高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型

用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型 求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：．若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為． 下面例析四種常見(jiàn)的類型及解法． 類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程 此類題較為簡(jiǎn)單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可． 例1　曲線在點(diǎn)處的切線方程為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選Ｂ． 類型二：已知斜率，求曲線的切線方程 此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決． 例2　與直線的平行的拋物線的切線方程是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：設(shè)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為． ． 由此得到切點(diǎn)．故切線方程為，即，故選Ｄ． 評(píng)注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為，代入，得，又因?yàn)?，得，故選Ｄ． 類型三：已知過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程 過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法． 例3 求過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線方程． 解：設(shè)想為切點(diǎn)，則切線的斜率為． 切線方程為． ． 又知切線過(guò)點(diǎn)，把它代入上述方程，得． 解得，或． 故所求切線方程為，或，即，或． 評(píng)注：可以發(fā)現(xiàn)直線并不以為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過(guò)了點(diǎn)且以為切點(diǎn)的直線．這說(shuō)明過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問(wèn)題可用待定切點(diǎn)法． 類型四：已知過(guò)曲線外一點(diǎn)，求切線方程 此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來(lái)求解． 例4　求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程． 解：設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率為． 切線方程為，即． 又已知切線過(guò)點(diǎn)，把它代入上述方程，得． 解得，即． 評(píng)注：點(diǎn)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過(guò)程中卻無(wú)需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性． 例5　已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程． 解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上． 設(shè)切點(diǎn)為， 則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足． 因， 故切線的方程為． 點(diǎn)在切線上，則有． 化簡(jiǎn)得，解得． 所以，切點(diǎn)為，切線方程為． 評(píng)注：此類題的解題思路是，先判斷點(diǎn)A是否在曲線上，若點(diǎn)A在曲線上，化為類型一或類型三；若點(diǎn)A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)并求出切點(diǎn)．