2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.6 冪函數(shù)與二次函數(shù)練習(xí) 理 北師大版

2.6 冪函數(shù)與二次函數(shù)核心考點·精準(zhǔn)研析考點一冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1.冪函數(shù)f(x)=(m2-4m+4)在(0,+)上為增函數(shù),那么m的值為 ()A.1或3B.1C.3D.22.假設(shè)四個冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標(biāo)系中的圖像如下列圖,那么a,b,c,d的大小關(guān)系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c3.(2021·全國卷)假設(shè)a>b,那么()A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|4.設(shè)a=,b=,c=,那么a,b,c的大小關(guān)系為()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】1.選B.由題意知解得m=1.2.選B.由冪函數(shù)的圖像可知,在(0,1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大,函數(shù)圖像越接近x軸,由題圖知a>b>c>d.3.選C.當(dāng)a=3,b=2時,選項A錯.由于a>b,而y=3x是增函數(shù),所以3a>3b,故B錯.當(dāng)a=3,b=-5時,選項D錯.因為y=x3是增函數(shù),故a3>b3.4.選A.因為0<<<1,指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減,故<.又由于冪函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增,故>,所以<<,即b<c<a.1.冪函數(shù)圖像的特點掌握冪函數(shù)圖像只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域,即x=1,y=1,y=x分的區(qū)域.根據(jù)<0,0<<1,=1,>1的取值確定位置后,其余象限局部由奇偶性決定.2.比較冪值大小的方法在比較冪值的大小時,必須結(jié)合冪值的特點,選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進行比較.【秒殺絕招】題3可以用特殊值法求解,令a=0,b=-1,那么可排除選項A,B,D.考點二二次函數(shù)的圖像與解析式 【典例】1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),f(m)<0,那么()A.f(m+1)0B.f(m+1)0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<02.二次函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(0)=3,對xR,都有f(1+x)=f(1-x)成立,那么f(x)的解析式為. 3.二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,那么f(x)=.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由f(x)=x2+x+a,想到該函數(shù)的對稱軸為x=-2由f(1+x)=f(1-x),想到該函數(shù)的對稱軸為x=13由二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(0,0)和(-2,0),想到f(x)=ax(x+2)(a0)【解析】1.選C.因為f(x)的對稱軸為x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致圖像如下列圖,由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.2.由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,所以=1,所以b=2,所以f(x)=x2-2x+3.答案:f(x)=x2-2x+33.設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)=ax(x+2)(a0),所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.答案:x2+2x1.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式形式,選法如下:2.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0).(2)頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(a0).(3)兩根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).1.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a1)與二次函數(shù)y=(a-1)x2-x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是()【解析】選A.假設(shè)0<a<1,那么y=logax在(0,+)上單調(diào)遞減,y=(a-1)x2-x開口向下,其圖像的對稱軸在y軸左側(cè),排除C,D.假設(shè)a>1,那么y=logax在(0,+)上是增函數(shù),y=(a-1)x2-x圖像開口向上,且對稱軸在y軸右側(cè),因此B項不正確,只有選項A正確.2.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,bR,a0),xR,假設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,那么f(x)=. 【解析】設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1考點三二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì),二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),求值或解不等式,求參數(shù)值等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:冪函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的周期性以及對稱性等知識單獨或交匯考查,也可能以分段函數(shù)的形式呈現(xiàn).3.新趨勢:冪函數(shù)、二次函數(shù)與其他根本初等函數(shù)交匯,圖像交點個數(shù)、方程、不等式交匯考查.學(xué)霸好方法一元二次不等式恒成立的條件(1)“ax2+bx+c>0(a0)恒成立的充要條件是“a>0且<0.(2)“ax2+bx+c<0(a0)恒成立的充要條件是“a<0且<0.二次函數(shù)的單調(diào)性問題【典例】函數(shù)f(x)=-2x2+bx,假設(shè)對任意的實數(shù)t都有f(4+t)=f(4-t),那么f(-2),f(4),f(5)的大小關(guān)系為()A.f(5)>f(-2)>f(4)B.f(4)>f(5)>f(-2)C.f(4)>f(-2)>f(5)D.f(-2)>f(4)>f(5)【解析】選B.因為對任意的實數(shù)t都有f(4+t)=f(4-t),所以函數(shù)f(x)=-2x2+bx的圖像關(guān)于直線x=4對稱,所以f(-2)=f(10),又函數(shù)f(x)=-2x2+bx的圖像開口向下,所以函數(shù)f(x)在4,+)上是減函數(shù),因為4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).二次函數(shù)中的恒成立問題【典例】1.假設(shè)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切xR恒成立,那么a的取值范圍是()A.(-,2B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)2.假設(shè)關(guān)于x的不等式x2-4xm對任意x(0,1恒成立,那么m的取值范圍為.【解析】1.選C.當(dāng)a-2=0即a=2時,不等式為-4<0,恒成立.當(dāng)a-20時,解得-2<a<2,所以a的取值范圍是-2<a2.2.只需要在x(0,1時,(x2-4x)minm即可.因為函數(shù)f(x)=x2-4x在(0,1上為減函數(shù),所以當(dāng)x=1時,(x2-4x)min=1-4=-3,所以m-3.答案:(-,-3二次函數(shù)的最值問題【典例】假設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間0,1上的最大值是M,最小值是m,那么M-m()A.與a有關(guān)且與b有關(guān)B.與a有關(guān)但與b無關(guān)C.與a無關(guān)且與b無關(guān)D.與a無關(guān)但與b有關(guān)【解析】選B.f(x)=x2+ax+b=+b-,對稱軸為x=-,下面分情況討論:(1)假設(shè)->1,即a<-2時,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f(1)=a+b+1,此時M-m=b-(a+b+1)=-a-1.(2)假設(shè)<-1,即-2a<-1時,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f=b-,此時M-m=b-=.(3)假設(shè)0<-,即-1a<0時,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f=b-,此時M-m=a+b+1-=1+a+.(4)假設(shè)-0,即a0時,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f(0)=b,此時M-m=a+b+1-b=1+a.綜上,M-m與a有關(guān),而與b無關(guān).1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,那么g(1)+g(2)+g(20)= ()A.56B.112C.0D.38【解析】選B.由二次函數(shù)圖像的性質(zhì)得,當(dāng)3x20時,f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.2.(2021·蚌埠模擬)函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,那么f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是()A.f(bx)f(cx)B.f(bx)f(cx)C.f(bx)>f(cx)D.與x有關(guān),不確定【解析】選A.由題意知,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,所以b=2,又f(0)=3,所以c=3,那么bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在1,+)上單調(diào)遞增.假設(shè)x0,那么3x2x1,所以f(3x)f(2x);假設(shè)x<0,那么3x<2x<1,所以f(3x)>f(2x).所以f(3x)f(2x),即f(bx)f(cx).3.(2021·南昌模擬)如果函數(shù)f(x)=x2-ax-a在區(qū)間0,2上的最大值為1,那么實數(shù)a=. 【解析】因為函數(shù)f(x)=x2-ax-a的圖像為開口向上的拋物線,所以函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得.因為f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以或解得a=1.答案:1(2021·北京模擬)集合a,b,c=2,3,4,且以下三個關(guān)系:a3,b=3,c4有且只有一個正確,那么函數(shù)f(x)=的值域是. 【解析】由a,b,c=2,3,4得,a,b,c的取值有以下情況:當(dāng)a=2時,b=3,c=4時,不滿足題意.當(dāng)a=2時,b=4,c=3時,不滿足題意;當(dāng)a=3時,b=2,c=4時,不滿足題意;當(dāng)a=3時,b=4,c=2時,滿足題意;當(dāng)a=4時,b=2,c=3時,不滿足題意;當(dāng)a=4時,b=3,c=2時,不滿足題意;綜上得,a=3,b=4,c=2,那么函數(shù)f(x)=當(dāng)x>4時,f(x)=2x>24=16,當(dāng)x4時,f(x)=(x-2)2+33,綜上f(x)3,即函數(shù)的值域為3,+).答案:3,+) 可修改 歡迎下載 精品 Word