高等數(shù)學(xué)復(fù)旦大學(xué)出版社習(xí)題答案一

1 習(xí)題一 1 下列函數(shù)是否相等 為什么 2 22 1 sin 31 sin 31 13 fxgxyxut 解 1 相等 因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域相同 都是實(shí)數(shù)集 R 由 知兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同 所以2x 兩函數(shù)相等 2 相等 因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域相同 都是實(shí)數(shù)集 R 由已知函數(shù)關(guān)系式顯然可得兩函數(shù)的對應(yīng)法則 也相同 所以兩函數(shù)相等 3 不相等 因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域是 而函數(shù) 的定義域是實(shí)數(shù)集 R 兩函數(shù) fx 1 x gx 的定義域不同 所以兩函數(shù)不相等 2 求下列函數(shù)的定義域 211 1 4arctn 2 3 lg 3 4arcosin yxyxx 解 1 要使函數(shù)有意義 必須 即 0 x 40 x 所以函數(shù)的定義域是 0 4 2 要使函數(shù)有意義 必須 即 30lg 1 x 301x 所以函數(shù)的定義域是 3 0 0 1 3 要使函數(shù)有意義 必須 即 210 x 1x 所以函數(shù)的定義域是 4 要使函數(shù)有意義 必須 2 即 12sinx 1sin2x 即 或 k 為整數(shù) 266kxk 57 6k 也即 k 為整數(shù) 所以函數(shù)的定義域是 k 為整數(shù) 3 求函數(shù) 的定義域與值域 1sin 0 xy 解 由已知顯然有函數(shù)的定義域?yàn)?又當(dāng) 時(shí) 可以是不為零的任意實(shí)數(shù) 此時(shí) 0 x 1 可以取遍 1 1 上所有的值 所以函數(shù)的值域?yàn)?1 1 1sinx 4 沒 求 xf 1 0 fxf 解 1 0 f xf 1 xf 5 設(shè) 求 0 12xfx 1 f 解 01 03xf x 6 設(shè) 求 和 2 lnxfg fgff gx 解 l xl2l ln2 xxfxff 2 lnl l xfgg 7 證明 和 互為反函數(shù) 3 1fx 31 2x 證 由 解得 32y 3y 3 故函數(shù) 的反函數(shù)是 這與 是同一個(gè)函3 21fx 31 2xy R31 2xg 數(shù) 所以 和 互為反函數(shù) 3 f 3 gx 8 求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域 25 31 2 ln 1 34cos 0 xyyx 解 1 由 解得 1y1y 所以函數(shù) 的反函數(shù)為 x 1 x 2 由 得 ln 2 y1e2y 所以 函數(shù) 的反函數(shù)為 x 1 x R 3 由 解得253y 3 log5 y 所以 函數(shù) 的反函數(shù)為 x 0 2x 4 由 得 又 故 31csy31xy 3arcos1xy 又由 得 o 0cos 即 故可得反函數(shù)的定義域?yàn)?0 2 所以 函數(shù) 的反函02y 3cs 0 yx 數(shù)為 3arcs1 2 x 9 判斷下列函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性及單調(diào)性 2 1 lnyyx 解 1 函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng) 時(shí) 有 當(dāng) 時(shí) 有 0 201 x 211x 故 有 即函數(shù) 有上界 x 12yyx 又因?yàn)楹瘮?shù) 為奇函數(shù) 所以函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱 由對稱性及函數(shù)有上界知 函x 數(shù)必有下界 因而函數(shù) 有界 21y 4 又由 知 當(dāng) 且 時(shí) 而12121212 xxxy 12x 1 12y 當(dāng) 且 時(shí) 12x 112y 故函數(shù) 在定義域內(nèi)不單調(diào) y 2 函數(shù)的定義域?yàn)?0 且 使 10 Mx 12 e0Mx 2lnx 取 則有 2ma 01ln 所以函數(shù) 在定義域內(nèi)是無界的 lyx 又當(dāng) 時(shí) 有120 1212 l0 x 故 12 12 ln ln 0yxxx 即當(dāng) 時(shí) 恒有 所以函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞增 12yy 10 判斷下列函數(shù)的奇偶性 2 1 esin xfxxx 解 1 11 f 是偶函數(shù) fxx 2 222esin esin esin x xxxf 函數(shù) 是奇函數(shù) y 11 設(shè) 定義在 上 證明 fx 1 為偶函數(shù) 2 為奇函數(shù) f fx 證 1 設(shè) 則 Fxf 有 fxF 故 為偶函數(shù) fx 2 設(shè) 則 Gfx 有 xfxG 5 故 為奇函數(shù) fx 12 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 年銷售量為 106 件 每批生產(chǎn)需要準(zhǔn)備費(fèi) 103 元 而每件的年庫存費(fèi)為 0 05 元 如果銷售是均勻的 求準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)之和的總費(fèi)用與年銷售批數(shù)之間的函數(shù) 銷售 均勻是指商品庫存數(shù)為批量的一半 解 設(shè)年銷售批數(shù)為 x 則準(zhǔn)備費(fèi)為 103x 又每批有產(chǎn)品 件 庫存數(shù)為 件 庫存費(fèi)為 元 610610261052x 設(shè)總費(fèi)用為 則 635yx 13 郵局規(guī)定國內(nèi)的平信 每 20g 付郵資 0 80 元 不足 20 g 按 20 g 計(jì)算 信件重量不得超過 2kg 試確定郵資 y 與重量 x 的關(guān)系 解 當(dāng) x 能被 20 整除 即 時(shí) 郵資 200 825xy 當(dāng) x 不能被 20 整除時(shí) 即 時(shí) 由題意知郵資 0812xy 綜上所述有 02 25 8 1200 xxy x 且且 其中 分別表示不超過 的最大整數(shù) 2x 20 x1 14 已知水渠的橫斷面為等腰梯形 斜角 40 如圖所示 當(dāng)過水?dāng)嗝?ABCD 的面積為定 值 S0 時(shí) 求濕周 L L AB BC CD 與水深 h 之間的函數(shù)關(guān)系式 并指明其定義域 圖 1 1 解 011 2cot cot 2ShADBChBCh 從而 cotBC 00 22cotsinsincos4iiLADShhBSh 6 由 得定義域?yàn)?0 cotShBCh 0 tan4 S 15 下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的 512 24 si 1 304 arcinxy yx 解 1 是由 復(fù)合而成 124 y124 yux 2 是由 復(fù)合而成 sinx sin 1vx 3 是由 復(fù)合而成 5 12 0 y 1 52 0 wy 4 是由 復(fù)合而成 arcsinx arcsin2uvx 16 證明 2 1 1 ihl 1 2 rthl 1x 證 1 由 得esinxy 2e10 xxy 解方程 得 2e10 xx 2x 因?yàn)?所以 2y 2ln 1 y 所以 的反函數(shù)是sinhyx arcsih xxx 2 由 得 得 etax 21y 1ln ln2yy 又由 得 10y y 所以函數(shù) 的反函數(shù)為tanhx 1rcl 1 2yx 17 寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式 并觀察其變化趨勢 34 579 1 0 03 57 0 3 56 解 當(dāng) 時(shí) nx 1nx 1 2 cos 2 7 當(dāng) n 無限增大時(shí) 有三種變化趨勢 趨向于 趨向于 0 趨向于 當(dāng) n 無限增大時(shí) 變化趁勢有兩種 分別趨于 1 1 21 3 nx 18 對下列數(shù)列求 并對給定的 確定正整數(shù) 使對所有 有l(wèi)imax N nN nxa 1 sin 0 1 2 0 12nxn 解 要使 只須 取 則limnax 1 0sin N 當(dāng) 時(shí) 必有 N 0n 當(dāng) 時(shí) 或大于 1000 的整數(shù) 0 1 1 要使 2 limnax 0 212nxnnn 只要 即 即可 12 取 則當(dāng) 時(shí) 有 2N nN 0nx 當(dāng) 時(shí) 或大于 108 的整數(shù) 0 1821 19 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明 2 31 lim lim 23li1 4li0 9 n nnn na 個(gè) 證 要使 只要 取 則當(dāng) n N 時(shí) 恒有 0 22 1 N 故 21n 21limn 2 要使 只要 取 則當(dāng) n N0 53 2 1 41nn 5 N 8 時(shí) 恒有 故 312n 31lim2n 3 要使 只要 取0 222 aann 2a 則當(dāng) n N 時(shí) 恒有 從而 2an 21n 2lim1n 4 因?yàn)閷τ谒械恼麛?shù) n 有 故 不防設(shè) 要使0 9 個(gè) 0 只要 取 則當(dāng) 時(shí) 恒有1 0 90nn 個(gè) l 1 l n1N N 故 1n 個(gè) lim 9nn 個(gè) 20 若 證明 并舉反例說明反之不一定成立 linxa xa 證 由極限的定義知 當(dāng) 時(shí) 恒有 0 0N n nxa 而 nnx 當(dāng) 時(shí) 恒有 N xa 由極限的定義知 lim nxa 但這個(gè)結(jié)論的逆不成立 如 但 不存在 1 li nx limnx 21 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明下列數(shù)列有極限 并求其極限值 11 11 2 2 12 nnn nxx x 證 1 不妨設(shè) 則1 k 122kx 故對所有正整數(shù) n 有 即數(shù)列 有上界 2 n 又 1 nxxx 顯然有 又由 得 從而 即 0 n n10nx 1nx 即數(shù)列 是單調(diào)遞增的 nx 9 由極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則知 數(shù)列 有極限 nx 設(shè) 則 于是 不合題意 舍去 limnxa 22a 0alim2nx 2 因?yàn)?且 10 1nnx 所以 即數(shù)列有界2nx 又 111 nnnnxxx 由 知 與 同號 110 nnx 1n 1n 從而可推得 與 同號 2x 而 1213 0 x 故 即10nx nx 所以數(shù)列 單調(diào)遞增 由單調(diào)有界準(zhǔn)則知 的極限存在 nx 設(shè) 則 limnxa 1a 解得 不合題意 舍去 5 2 所以 1li nx 22 用函數(shù)極限定義證明 2221 0si 314 lm0 lim 3 lim 44i 5sn x x xxx 證 1 要使0 1sisixx 只須 取 則當(dāng) 時(shí) 必有1x XX sin0 x 10 故 sinlm0 x 2 要使 2221331 4xx 只須 取 則當(dāng) 時(shí) 必有13x X X 2314x 故 231lim4x 3 要使0 24 2xx 只要取 則 當(dāng) 時(shí) 必有 02x 2 4 x 故 24limx 4 要使0 21142xx 只須 取 則12x 當(dāng) 時(shí) 必有0 214x 故 214limx 5 要使0 1sin0sixx 只要取 則 11 當(dāng) 時(shí) 必有 0 x 1sin0 x 故 01limsnx 23 求下列極限 2 243 132 23 li lim 1 5 lim 6 li 1 5x xx xx nn 7 若 求 a 和 b 21li2xaxb 解 2323li93 1 li 51xx 22 244411223 33422424lim 1 li lili 11lim limli 0 5xxxxxxx 22211li lili 0 xxx 由無窮大與無窮小的關(guān)系知 1limx 3 1 2 236 limli5511lilim 15n nnn 24 解 因?yàn)?221 xaxbb 12 由已知 知 分式的分子與分母的次數(shù)相同 且 x 項(xiàng)的系數(shù)之 21lim21xaxb 比為 于是1 且 0a 12ab 解得 31 2ab 25 利用夾逼定理求下列數(shù)列的極限 lim 01 knn 其中 為給定的正常數(shù) 122 maa ma 1 3 li3 4 nn 解 11 1 0 1 kkkk knnnn 而 當(dāng) 時(shí) limn 11li0kn k 2 記 12ax m 則有 12n nnmaa 即 1 而 li li nn 故 12mnmaa 即 12li x nmn a 3 111 3 23 n n 即 3n 而 1lim linn 13 故 1lim 23 nn 4 1 而 1li0 li nn 故 lim1n 26 通過恒等變形求下列極限 22 21 43 1 li lim 68 5nn nx x 3 223 033 5 422 lim li 21cot7li 8lim 9 li1 1 1 0 nx xx xxx xxx 3112310 0 li lim li og 3 li 14 limnxx xax x xx a 3sin sn52 6 xx x 解 221 1 1 1 limlimli 2n nn 1221112444 lili 3 limlilim 0 682 5 3nnxxxxxx 14 3 323 33222200044 5 limlimlim2 1 1 6 lilili 1 1x x xxx x x 3332355 235323363253 55 7 limli li 52li xxxx xxx 3 3 44 2 42 41cot1cot 8 limlim2 ttclicot1ot3li 24x xxxxxx 1222 9 lim 1li nnnxxxxx 311 131223214 32232141 0 lim li li 1 234 nx nnnnx nnxxxxxxxn 15 2223111223 limlimlim x x xx x x 122121li li 0lim xxx 1log 3 l axa 而 而 10li xxe 1liogllnaauee 0oglim lnax 14 令 則 當(dāng) 時(shí) 1 xu og 1 a 0 xu 所以 利用 13 題的結(jié)果 000lili lnlog 1 imxu aaua 1 12 20 00336ln ln sinsi si0lim6l 6limli snsn1le 15 li2 e x xx xxxxxx 16 令 則sinu0iixxu 而 所以1lim0u snl 27 利用重要極限 求下列極限 10i euu 2 2213cot0 01 1 li 2 lim 3limtan 4licos 5 l 6 lnx xx xx xx x 16 解 112221 limli e limxxxx x 1022121 5535 lililixxx x 10255 10510lie li12xx 2 22 3311cot tantan00 0 3 lim1tan lime lim t 3t xxx x x cos211s222 1cos221cos2200 20033lnlncos 0003 cs1 ln cos13limlin silli 4 lics ieiee xxxxxxxxxx x 1cos2201 sin6lelm66ee xx 222 5 li n 2 l illimn12linl1ie xx xxxx x 6 令 則當(dāng) 時(shí) 1xt 0t11000limli 1 n lnelnlim i xt t tt t 28 利用取對數(shù)的方法求下列冪指函數(shù)的極限 110 02 1 li li e 33lim 4li sncoxxxx xx xabc 解 1 令 則 1 e xy lln e y 17 于是 0000lne111limnlilimneime xxxx xxxxy e0 0li lilinl 1ee1n2 xx xxx 即 即 即 0limn2xy 0lixy 120limx 2 令 則 13xabc lnl3abc 于是 00 330 3000 01lim n lili3lilimn11li li3xx xxxxx abcxabcxx xabcxxx xxxcyabcab 33 lnl nel xabccabc 即 即 故30lim l xyab 30liml xy 30limxyabc 即 130lixxbcab 3 令 則1sincoy 1lnlsicoyx 于是 18 1sinco1sinco1sinco1limnlisincoli lsi1sincosl lnimxxxx xxxyxx 1sinco1sicxxx 21sinlne 10 lelmlxx 即 從而 故lin1xy lixy limxy 即 1liesncox 4 令 則21y 2llyx 于是 22 211lim n lilimnlilil0nexxxx xxxy 即 lili 0 xx yy 即 lim1xy 21limxx 29 當(dāng) 時(shí) 與 相比 哪個(gè)是高階無窮小量 02x 3 解 32200lilixx 當(dāng) 時(shí) 是比 高階的無窮小量 3 2x 19 30 當(dāng) 時(shí) 無窮小量 與 是否同階 是否等價(jià) 1x 1x 221 x 解 211 limlixx 當(dāng) 時(shí) 是與 同階的無窮小 2x211 2 lilixx 當(dāng) 時(shí) 是與 等價(jià)的無窮小 2 31 利用 或等價(jià)無窮小量求下列極限 0sinlmx 020 1 i 2 limcot sco2n 1esi 3l 4inart 5 lm 6 li x xxx xnx 2 21 03 20 0 2 20 04arct7li 8lim rcsn sitai os 9 li 1 li rcsin c41 1 lm li sntxxx xx xxxx x 2 ao e 3li 14lim cs xx xab 解 1 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 0sin si x 所以 00ilml xx 00002000licoss 2 licotlicosli1 nnm1sii 3 lill2 sxxxxxxx 4 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以2 21ln 1ei sin x x 20 2220000ln 1esi esinsinimlmlielm 1xxxx 5 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以arct3 x 00rtan3lilixx ss22 6 lim2snlilim nnnx 7 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以1arcsi 1x 2211112244 lilililim arcsn xxx x 8 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以02arctn si arcsin 2200tlimlisrxx 9 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以x231in co sin 23330001tasisi lillimcos1im 2coxx x 10 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以xsin sin 2xx 2 200202icolililim1 x xxx 11 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以0 x22arcsin ln 1 xx 21 222000arcsin111lmlilim xxx 12 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 所以si i 2220 0222001co4sinli linta ec 8limlimssec84 li ec x xx xx x 13 因?yàn)?lncosl 1 cos lnosl 1 os axabbx 而當(dāng) 時(shí) 0 x 故 l cs csl cs cs1 xxx 又當(dāng) x 0 進(jìn) 所以2211o o axb 20000lncscscsimlilimli xxxxab b 14 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 22si exx 故 222iniln l 11exxx x 所以 22 220 0 0222200002 sinlln sie ln sie lnemmim1sisinsinelliliel1 x xxxx xxxx 32 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的左 右極限 并說明在該點(diǎn)處函數(shù)的極限是否存在 22 在 處 0 1 xf x 在 處 2 2 10 xf 2x 解 000 lim lili1 xxxf 000lim lili1xxxf 因?yàn)?f 所以 不存在 0li xf 2 22221li li li 4xxxxf 因?yàn)?不存在 所以 不存在 lim fm 33 研究下列函數(shù)的連續(xù)性 并畫出圖形 2 1 01 1 2 xxf f 2 3 lim 4 lim 1x nn nf fxx 解 1 由初等函數(shù)的連續(xù)性知 在 0 1 1 2 內(nèi)連續(xù) fx 又 11li li 2 li lixx xxf f 而 在 處連續(xù) f f 又 由 知 在 處右連續(xù) 200lim lixxf f0 綜上所述 函數(shù) 在 0 2 內(nèi)連續(xù) 函數(shù)圖形如下 圖 1 2 2 由初等函數(shù)的連續(xù)性知 在 內(nèi)連續(xù) 又由 fx 1 23 1111lim li lim li xxxxf f 知 不存在 于是 在 處不連續(xù) 1li xf 又由 111li li li xxxf 及 知 從而 在 x 1 處連續(xù) f xf 綜上所述 函數(shù) 在 及 內(nèi)連續(xù) 在 處間斷 函數(shù)圖形如下 1x 圖 1 3 3 當(dāng) x0 時(shí) 221 limlilimxxxnnnf 1 0 li xnxf 由初等函數(shù)的連續(xù)性知 在 內(nèi)連續(xù) fx0 又由 00 0lim li1 limli 1 xxxxf f 知 不存在 從而 在 處間斷 綜上所述 函數(shù) 在 內(nèi)lixf f fx 0 連續(xù) 在 處間斷 圖形如下 24 圖 1 4 4 當(dāng) x 1 時(shí) 21 lim0 nnxf 當(dāng) x 1 時(shí) 2211 limlinnnxfx x 即 1 0 xf 由初等函數(shù)的連續(xù)性知 在 1 1 1 1 內(nèi)均連續(xù) 又由 fx1111lim li lim lixxxxf f 知 不存在 從而 在 處不連續(xù) 1li xf 又由 1111li li li lixxxxf f 知 不存在 從而 在 處不連續(xù) 1li xf 綜上所述 在 1 1 1 1 內(nèi)連續(xù) 在 處間斷 x 圖形如下 圖 1 5 25 34 下列函數(shù)在指定點(diǎn)處間斷 說明它們屬于哪一類間斷點(diǎn) 如果是可去間斷點(diǎn) 則補(bǔ)充 或改變函數(shù)的定義 使它連續(xù) 221 2 3 01 2 tan1 cos 0 xyxkkyx 4 1 3 解 211 limli2xx 2li3x 是函數(shù)的可去間斷點(diǎn) 因?yàn)楹瘮?shù)在 x 1 處無定義 若補(bǔ)充定義 則函1 1 2f 數(shù)在 x 1 處連續(xù) x 2 是無窮間斷點(diǎn) 02 2 lim lim0tantanxxk 當(dāng) 時(shí) k litxk 為可去間斷點(diǎn) 分別補(bǔ)充定義 f 0 0 01 2x 1 可使函數(shù)在 x 0 及 處連續(xù) fk 2k 0 12 為無窮間斷點(diǎn) xk 3 當(dāng) 時(shí) 呈振蕩無極限 0 21cosx x 0 是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn) 4 11limli 3 xy 0 x x 1 是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 35 當(dāng) x 0 時(shí) 下列函數(shù)無定義 試定義 的值 使其在 x 0 處連續(xù) f 26 3 11tan2 sin 4 xxf ff f 解 23330001 1 lim lilim21xxxf x 補(bǔ)充定義 可使函數(shù)在 x 0 處連續(xù) 2f000tan 2 li lili2xxx 補(bǔ)充定義 可使函數(shù)在 x 0 處連續(xù) f 01 3 limsnixx 補(bǔ)充定義 可使函數(shù)在 x 0 處連續(xù) f100 4 liliexxx 補(bǔ)充定義 可使函數(shù)在 x 0 處連續(xù) f 36 怎樣選取 a b 的值 使 f x 在 上連續(xù) 1 e 0 2 1 2 sin x axf fb 解 1 在 上顯然連續(xù) 而 fx 00lim li xxfa 且 00limlie1xx 0 fa 當(dāng) 即 時(shí) 在 處連續(xù) 所以 當(dāng) 時(shí) fff 1fx1a 在 上連續(xù) 2 在 內(nèi)顯然連續(xù) 而 fx 2 27 22 22lim li sn 1 lili 1 xxxxfbfafb 當(dāng) 即 時(shí) 在 處連續(xù) 因而 在 上連續(xù) 12ba 2bafx2 fx 37 試證 方程 至少有一個(gè)小于 1 的正根 1x 證 令 則 在 0 1 上連續(xù) 且 由零點(diǎn)定 f f 0 1 0ff 理 使 即0 0f 2 即方程 有一個(gè)小于 1 的正根 2x 38 試證 方程 至少有一個(gè)不超過 的正根 其中 sinaxb ab 0 ab 證 令 則 在 上連續(xù) fx f 0 且 0 1sin f x 若 則 就是方程 的根 fab abixab 若 則由零點(diǎn)定理得 使 即 即 即 是方程 0 0f sin0 sinab 的根 綜上所述 方程 至少有一個(gè)不超過 的正根 sinxab xa 39 設(shè) 在 上連續(xù) 且 證明 方程 在 0 a 內(nèi)至 f 2 a 2f fx 少有一根 證 令 由 在 上連續(xù)知 在 上連續(xù) 且 Fxfx fx 0 a F 0 2 Faff 若 則 都是方程 的根 0 2 faf 0 xxa 若 則 由零點(diǎn)定理知 至少 使 F 0 0F 即 即 是方程 的根 f fxa 28 綜上所述 方程 在 內(nèi)至少有一根 fxa 0 40 設(shè) 在 上連續(xù) 且 證明 至少存在一點(diǎn) 使 fx 0 1 1fx 0 1 f 證 令 則 在 上連續(xù) 且 Ffx F 0 0 FfF 若 則 若 則 若 則 由零點(diǎn) f f 1f 定理 至少存在一點(diǎn) 使 即 01 0 綜上所述 至少存在一點(diǎn) 使 f 41 若 在 上連續(xù) 證明 在 中必有 使 fx ab12naxxb 1 nx ffff 證 由題設(shè)知 在 上連續(xù) 則 在 上有最大值 M 和最小值 m 于是 fx1 nfx1 n 12 ffm 由介值定理知 必有 使1 nx 12 nfxffxf