且ABC=60°,所以ABC是等邊三角形.取BC中點M,那么AMAD,因為AA1平面ABCD,所以AA1AM,AA1AD,建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,令A(yù)A1=t(t>0),那么A(0,0,0),E,0,B1(,-1,t),D1(0,2,t),=,0, =(,-1,t),=(0,2,t),設(shè)平面B1AE的一個法向量為n=(x,y,z),那么n·=(x+y)=0且n·=x-y+tz=0,取n=(-t,t,4),設(shè)直線AD1與平面B1AE所成角為,那么sin =,解得t=2,故線段AA1的長為2. 可修改 歡迎下載 精品 Word