中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 題型五 圓的綜合題試題
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題型五圓的綜合題針對(duì)演練1. 如圖,AB是O的弦,AB4,過圓心O的直線垂直AB于點(diǎn)D,交O于點(diǎn)C和點(diǎn)E,連接AC、BC、OB,cosACB,延長OE到點(diǎn)F,使EF2OE.(1)求證:BOEACB; (2)求O的半徑;(3)求證:BF是O的切線第1題圖2. 如圖,AB為O的直徑,點(diǎn)C為圓外一點(diǎn),連接AC、 BC,分別與O相交于點(diǎn)D、點(diǎn)E,且,過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F,連接BD、DE、AE.(1)求證:DF是O的切線;(2)試判斷DEC的形狀,并說明理由;(3)若O的半徑為5,AC12,求sinEAB的值第2題圖3. (2016長沙9分)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,對(duì)角線AC為O的直徑,過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),連接DB,DC,DF.(1)求CDE的度數(shù);(2)求證:DF是O的切線;(3)若AC2DE,求tanABD的值第3題圖4. (2016德州10分)如圖,O是ABC的外接圓,AE平分BAC交O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)E作直線lBC.(1)判斷直線l與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:BEEF; (3)在(2)的條件下,若DE4,DF3,求AF的長第4題圖 5. (2015永州)如圖,已知ABC內(nèi)接于O,且ABAC,直徑AD交BC于點(diǎn)E,F(xiàn)是OE上的一點(diǎn),使CFBD.(1)求證:BECE;(2)試判斷四邊形BFCD的形狀,并說明理由;(3)若BC8,AD10,求CD的長第5題圖6. (2015省卷24,9分)O是ABC的外接圓,AB是直徑,過的中點(diǎn)P作O的直徑PG交弦BC于點(diǎn)D,連接AG,CP,PB.(1)如圖,若D是線段OP的中點(diǎn),求BAC的度數(shù);(2)如圖,在DG上取一點(diǎn)K,使DKDP,連接CK,求證:四邊形AGKC是平行四邊形;(3)如圖,取CP的中點(diǎn)E,連接ED并延長ED交AB于點(diǎn)H,連接PH,求證:PHAB.第6題圖 7. (2017原創(chuàng))如圖,AB切O于點(diǎn)B,AD交O于點(diǎn)C和點(diǎn)D,點(diǎn)E為的中點(diǎn),連接OE交CD于點(diǎn)F,連接BE交CD于點(diǎn)G.(1)求證:ABAG;(2)若DGDE,求證:GB2GCGA;(3)在(2)的條件下,若tanD,EG,求O的半徑第7題圖8. (2015達(dá)州)在ABC的外接圓O中,ABC的外角平分線CD交O于點(diǎn)D,F(xiàn)為上一點(diǎn),且,連接DF,并延長DF交BA的延長線于點(diǎn)E.(1)判斷DB與DA的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)求證:BCDAFD;(3)若ACM120,O的半徑為5,DC6,求DE的長第8題圖 9. 如圖,AB為O的直徑,P是BA延長線上一點(diǎn),PC切O于點(diǎn)C,CG是O的弦,CGAB,垂足為點(diǎn)D.(1)求證:ACDABC;(2)求證:PCAABC;(3)過點(diǎn)A作AEPC交O于點(diǎn)E,交CG于點(diǎn)F,連接BE,若sinP,CF5,求BE的長第9題圖10. (2016大慶9分)如圖,在RtABC中,C90,以BC為直徑的O交斜邊AB于點(diǎn)M,若H是AC的中點(diǎn),連接MH.(1)求證:MH為O的切線;(2)若MH,tanABC,求O的半徑;(3)在(2)的條件下分別過點(diǎn)A、B作O的切線,兩切線交于點(diǎn)D,AD與O相切于N點(diǎn),過N點(diǎn)作NQBC,垂足為E,且交O于Q點(diǎn),求線段NQ的長度第10題圖 11. 如圖,ABC為O的內(nèi)接三角形,P為BC延長線上一點(diǎn),PACB,AD為O的直徑,過C作CGAD交AD于E,交AB于F,交O于G.(1)判斷直線PA與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求證:AG2AFAB;(3)若O的直徑為10,AC2,AB4,求AFG的面積第11題圖12. (2016鄂州10分)如圖,在RtABC中,ACB90,AO是ABC的角平分線,以O(shè)為圓心,OC為半徑作O.(1)求證:AB是O的切線;(2)已知AO交O于點(diǎn)E,延長AO交O于點(diǎn)D,tanD,求的值;(3)在(2)的條件下,設(shè)O的半徑為3,求AB的長第12題圖【答案】1(1)證明:如解圖,連接OA,第1題解圖CEAB,ADBD2,ACEBCE,AOEBOE,又AOB2ACB,BOEACB;(2)解:cosACB,cosBOD,在RtBOD中,設(shè)ODx,則OB3x,OD2BD2OB2,x222(3x)2,解得x,OB3x,即O的半徑為;(3)證明:FE2OE,OF3OE,BOFDOB,OBFODB,OBFODB90,即OBBF,OB是O的半徑,BF是O的切線2(1)證明:如解圖,連接DO,交AE于點(diǎn)G,則DOBO,第2題解圖ABDODB,ABDEBD,ODBEBD,DOBC,ODFCFD,DFBC,CFD90,ODF90,即ODDF,又OD為O的半徑,DF是O的切線;(2)解:DEC是等腰三角形,理由如下:AB是O的直徑,ADBCDB90,又BDBD,ABDEBD,ABDCBD(ASA),ADCD.,ADDE,CDDE,DEC是等腰三角形;(3)解:由(2)可知ADAC6,ODAE,ABDDAE,sinDAE.在RtADB中,sinABD,DG3.6,OGODDG1.4,在RtAGO中,sinEAB.3(1)解:AC為O的直徑,ADC90,CDE90;(2分)第3題解圖(2)證明:如解圖,連接OD,CDE90,F(xiàn)為CE中點(diǎn),DFCECF,F(xiàn)DCFCD.又ODOC,ODCOCD,ODCFDCOCDFCD,ODFOCF,ECAC,OCF90,ODF90,即ODDF,又OD為O的半徑,DF為O的切線;(5分)(3)解:在ACD與ECA中,ADCACE90,EACCAD,ACDAEC,AC2ADAE,又AC2DE,20DE2(AEDE)AEAE5DE,AD4DE,在RtACD中,AC2AD2CD2,CD2DE,又在O中,ABDACD,tanABDtanACD2. (9分)4(1)解:直線l與O相切理由如下:如解圖,連接OE、OB、OC.第4題解圖AE平分BAC,BAECAE,BOECOE,又OBOC,OEBC,lBC,OEl,又OE為O的半徑,直線l與O相切;(3分)(2)證明:BF平分ABC,ABFCBF,又CBECAEBAE,CBECBFBAEABF.又EBFCBECBF,EFBBAEABF,EBFEFB,BEEF;(6分)(3)解:BEEF,DE4,DF3,BEEFDEDF7,DBEBAE,DEBBEA,BEDAEB,即,解得AE,(9分)AFAEEF7.(10分)5(1)證明:AD是O的直徑,ABDACD90,在RtABD和RtACD中,RtABDRtACD(HL),BADCAD,ABAC,AD垂直平分BC,BECE;(2)解:四邊形BFCD是菱形理由如下:AD是O的直徑,ABAC,ADBC,BECE,CFBD,F(xiàn)CEDBE,在BED和CEF中,BEDCEF(ASA),BDCF,四邊形BFCD是平行四邊形,BADCAD,BDCD,四邊形BFCD是菱形;(3)解:AD是O的直徑,ADBC,BECE,ECDCAE,AECDEC90,RtCDERtACE,CE2DEAE,設(shè)DEx,則AEADDE10x,BC8,CEBC4,42x(10x),解得x2或x8(舍去),在RtCED中,CD2.6(1)解:點(diǎn)P為的中點(diǎn),PG為O的直徑,BPPC,PGBC,CDBD,ODB90,D為OP的中點(diǎn),ODOPOB,OBD30,AB為O的直徑,ACB90,BAC60;(3分)(2)證明:由(1)知,CDBD,在PDB和KDC中,PDBKDC(SAS),BPCK,BPOCKD,AOGBOP,AGBP,AGCK,OPOB,OBPBPO,又GOBP,GBPOCKD,AGCK,四邊形AGKC是平行四邊形;(6分)(3)證明:CEPE,CDBD,DEPB,即DHPB,GBPO,PBAG,DHAG,OAGOHD,GODH.OAOG,OAGG,ODHOHD,ODOH,在OBD和OPH中,OBDOPH(SAS),OHPODB90,PHAB. (9分)7(1)證明:如解圖,連接OB,第7題解圖AB為O的切線,OBAB,ABGOBG90,點(diǎn)E為的中點(diǎn),OECD,OEGFGE90,又OBOE,OBGOEG,ABGFGE,BGAFGE,ABGBGA,ABAG;(2)證明:如解圖,連接BC,DGDE,DGEDEG,由(1)得ABGBGA,又BGADGE,AGDE,GBCGDE,GBCA,BGCAGB,GBCGAB,GB2GCGA;(3)解:如解圖,連接OD,在RtDEF中,tanEDF,設(shè)EF3x,則DF4x,由勾股定理得DE5x,DGDE,DG5x,GFDGDFx.在RtEFG中,由勾股定理得GF2EF2EG2,即x2(3x)2()2,解得x1,設(shè)O半徑為r,在RtODF中,ODr,OFr3,DF4,由勾股定理得OF2FD2OD2,即(r3)242r2,解得r,O的半徑為.8(1)解:DBDA.理由如下:CD平分ACM,MCDACD,ACD和ABD都是所對(duì)的圓周角,ACDABD,MCDABD,又MCDBAD,BADABD,DBDA; (2)證明:如解圖,連接AF,第8題解圖ADBD,AFBC,DFDC,在BCD和AFD中,BCDAFD(SSS);(3)解:ACM120,MCDACD60,ABDBADBDA60,ABD是等邊三角形,如解圖,連接DO并延長與AB交于點(diǎn)G,則ADO30,過點(diǎn)O作OHAD于點(diǎn)H,則AD2DH2ODcos305,ADFDAFAFEACD60,ADEEBAD60,DAFE,ADFEDA,ADFEDA,DE,DFDC6,DA5,DE.9(1)證明:AB是O直徑,ACB90,CGAB,ADCACB90,CADBAC,ACDABC; (2)證明:如解圖,連接OC.第9題解圖PC切O于點(diǎn)C,OCPC,PCO90,PCAOCA90,ACB90,ABCOAC90,OCOA,OCAOAC,PCAABC;(3)解:AEPC,PCACAF,ABCG,ABCACF,PCAABC,CAFABC,ACFCAF,F(xiàn)AFC,CF5,AF5,AEPC,F(xiàn)ADP,sinP,sinFAD,F(xiàn)D3,AD4,CD8,在RtCOD中,設(shè)COr,則有r2(r4)282,r10,AB2r20,AB是O的直徑,AEB90,sinEAB,BE12.10(1)證明:如解圖,連接OM、CM,第10題解圖BC為O的直徑,AMCBMC90,H是AC的中點(diǎn),HCHMAC,HMCHCM,OMOC,OMCOCM,OMHOCH,ACB90OCH,OMH90,即OMMH,又OM為O的半徑,MH為O的切線;(3分)(2)解:MH,AC2MH3,在RtABC中,tanABC,BC4,故O的半徑為2;(5分)(3)解:如解圖,過點(diǎn)D作DPAC于點(diǎn)P,連接ON,第10題解圖則DPBC4,BDPC,設(shè)DBDNx,則AP3x,ANAC3,ADx3.在RtADP中,由勾股定理得,(x3)2(3x)242,解得x,DNBD,AD,QNBC,ACBC,BDBC,ACNQDB,即,BE,OEOBBE,EN,NQ2EN.(9分)11(1)解:直線PA與O相切理由如下:AD為O的直徑, CGAD ,AD垂直且平分CG,ACAG,ACGAGC,AGCB,PACB,PACACG,PACG,CGAD,PAAD,又AD為O的直徑直線PA是O的切線;【一題多解】如解圖,連接DC,第11題解圖則BADC,AD是O的直徑,ACD90,ADCDAC90.又PACB,ADCPAC,PACDAC90,即DAPA,PA是O的切線(2)證明:由垂徑定理得,ACGB,CABFAC,ABCACF,AC2AFAB,又ACAG,AG2AFAB;【一題多解】此題還可以通過連接BG,證明GABFAG,從而證得AG2AFAB.(3)解:由(2)得AG2AFAB,AGAC2,AB4,(2)24AF,AF,如解圖,連接BD,則ABD90,第11題解圖由勾股定理得BD2,AEFABD90,EAFBAD,AEFABD,AE2,EF1,在RtACE中,由勾股定理,得CE2AC2AE2,CE 4,CEEG,EG4,F(xiàn)GEGEF 413,.12(1)證明:如解圖,過點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F,第12題解圖AO平分CAB,OCAC,垂足為點(diǎn)F,OFOC,即OF為O的半徑,AB是O的切線;(3分) (2)解:如解圖,過點(diǎn)D作DPAC交AC延長線于點(diǎn)P,ACB90,DPAC,CODP,OCOD,OCDODCCDP,tanCDO,tanOCD.連接DQ,設(shè)DQa,則CD2a,CQa,COODOE,在RtCPD中,設(shè)CPb,則DP2b,CDb,ba,則PCa ,PDa,CODP,ACOAPD,即,解得ACa,AOa,AEAOOEaa,;(7分)(3)解:由(2)知,設(shè)AEc,則AC2c,在RtACO中,(2c)232(c3)2,解得c2,AFAC2c4,在BFO和BCA中,BFOBCA,設(shè)BFx,BOy, ,解得:x,y,ABAFBF4. 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