高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)十二概率與統(tǒng)計.doc

7.1　不等關(guān)系與不等式 2014高考會這樣考　1.考查有關(guān)不等式的命題真假及數(shù)式的大小比較；2.考查和函數(shù)、數(shù)列等知識的綜合應(yīng)用． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.熟練掌握不等式的性質(zhì)，并會正確理解和應(yīng)用；2.對含參數(shù)的不等式，要把握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)和技巧． 1．不等式 在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，存在著大量的不等關(guān)系，不等式是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型． 2．兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R)； (2)作商法 (a∈R，b>0)． 3．不等式的性質(zhì) (1)對稱性：a>b?b<a； (2)傳遞性：a>b，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c，a>b，c>d?a＋c>b＋d； (4)可乘法：a>b，c>0?ac>bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd； (5)可乘方：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)； (6)可開方：a>b>0?> (n∈N，n≥2)． [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1．在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時，要特別注意下面幾點(diǎn) (1)不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對任意兩實(shí)數(shù)a、b有a－b>0?a>b，a－b＝0?a＝b，a－b<0?a<b，這是比較兩數(shù)(式)大小的理論根據(jù)，也是學(xué)習(xí)不等式的基石． (2)一定要在理解的基礎(chǔ)上記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)，并注意在解題中靈活、準(zhǔn)確地加以應(yīng)用． (3)不等式的傳遞性：若a>b，b>c，則a>c，這是放縮法的依據(jù)，在運(yùn)用傳遞性時，要注意不等式的方向，否則易產(chǎn)生這樣的錯誤：為證明a>c，選擇中間量b，在證出a>b，c>b后，就誤認(rèn)為能得到a>c. (4)同向不等式可相加，但不能相減，即由a>b，c>d，可以得出a＋c>b＋d，但不能得出a－c>b－d. 2．理解不等式的思想和方法 (1)作差法是證明不等式的最基本也是很重要的方法，應(yīng)引起高度注意，要注意強(qiáng)化． (2)加強(qiáng)化歸意識，把比較大小問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算． (3)通過復(fù)習(xí)要強(qiáng)化不等式“運(yùn)算”的條件．如a>b、c>d在什么條件下才能推出ac>bd. (4)強(qiáng)化函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用，加強(qiáng)知識間的聯(lián)系． 1．已知a>b>0，且c>d>0，則與的大小關(guān)系是________．　　　　 答案　> 解析　∵a>b>0，c>d>0，∴>>0， ∴ > . 2．已知a<0，－1<b<0，那么a，ab，ab2的大小關(guān)系是_____________________． 答案　ab>ab2>a 解析　由－1<b<0，可得b<b2<1. 又a<0，∴ab>ab2>a. 3．限速40 km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h，寫成不等式就是____________． 答案　v≤40 km/h 4．若m<n，p<q且(p－m)(p－n)<0，(q－m)(q－n)<0，則m，n，p，q從小到大的順序是______． 答案　m<p<q<n 解析　將p，q看成變量，則有m<p<n，m<q<n， ∴m<p<q<n. 5．(2012湖南改編)設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個結(jié)論： ①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)． 其中所有的正確結(jié)論的序號是________． 答案?、佗冖? 解析　根據(jù)不等式的性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)求解． ∵a>b>1，∴<. 又c<0，∴>，故①正確． 構(gòu)造函數(shù)y＝xc.∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是減函數(shù)． 又a>b>1，∴ac<bc，故②正確． ∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1. ∵a>b>1，∴l(xiāng)ogb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)， 即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正確. 題型一　不等式性質(zhì)的應(yīng)用 例1　已知－<α<β<，求，的取值范圍． 思維啟迪：不等式性質(zhì)的應(yīng)用是本題的突破點(diǎn)． 解　因?yàn)椋?lt;α<β<， 所以－<<，－<<. 所以－<<，－<－<. 因?yàn)棣?lt;β，所以<0.故－<<0. 探究提高　(1)利用不等式的性質(zhì)求范圍要充分利用題設(shè)中的條件，如本題中的條件α<β；(2)注意“α－β”形式，利用不等式要正確變形． 已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，則z＝2x－3y的取值范圍是________(答案用區(qū)間表示)． 答案　(3,8) 解析　設(shè)2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴解得 ∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1<x＋y<4,2<x－y<3， ∴－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<， ∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8， 即3<2x－3y<8， 所以z＝2x－3y的取值范圍為(3,8)． 題型二　比較大小問題 例2　已知a≠1且a∈R，試比較與1＋a的大?。? 思維啟迪：要判斷與1＋a的大小，只需研究它們差的符號． 解　∵－(1＋a)＝， ①當(dāng)a＝0時，＝0，∴＝1＋a. ②當(dāng)a<1，且a≠0時，>0，∴>1＋a. ③當(dāng)a>1時，<0，∴<1＋a. 探究提高　實(shí)數(shù)的大小比較常常轉(zhuǎn)化為對它們差(簡稱作差法)的符號的判定，當(dāng)解析式里面含有字母時常需分類討論． (2012四川)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)．現(xiàn)有下列命題： ①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若－＝1，則a－b<1；③若|－|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1. 其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號) 答案?、佗? 解析　①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b為正實(shí)數(shù)，若a－b≥1， 則必有a＋b>1，不合題意，故①正確． ②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可． 如取a＝2，b＝滿足上式，但a－b＝>1，故②錯． ③中，a，b為正實(shí)數(shù)，所以＋>|－|＝1， 且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|>1，故③錯． ④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)| ＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1. 若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，則必有a2＋ab＋b2>1，不合題意，故④正確． 題型三　不等式與函數(shù)、方程的綜合問題 例3　已知f(x)是定義在(－∞，4]上的減函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得f(m－sin x)≤f對定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x均成立？若存在，求出實(shí) 數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 思維啟迪：不等式和函數(shù)的結(jié)合，往往要利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域． 解　假設(shè)實(shí)數(shù)m存在，依題意， 可得 即 因?yàn)閟in x的最小值為－1，且－(sin x－)2的最大值為0，要滿足題意，必須有 解得m＝－或≤m≤3. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪. 探究提高　不等式恒成立問題一般要利用函數(shù)的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min. 已知a、b、c是實(shí)數(shù)，試比較a2＋b2＋c2與ab＋bc＋ca的大?。? 解　方法一　(作差法) ∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca) ＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 方法二　(函數(shù)法) 記t＝a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca) ＝a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc， ∵Δ＝(b＋c)2－4(b2＋c2－bc) ＝－3b2－3c2＋6bc＝－3(b－c)2≤0， ∴t≥0對a∈R恒成立，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 不等式變形中擴(kuò)大范圍致誤 典例：(14分)已知1≤lg ≤2,2≤lg ≤3，求lg 的取值范圍． 易錯分析　根據(jù)不等式性質(zhì)先解出lg x，lg y的范圍，再求lg的范圍，錯誤原因是lg x，lg y的最值不一定能同時取到，這種做法可能擴(kuò)大所求范圍． 審題視角　(1)注意已知條件1≤lg ≤2,2≤lg ≤3. (2)分析lg 與lg 、lg 的線性關(guān)系． (3)先將它們表示成lg x、lg y的線性關(guān)系． 規(guī)范解答 解　由變形，得[3分] 令解得[5分] ∴l(xiāng)g＝3lg x－lg y ＝3－＝b－a.[7分] 由　得[10分] ∴≤b－a≤3，即≤lg≤3.[12分] ∴l(xiāng)g的取值范圍是.[14分] 溫馨提醒　(1)此類問題的一般解法是：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過”一次性“使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍； (2)本題也可以利用線性規(guī)劃思想求解； (3)求范圍問題如果多次利用不等式有可能擴(kuò)大變量取值范圍． 方法與技巧 1．用同向不等式求差的范圍． ??a－d<x－y<b－c 這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時經(jīng)常用到． 2．倒數(shù)關(guān)系在不等式中的作用． ?<；?>. 3．比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比差法的主要步驟為：作差——變形——判斷正負(fù)．在所給不等式完全是積、商、冪的形式時，可考慮比商． 失誤與防范 1．a(chǎn)>b?ac>bc或a<b?ac<bc，當(dāng)c≤0時不成立． 2．a(chǎn)>b?<或a<b?>，當(dāng)ab≤0時不成立． 3．a(chǎn)>b?an>bn對于正數(shù)a、b才成立． 4.>1?a>b，對于正數(shù)a、b才成立． 5．注意不等式性質(zhì)中“?”與“?”的區(qū)別，如： a>b，b>c?a>c，其中a>c不能推出. 6．求范圍問題要整體代換，“一次性”使用不等式性質(zhì)，注意不要擴(kuò)大變量的取值范圍． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：62分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．下面四個條件中，使a>b成立的充分不必要的條件是________．(填序號) ①a>b＋1; ②a>b－1； ③a2>b2; ④a3>b3. 答案　① 解析　由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要條件是a>b＋1.④不等式是其充要條件，故錯誤． 2．對于實(shí)數(shù)a，b，c有下列命題：①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a>b，>，則a>0，b<0.其中真命題為__________．(把正確命題的序號寫在橫線上) 答案?、冖? 解析　若c>0，①不成立； 由ac2>bc2知c2≠0，則a>b，②正確； 當(dāng)a>b時，－＝>0，則a>0，b<0，③成立． 3．設(shè)a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg ，則a、b、c的大小關(guān)系是____________． 答案　a>c>b 解析　∵0<lg e<lg＝，∴l(xiāng)g e>lg e>(lg e)2. ∴a>c>b. 4．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a>2，x∈R，則p，q的大小關(guān)系是__________． 答案　p≥q 解析　p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時取等號．因?yàn)閤2－2≥－2，所以q＝x2－2≤－2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號．所以p≥q. 5．(2011天津改編)設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的____________條件． 答案　充分不必要 解析　∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分條件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如當(dāng)x≤－2且y≤－2時，x2＋y2≥4亦成立，故“x≥2且y≥2”不是“x2＋y2≥4”的必要條件．∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件． 6．若角α、β滿足－<α<β<，則2α－β的取值范圍是____________． 答案　 解析　∵－<α<β<， ∴－π<2α<π，－<－β<，∴－<2α－β<， 又∵2α－β＝α＋(α－β)<α<，∴－<2α－β<. 7．已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a、b、c的大小關(guān)系是____________． 答案　c≥b>a 解析　c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， ∴c≥b，已知兩式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2， ∵1＋a2－a＝2＋>0，∴1＋a2>a， ∴b＝1＋a2>a，∴c≥b>a. 二、解答題(共27分) 8．(13分)已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：＋≥＋. 證明　方法一　＋－(＋) ＝ ＝ ＝. ∵＋>0，>0，(－)2≥0， ∴＋－(＋)≥0，∴＋≥＋. 方法二　＝＝ ＝＝1＋≥1， ∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0， ∴＋≥＋. 9．(14分)設(shè)f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍． 解　方法一　設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1) (m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得，解得， ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 故5≤f(－2)≤10. 方法二　由，得， ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 故5≤f(－2)≤10. 方法三　由確定的平面區(qū)域如圖陰影部分， 當(dāng)f(－2)＝4a－2b過點(diǎn)A時， 取得最小值4－2＝5， 當(dāng)f(－2)＝4a－2b過點(diǎn)B(3,1)時，取得最大值43－21＝10，∴5≤f(－2)≤10. B組　專項(xiàng)能力提升 (時間：35分鐘，滿分：58分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．設(shè)0<x<，則“xsin2x<1”是“xsin x<1”的_____________條件． 答案　必要不充分 解析　當(dāng)0<x<時，0<sin x<1. 由xsin2x<1知xsin x<，不一定得到xsin x<1. 反之，當(dāng)xsin x<1時，xsin2x<sin x<1. 故xsin2x<1是xsin x<1的必要不充分條件． 2．已知a2＋ab＋ac<0，則b2－4ac________0(用>，<，≥，≤填空)． 答案　> 解析　b2＝4ac－4(a2＋ab＋ac)＋(2a＋b)2. ∵－4(a2＋ab＋ac)>0，(2a＋b)2≥0， ∴b2>4ac，即b2－4ac>0. 3．設(shè)a>0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，則P與Q的大小關(guān)系是________． 答案　P>Q 解析　∵P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)， ∴a>0，a3－1>0，a2－1>0，∴a>1. 又∵(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，∴a3－1>a2－1， ∴l(xiāng)oga(a3－1)>loga(a2－1)．即P>Q. 4．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝(n∈N*，n>2)，則f(n)，g(n)，φ(n)的大小關(guān)系是_____________． 答案　f(n)<φ(n)<g(n) 解析　f(n)＝－n＝<＝φ(n)， g(n)＝n－＝>＝φ(n)， ∴f(n)<φ(n)<g(n)． 5．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿足3≤xy2≤8,4≤≤9，則的最大值是________． 答案　27 解析　由4≤≤9，得16≤≤81. 又3≤xy2≤8，∴≤≤， ∴2≤≤27.又x＝3，y＝1滿足條件，這時＝27. ∴的最大值是27. 6．設(shè)a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，則x，y，z的大小關(guān)系是_________________． 答案　z>y>x 解析　方法一　y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x. 同理，z>y，∴z>y>x. 方法二　令a＝3，b＝2，c＝1，則x＝，y＝， z＝，故z>y>x. 二、解答題(共28分) 7．(14分)(1)設(shè)x<y<0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大小； (2)已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且>，x>y，求證：>. (1)解　方法一　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)， ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 方法二　∵x<y<0，∴x－y<0，x2>y2，x＋y<0. ∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0， ∴0<＝<1， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． (2)證明?。? ∵>且a，b∈(0，＋∞)，∴b>a>0， 又∵x>y>0，∴bx>ay>0， ∴>0，∴>. 8．(14分)某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個定價20元，茶杯每個定價5元，該店推出兩種優(yōu)惠方法： (1)買一個茶壺贈送一個茶杯；(2)按總價的92%付款． 某顧客需購茶壺4個，茶杯若干個(不少于4個)，若設(shè)購買茶杯數(shù)為x，付款數(shù)為y，試分別建立兩種優(yōu)惠方法下的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并討論該顧客買同樣多的茶杯時，兩種辦法哪一種更省錢． 解　由優(yōu)惠方法(1)得 y1＝204＋5(x－4)＝5x＋60 (x≥4)； 由優(yōu)惠方法(2)得 y2＝(5x＋204)92%＝4.6x＋73.6 (x≥4)． y1－y2＝0.4x－13.6 (x≥4)， 令y1－y2＝0，得x＝34. 所以當(dāng)購買34只茶杯時，兩種優(yōu)惠方法付款相同； 當(dāng)4≤x<34時，y1<y2，方法(1)省錢； 當(dāng)x>34時，y1>y2，方法(2)省錢．