2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習(xí) 理 北師大版

2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值 1.以下等式成立的是()A.(-2)-2=4B.2a-3=(a>0)C.(-2)0=-1D.()4=(a>0)2.(2021·全國(guó)卷)2021年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球反面軟著陸,我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就,實(shí)現(xiàn)月球反面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題,發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律,r滿足方程:+=(R+r).設(shè)=,由于的值很小,因此在近似計(jì)算中33,那么r的近似值為()A.RB.RC.RD.R3.設(shè)2x=8y+1,9y=3x-9,那么x+y的值為_(kāi). 4.f(x)=2x+2-x,假設(shè)f(a)=3,那么f(2a)等于_. 【解析】1.選D.對(duì)于A,(-2)-2=,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,2a-3=,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,(-2)0=1,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,()4=.2.選D.由題可知M1+M2=M1,把=代入得:M1+M2=M1,=-M1=M1=M1,由題中給出的33,所以3,r3R3,rR.3.因?yàn)?x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因?yàn)?y=3x-9=32y,所以x-9=2y,解得x=21,y=6,所以x+y=27.答案:274.由f(a)=3得2a+2-a=3,所以(2a+2-a)2=9,即22a+2-2a+2=9.所以22a+2-2a=7,故f(2a)=22a+2-2a=7.答案:7指數(shù)冪運(yùn)算的一般原那么(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的,無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào);底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)假設(shè)是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答.(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù),形式力求統(tǒng)一.考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 【典例】1.0<a<1,b<-1,那么函數(shù)y=ax+b的圖像必定不經(jīng)過(guò)()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.函數(shù)f(x)=1-e|x|的圖像大致是()3.假設(shè)曲線|y|=2x+1與直線y=b沒(méi)有公共點(diǎn),那么b的取值范圍為_(kāi).【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由0<a<1,b<-1,y=ax+b,想到指數(shù)函數(shù)的圖像2由f(x)=1-e|x|,想到偶函數(shù)以及函數(shù)值小于等于03由|y|=2x+1,想到討論y0與y<0【解析】1.選A.y=ax+b(0<a<1,b<-1)的圖像如圖.由圖像可知,y=ax+b的圖像必定不經(jīng)過(guò)第一象限.2.選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1-e|x|是偶函數(shù),且值域是(-,0,只有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì).3.分別作出兩者的圖像,通過(guò)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷參數(shù)的取值范圍. 曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖像如下列圖,由圖像可得假設(shè)|y|=2x+1與直線y=b沒(méi)有公共點(diǎn),那么b應(yīng)滿足的條件是b-1,1.答案:-1,11.指數(shù)函數(shù)圖像的畫(huà)法(判斷)及應(yīng)用方法(1)畫(huà)(判斷)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a1)的圖像,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1,a),(0,1),.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像,通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖像.(3)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.2.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a1)的圖像越高,底數(shù)越大.【秒殺絕招】T2可用排除法解決,T3可利用2x+1的取值范圍直接求解.1.不管a為何值,函數(shù)y=(a-1)2x-恒過(guò)定點(diǎn),那么這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.B.C.D.【解析】選C.y=(a-1)2x-=a-2x,令2x-=0,得x=-1,故函數(shù)y=(a-1)2x-恒過(guò)定點(diǎn).2.函數(shù)y=ax-(a>0,且a1)的圖像可能是()【解析】選D.假設(shè)a>1,那么y=ax-在R上是增函數(shù),當(dāng)x=0時(shí),y=1-(0,1),A,B不滿足.假設(shè)0<a<1,那么y=ax-在R上是減函數(shù),當(dāng)x=0時(shí),y=1-<0,C錯(cuò),D項(xiàng)滿足.3.(2021·吉安模擬)假設(shè)函數(shù)y=|2x-1|的圖像與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn),那么b的取值范圍為_(kāi). 【解析】作出曲線y=|2x-1|的圖像與直線y=b如下列圖.由圖像可得b的取值范圍是(0,1).答案:(0,1)考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)求指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小、求值或解不等式、求參數(shù)值等問(wèn)題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:指數(shù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,函數(shù)的周期性以及對(duì)稱性等知識(shí)單獨(dú)或交匯考查,也可能以分段函數(shù)的形式呈現(xiàn).3.新趨勢(shì):以指數(shù)函數(shù)為載體,單調(diào)性與比較大小、求參數(shù)值或范圍交匯考查,指數(shù)函數(shù)與其他根本初等函數(shù)交匯,指數(shù)函數(shù)的圖像與對(duì)稱性、交點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式交匯考查.學(xué)霸好方法1.比較指數(shù)式的大小的方法(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性比較大小.(2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1“0等中間量比較大小.(3)在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí),當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1的大小關(guān)系不確定時(shí),要分類討論.2.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)求單調(diào)區(qū)間必須先求定義域.(2)根據(jù)底數(shù)a進(jìn)行判斷,0<a<1為減函數(shù),a>1為增函數(shù).(3)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減.比較指數(shù)式的大小【典例】f(x)=2x-2-x,a=,b=,那么f(a),f(b)的大小關(guān)系是_. 【解析】易知f(x)=2x-2-x在R上為增函數(shù),又a=>=b.所以f(a)>f(b).答案:f(b)<f(a)如何比較指數(shù)式的大小?提示:首先將指數(shù)式化為同底,再考慮相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,最后得出結(jié)論.解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式【典例】1.實(shí)數(shù)a1,函數(shù)f(x)=假設(shè)f(1-a)=f(a-1),那么a的值為_(kāi). 2.設(shè)函數(shù)f(x)=假設(shè)f(a)<1,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【解析】1.當(dāng)a<1時(shí),41-a=21,解得a=;當(dāng)a>1時(shí),代入不成立.故a的值為.答案:2.當(dāng)a<0時(shí),不等式f(a)<1可化為-7<1,即<8,即<,因?yàn)?<<1,所以a>-3,所以-3<a<0;當(dāng)a0時(shí),不等式f(a)<1可化為<1,所以0a<1.故a的取值范圍是(-3,1).答案:(-3,1)如何解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式?提示:充分利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),將指數(shù)方程或不等式轉(zhuǎn)化為一次、二次方程或不等式,即可解決.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例】1.假設(shè)對(duì)于任意x(-,-1,都有(3m-1)2x<1成立,那么m的取值范圍是 ()A.B.C.(-,1)D.(-,12.函數(shù)f(x),假設(shè)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x滿足f(-x)=-f(x),那么稱函數(shù)f(x)為“局部奇函數(shù),假設(shè)函數(shù)f(x)=4x-m·2x-3是定義在R上的“局部奇函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.-2,2)B.-2,+)C.(-,2) D.-4,-2)【解析】1.選C.因?yàn)?x>0,所以不等式(3m-1)2x<1對(duì)于任意x(-,-1恒成立,等價(jià)于3m-1<=對(duì)于任意x(-,-1恒成立.因?yàn)閤-1,所以=2.所以3m-1<2,解得m<1,所以m的取值范圍是(-,1).2.選B.根據(jù)“局部奇函數(shù)的定義可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),所以4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化為(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t2),那么有t2-mt-8=0在2,+)上有解,設(shè)g(t)=t2-mt-8,那么g(2)0,得m-2,綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為-2,+).任意x-2,-1,都有3m-1<成立與存在x-2,-1,使得3m-1<成立一樣嗎?提示:不一樣,前者3m-1比的最小值還要小,而后者只需小于它的最大值即可.1.(2021·西安模擬)f(x)=2x-2-x,a=,b=,c=log2,那么f(a),f(b), f(c)的大小關(guān)系為()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(c)<f(a)【解析】選B.易知f(x)=2x-2-x在R上為增函數(shù),又a=>=b>0, c=log2<0,那么a>b>c,所以f(c)<f(b)<f(a).2.假設(shè),那么函數(shù)y=2x的值域是()A.B.C. D.2,+)【解析】選B.因?yàn)?24-2x,那么x2+14-2x,即x2+2x-30,所以-3x1,所以y2.3.假設(shè)函數(shù)f(x)=a|x+1|(a>0,且a1)的值域?yàn)?,+),那么f(-4)與f(1)的關(guān)系是 ()A.f(-4)>f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1)D.不能確定【解析】選A.由題意知a>1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).1.0<a<1,x>y>1,那么以下各式中正確的選項(xiàng)是()A.xa<yaB.ax<ayC.ax>ayD.ax>ya【解析】選B.對(duì)于A,因?yàn)?gt;1,所以=>=1,所以xa>ya,所以A錯(cuò)誤; 0<a<1,所以f(x)=ax為減函數(shù),又x>y>1,所以ax<ay,B正確,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)閍x<a0=1而ya>y0=1,所以ax<ya,所以D錯(cuò)誤.2.假設(shè)函數(shù)f(x)=的值域是,那么f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_. 【解析】令g(x)=ax2+2x+3,由于f(x)的值域是,所以g(x)的值域是2,+).因此有解得a=1,這時(shí)g(x)=x2+2x+3,f(x)=.由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,-1,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-1.答案:(-,-1 可修改 歡迎下載 精品 Word