數(shù)學(xué)第四章 圖形的認(rèn)識(shí)與三角形 第15講 等腰三角形與直角三角形

第四章圖形的第四章圖形的 認(rèn)識(shí)與三角形認(rèn)識(shí)與三角形 第第15講等腰三角形與直角三角形講等腰三角形與直角三角形考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過(guò)關(guān)過(guò)關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 等腰三角形的性質(zhì)及判定等腰三角形的性質(zhì)及判定 6 6年年4 4考考考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 線段的垂直平分線與角平分線線段的垂直平分線與角平分線 6 6年年1 1考考拓展 (1)三角形內(nèi)切圓的圓心是角平分線的交點(diǎn)；(2)三角形外接圓的圓心是邊的垂直平分線的交點(diǎn)若在角的一邊上有一定點(diǎn)A和一動(dòng)點(diǎn)B，在角平分線上有一動(dòng)點(diǎn)C，則ACBC的最小值為點(diǎn)A到另一邊的垂線段的長(zhǎng)度考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 直角三角形的性質(zhì)及判定直角三角形的性質(zhì)及判定 6 6年年2 2考考性質(zhì)性質(zhì)(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.(2)勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(3)直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.(4)30角的直角三角形性質(zhì)定理：30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半判定判定（1）兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形等腰直角三角形等腰直角三角形有一個(gè)角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形，它具有所有等腰三角形的性質(zhì)，同時(shí)又具有所有直角三角形的性質(zhì)拓展 1.勾股定理的運(yùn)用：(1)計(jì)算：已知直角三角形的兩邊求第三邊；(2)方程：已知直角三角形的一邊與兩邊關(guān)系求另兩邊；(3)證明：線段的平方關(guān)系.2.等腰直角三角形的三邊的比為11 ；由頂點(diǎn)向底邊作垂線會(huì)分割為新的等腰直角三角形，且與原三角形相似，相似比為 1，有時(shí)用于無(wú)限變化時(shí)的規(guī)律探究22考點(diǎn)考點(diǎn)4 4 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 6 6年年1 1考考幾種基本作圖：(1)作線段等于已知線段；(2)作一個(gè)角等于已知角；(3)作已知線段的垂直平分線；(4)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；(5)作一個(gè)角的平分線典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)用類型類型1 1 等腰三角形中的分類討論問(wèn)題等腰三角形中的分類討論問(wèn)題【例1】已知等腰三角形的一個(gè)角為40，則這個(gè)三角形的頂角為100或40.100或40當(dāng)這個(gè)角是頂角時(shí)，則頂角的度數(shù)為40；當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，則頂角的度數(shù)為180402100，故其頂角的度數(shù)為100或40.【例2】2017沭陽(yáng)一模等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和5，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為11或13.11或13(1)3是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、5，能組成三角形，周長(zhǎng)33511；(2)3是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、5、5，能組成三角形，周長(zhǎng)35513.綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是11或13.失分警示失分警示 在等腰三角形的關(guān)于角和邊的計(jì)算中，當(dāng)已知元素的位置不明確時(shí)，要分類討論，全面分析類型類型2 2 等腰三角形中頂點(diǎn)的存在分析等腰三角形中頂點(diǎn)的存在分析【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為(C)A4 B5 C6 D8C按(1)以A為等腰三角形頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；(2)以O(shè)為等腰三角形頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；(3)以M為等腰三角形頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，分別作圖即可如圖，滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為6.失分警示 當(dāng)已知兩點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形時(shí)，要分3種情況進(jìn)行全面分析作圖類型類型3 3 含有含有3030角的直角三角形的觀察與分析角的直角三角形的觀察與分析【例4】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在DC邊的延長(zhǎng)線上若CAE15，則AE8.8正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，BAC45，ABDC，ADC90.CAE15，EBAEBACCAE451530.在RtADE中，ADE90，E30，AE2AD8.技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 當(dāng)已知角的度數(shù)求線段長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)觀察分析題中的特殊三角形類型類型4 4 勾股定理與路徑最短分析勾股定理與路徑最短分析【例5】如圖，一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為3的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則最短路徑的長(zhǎng)為 .技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 當(dāng)在立體圖形上運(yùn)動(dòng)路徑分析，一定要運(yùn)用平面展開圖進(jìn)行分析求解變式運(yùn)用變式運(yùn)用 1.2017營(yíng)口中考如圖，在ABC中，ACBC，ACB90，點(diǎn)D在BC上，BD3，DC1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PCPD的最小值為(B)A4 B5 C6 D7B如圖，過(guò)點(diǎn)C作COAB于O，延長(zhǎng)CO到點(diǎn)C，使OCOC，連接DC，交AB于點(diǎn)P，連接CP.此時(shí)DPCPDPPCDC的值最小BD3，DC1.BC4.如圖，連接BC，由對(duì)稱性可知CBACBA45.CBC90.BCBC，BCCBCC45.BCBC4.根據(jù)勾股定理，可得DC類型類型5 5 角平分線與線段垂直平分線的運(yùn)用角平分線與線段垂直平分線的運(yùn)用【例6】如圖，ABC中，ACB90，AD平分BAC，DEAB于點(diǎn)E.求證：直線AD是線段CE的垂直平分線技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 當(dāng)在立體圖形上運(yùn)動(dòng)路徑分析，一定要運(yùn)用平面展開圖進(jìn)行分析求解DEAB，AED90ACB.又AD平分BAC，DAEDAC.ADAD，AEDACD(AAS)AEAC.AD平分BAC，ADCE，即直線AD是線段CE的垂直平分線類型類型6 6 等腰三角形、平行線與角平分線的綜合運(yùn)用等腰三角形、平行線與角平分線的綜合運(yùn)用【例7】2017平谷區(qū)二模如圖，在ABC中，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，DEBC交AB于點(diǎn)E，EFBD于點(diǎn)F.求證：BEFDEF.技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 (1)在問(wèn)題設(shè)計(jì)中經(jīng)常會(huì)把平行線、角平分線和等腰三角形的知識(shí)綜合在一起，只要知道其中兩個(gè)，就可以得出第三個(gè)結(jié)論(2)熟練掌握，鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直，平行線的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直等性質(zhì)BD平分ABC， ABDCBD.DEBC， EDBCBD.EDBABD. EBED.EFBD于點(diǎn)F，BEFDEF.變式運(yùn)用 2.如圖，在ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：EOFO；(2)若CE4，CF3，你還能得到哪些結(jié)論？解：(1)如圖，CE是ACB的平分線，12.MNBC，13.23.OEOC.同理，可得OFOC.OEOF.(2)CE是ACB的平分線，12.CF是OCD的平分線，45.ECF90.在RtECF中，由勾股定理，得六年真題六年真題全練全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 等腰三角形中角的度數(shù)分析等腰三角形中角的度數(shù)分析對(duì)于“等腰三角形的性質(zhì)與判定”的考查，濱州中考一般是結(jié)合三角形內(nèi)角和直接進(jìn)行命題，主要以考察性質(zhì)為主，以計(jì)算角的度數(shù)為目標(biāo)，以選擇題為主要題型，難度較小且考查較為頻繁12017濱州，7,3分如圖，在ABC中，ABAC，D為BC上一點(diǎn)，且DADC，BDBA，則B的大小為(B)A40 B36 C30 D25BABAC，BC.CDDA，CDAC.BABD，BDABAD2C2B.又BBADBDA180，5B180.B36.2.2016濱州，6,3分如圖，ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且ACCDBDBE，A50，則CDE的度數(shù)為(D)A50 B51 C51.5 D52.5DACCDBDBE，A50，ACDA50，BDCB，BDEBED.BDCBCDA50，B25.BBEDBDE180，BDEBED (18025)77.5，CDE180CDABDE1805077.552.5.32013濱州，15,4分在等腰ABC中，ABAC，A50，則B .6542012濱州，16,4分如圖，在ABC中，ABADDC，BAD20，則C40.猜押預(yù)測(cè) 1.2017寧波一模如圖，直線l1l2，以直線l1上的點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于點(diǎn)B、C，連接AC、BC.若ABC67，則1(B)A23B46C67D78B根據(jù)題意，得ABAC.ACBABC67.直線l1l2，2ABC67.1ACB2180，11802ACB180676746.猜押預(yù)測(cè) 2.2017南充模擬已知等腰三角形的兩邊a，b的長(zhǎng)是方程組 的解，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是(C)A6 B8 C10 D8或10得分要領(lǐng)得分要領(lǐng) (1)會(huì)運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)及內(nèi)角和定理求底角或頂角度數(shù)，并注意特定條件下的分類分析；(2)掌握三角形角平分線和平行線的相關(guān)性質(zhì)；(3)會(huì)分類分析等腰三角形的周長(zhǎng)或邊長(zhǎng)對(duì)于“勾股定理及其逆定理”，濱州中考一般以直接單獨(dú)考查為主，以選擇題為主要題型，難度較小，屬于高頻考點(diǎn)52014濱州，7,3分下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是(B)A4,5,6 B1.5,2,2.5 C2,3,4 D1,2,3命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理BA42524162，不可以構(gòu)成直角三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.1.52226.252.52，可以構(gòu)成直角三角形，選項(xiàng)正確；C.22321342，不可以構(gòu)成直角三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.1222532，不可以構(gòu)成直角三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤62013濱州，14,4分在ABC中，C90，AB7，BC5，則邊AC的長(zhǎng)為 .猜押預(yù)測(cè) 3.2017花都區(qū)一模如圖，在ABD中，D90，CD6，AD8，ACD2B，則BD的長(zhǎng)是(C)A12B14C16D18猜押預(yù)測(cè) 4.2016朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則ABC的形狀為(A)A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D以上答案都不對(duì)得分要領(lǐng) (1)會(huì)運(yùn)用勾股定理求直角三角形的邊，在特定條件下會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題；(2)會(huì)運(yùn)用逆定理判斷三角形的形狀命題點(diǎn)命題點(diǎn)3 3 角平分線、垂直平分線的構(gòu)造與運(yùn)用角平分線、垂直平分線的構(gòu)造與運(yùn)用對(duì)于“角平分線”，濱州中考在5年后的2017年開始涉及此知識(shí)點(diǎn)，而且一般不單獨(dú)考查，以選擇題為主要題型，屬于低頻考點(diǎn)72017濱州，11,3分鏈接第14講六年真題全練第4題猜押預(yù)測(cè) 5.2017南京一模如圖，在RtABC中，C90，AD是ABC的角平分線，若CD4，AC12，AB15，則ABC的面積為(C)A48B50C54D60C如圖，作DEAB于點(diǎn)E.AD是ABC的角平分線，C90，DEAB，DECD4.ABC的面積為 ACDC ABDE54.猜押預(yù)測(cè) 6.2017柳南區(qū)三模如圖，等腰ABC中，ABAC8，BC5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則BEC的周長(zhǎng)為(A)A13 B14 C15 D16得分要領(lǐng) (1)明確角平分線的性質(zhì)，會(huì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線并加以運(yùn)用；(2)掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行線段的等量代換；(3)熟記角平分線和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖ADE是AB的垂直平分線，AEBE.BEC周長(zhǎng)BECEBCAECEBCACBC.腰長(zhǎng)AB8，ACAB8.BEC周長(zhǎng)為8513.