數(shù)學(xué) 第一部分 研究 第三章 函數(shù) 第五節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

第三章第三章 函數(shù)函數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 重難點(diǎn)突破二次函數(shù)綜合題（二次函數(shù)綜合題（難點(diǎn)難點(diǎn)）例 1( (2016銅仁節(jié)選銅仁節(jié)選) )如圖，拋物線如圖，拋物線yax2bx1(a0)經(jīng)過經(jīng)過A(1，0)，B(2，0)兩點(diǎn)，與兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C. 類型一類型一 與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題例例1 1題圖題圖【思維教練【思維教練】已知點(diǎn)已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)且在拋物線上，的坐標(biāo)且在拋物線上，將其代入拋物線解析式，求解即可，然后將其解析將其代入拋物線解析式，求解即可，然后將其解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)(1)(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；解：把解：把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入兩點(diǎn)坐標(biāo)代入yax2bx1得：得： ，解得，解得 ， 拋物線的解析式為拋物線的解析式為 ，即即 ， .104210abab 1212ab 211122yx2119()228yx19( ,)28D(2)(2)點(diǎn)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)ACP的周長(zhǎng)最的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)【思維教練思維教練】要使要使ACP的周長(zhǎng)最小，因的周長(zhǎng)最小，因AC長(zhǎng)固長(zhǎng)固定，只需定，只需APCP長(zhǎng)最小即可因?yàn)辄c(diǎn)長(zhǎng)最小即可因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即APBP，則只需，則只需BPCP長(zhǎng)最小即可，所以連接長(zhǎng)最小即可，所以連接BC，BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)為周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P.由拋物線的解析式可以求得由拋物線的解析式可以求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)的坐標(biāo)，再由B、C點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得BC直線的直線的解析式，進(jìn)而可求得解析式，進(jìn)而可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)解：如解圖，解：如解圖， A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，當(dāng)當(dāng)ACP的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)應(yīng)為直線為直線BC與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)，與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)，由由(1)知點(diǎn)知點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0，1)，拋，拋物線的對(duì)稱軸為物線的對(duì)稱軸為x ；設(shè)直線；設(shè)直線BC的解析式為的解析式為ykxb(k0)，代入，代入B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得兩點(diǎn)坐標(biāo)得：例例1 1題解圖題解圖12 ，解得，解得 ，直線直線BC解析式為解析式為 ，在直線在直線BC上，當(dāng)上，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ， 120bkb 121kb 112yx12x 1131224y 13( ,)24P例 2如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線yx2bxc與與x軸交軸交于于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C，拋物，拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P，與直線，與直線BC交于點(diǎn)交于點(diǎn)M，連接連接PB.類型二與面積有關(guān)的問題類型二與面積有關(guān)的問題例例2 2題圖題圖(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；【思維教練】【思維教練】已知拋物線與已知拋物線與x軸交于軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式即可求解兩點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式即可求解解：由題意可知點(diǎn)解：由題意可知點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)，點(diǎn)B(3，0)是拋物線與是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，軸的兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y(x1)(x3)x22x3.(2)(2)求求PBC的面積；的面積；【思維教練】【思維教練】已知已知PBC三邊均不在坐標(biāo)軸上，要求三邊均不在坐標(biāo)軸上，要求PBC的面積，只需求的面積，只需求PMC與與PMB的面積和，轉(zhuǎn)的面積和，轉(zhuǎn)化為求線段化為求線段PM的長(zhǎng)，結(jié)合直線的長(zhǎng)，結(jié)合直線BC的解析式求得點(diǎn)的解析式求得點(diǎn)M的的坐標(biāo)即可坐標(biāo)即可解：解：拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，拋物線的對(duì)稱軸為直線拋物線的對(duì)稱軸為直線x1，頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)為為P(1，4)，點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0，3)，設(shè)直線設(shè)直線BCBC的解析式為的解析式為ykxd(k0)，則，則 ，解得，解得 ，直線直線BC的解析式為的解析式為yx3，= 33 += 0dkd= 3= -1dk當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，y2，點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，2)，PM422，SPBC PM(xBxC) 233，即即PBC的面積為的面積為3. .1212(3)(3)在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使，使得得BCD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)的坐標(biāo)及及BCD面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由. .【思維教練思維教練】設(shè)出點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，同的坐標(biāo)，同(2)(2)問表示出問表示出BCD的面積，利用二次函數(shù)的最值即可求解的面積，利用二次函數(shù)的最值即可求解解：存在設(shè)解：存在設(shè)D(t，t22t3)，如解圖，作如解圖，作DHx軸交軸交BC于點(diǎn)于點(diǎn)H, ,則則H(t，t3)，例例2 2題解圖題解圖2221()21(233) 3239223327()228BCDHxxtttttt BCDS ，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即時(shí)，即D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為時(shí)，時(shí)，SBCD有最大值，且最大面積為有最大值，且最大面積為 . .30232t 3 15( ,)24278例 3 (2016(2016黃岡黃岡) )如圖，拋物線如圖，拋物線 與與 x 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) A ，點(diǎn)，點(diǎn) B ，與，與 y 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C ，點(diǎn)，點(diǎn)D 與點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱，點(diǎn)軸對(duì)稱，點(diǎn) P 是是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（m,0,0），過點(diǎn)），過點(diǎn) P 作作 x 軸的垂線軸的垂線 l 交拋物線于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn) Q .213222yx 例例3 3題圖題圖(1)求點(diǎn)求點(diǎn)A，點(diǎn)，點(diǎn)B，點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；【思維教練思維教練】要想求要想求A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)它們均在拋物線上，且在它們均在拋物線上，且在x軸、軸、y軸上分別令軸上分別令y0，x0，可依次求出點(diǎn)，可依次求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)的坐標(biāo)解：當(dāng)解：當(dāng)y0時(shí)，時(shí)， ，解得解得x14, x21，則則A(1，0)、B(4，0)，當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，y2，則，則C(0，2)2132022xx(2)(2)求直線求直線BD的解析式；的解析式；【思維教練思維教練】要想求直線的解析式，只要知道要想求直線的解析式，只要知道直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B、D均在直線上，且點(diǎn)均在直線上，且點(diǎn)B坐標(biāo)已知，點(diǎn)坐標(biāo)已知，點(diǎn)D的坐標(biāo)可利的坐標(biāo)可利用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律求出用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律求出解：解：點(diǎn)點(diǎn) D 與點(diǎn)與點(diǎn) C 關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱，軸對(duì)稱，點(diǎn)點(diǎn)D為為(0，2)，設(shè)直線，設(shè)直線BD的解析式為的解析式為ykxb，將將D(0，2)和和B (4，0)分別代入，得分別代入，得 ，解得，解得 ，直線直線BD的解析式為的解析式為 . .= -24 += 0bkb1=2= -2kb1=-22yx【思維教練】【思維教練】在四邊形在四邊形CQMD中，已知中，已知CDQM，若要使四邊形，若要使四邊形CQMD為平行四邊形，為平行四邊形，則需滿足則需滿足CDQM且且CQDM即可由于即可由于CD4，可考慮證可考慮證CDQM，則需用含，則需用含m的式子表示出線的式子表示出線段段QM的長(zhǎng)，根據(jù)的長(zhǎng)，根據(jù)CDQM列方程即可求列方程即可求m值值（3 3）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)P在線段在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 l 交交 BD 于點(diǎn)于點(diǎn)M，試探究，試探究m為何值時(shí)，四邊形為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行是平行四邊形；四邊形；解：易知解：易知CDQM，若，若CDQM，則四邊形，則四邊形CQMD為為平行四邊形平行四邊形P(m，0)， ，點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段OB上運(yùn)動(dòng)，上運(yùn)動(dòng)， ，CD4，解得解得m2或或m0( (舍去舍去) )，故當(dāng)故當(dāng)m2時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形CQMD為平行四邊形為平行四邊形21312,2222QMymmym 2131(2)(2)222QMmmm 2131(2)(2)4222mmm (4)(4)在點(diǎn)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使，使BDQ是以是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【思維教練】【思維教練】要求點(diǎn)要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，它需滿足的坐標(biāo)，它需滿足BDQ是是以以BD為直角邊的直角三角形，只要是直角三角形都為直角邊的直角三角形，只要是直角三角形都滿足勾股定理，所以用滿足勾股定理，所以用m將點(diǎn)將點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出來，得的坐標(biāo)表示出來，得到到QB2 2、DQ2 2、BD2 2，然后分情況討論，然后分情況討論，點(diǎn)點(diǎn)B為直為直角頂點(diǎn)時(shí)；角頂點(diǎn)時(shí)；點(diǎn)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)為直角頂點(diǎn)時(shí)解：存在點(diǎn)解：存在點(diǎn)Q，使，使BDQ是以是以BD為直角邊為直角邊的直角三角形的直角三角形設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 則則13( ,2),22mmm222222222213(4)(2)2213(22)224220BQmmmDQmmmBD 當(dāng)以點(diǎn)當(dāng)以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，則為直角頂點(diǎn)時(shí)，則BQ2BD2DQ2， 解得解得m13，m24( (舍去舍去) )，點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，2)；2222213(4)(2)202213(22) ,22mmmmmm 當(dāng)以點(diǎn)當(dāng)以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，則為直角頂點(diǎn)時(shí)，則DQ2 2BD2 2BQ2 2， 解得解得m11，m28，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，(8，18)綜上所述，所求點(diǎn)綜上所述，所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，2)，(1，0)，(8，18) 2222213(22)202213(4)(2)22mmmmmm