2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題教案 新人教版一課標(biāo)要求:1探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法;2能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)和遞推關(guān)系,并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列知識解決相應(yīng)的實(shí)際問題。二命題走向數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問題在高考中占有重要的地位,一般情況下都是出一道解答題,解答題大多以數(shù)列為工具,綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識,通過運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法,這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,它們都屬于中、高檔題目。有關(guān)命題趨勢:1數(shù)列是一種特殊的函數(shù),而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的有效工具,三者的綜合題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn),在三者交匯處設(shè)計(jì)試題,特別是代數(shù)推理題是高考的重點(diǎn);2數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點(diǎn),這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力,能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度;3數(shù)列與新的章節(jié)知識結(jié)合的特點(diǎn)有可能加強(qiáng),如與解析幾何的結(jié)合等;4有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。預(yù)測xx年高考對本將的考察為:1可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題;2也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題,以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。三要點(diǎn)精講1數(shù)列求通項(xiàng)與和(1)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式:an= 。(2)求通項(xiàng)常用方法作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列;累差疊加法。最基本的形式是:an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1;歸納、猜想法。(3)數(shù)列前n項(xiàng)和重要公式:1+2+n=n(n+1);12+22+n2=n(n+1)(2n+1);13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2;等差數(shù)列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;等比數(shù)列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;裂項(xiàng)求和將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個式子的代數(shù)和,即an=f(n+1)f(n),然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng),這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。用裂項(xiàng)法求和,需要掌握一些常見的裂項(xiàng),如:、=、nn!=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等。錯項(xiàng)相消法對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和,常用錯項(xiàng)相消法。, 其中是等差數(shù)列, 是等比數(shù)列,記,則,并項(xiàng)求和把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和,然后再求Sn。數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣,要視具體情形選用合適方法。通項(xiàng)分解法:2遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k1,an+k2,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1,及a1=1,確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說來有以下幾種:(1)歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。(2)迭代法。(3)代換法。包括代數(shù)代換,對數(shù)代數(shù),三角代數(shù)。(4)作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。四典例解析題型1:裂項(xiàng)求和例1已知數(shù)列為等差數(shù)列,且公差不為0,首項(xiàng)也不為0,求和:。解析:首先考慮,則=。點(diǎn)評:已知數(shù)列為等差數(shù)列,且公差不為0,首項(xiàng)也不為0,下列求和也可用裂項(xiàng)求和法。例2求。解析:, 點(diǎn)評:裂項(xiàng)求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜的因式轉(zhuǎn)化的簡單一些。題型2:錯位相減法例3設(shè)a為常數(shù),求數(shù)列a,2a2,3a3,nan,的前n項(xiàng)和。解析:若a=0時,Sn=0;若a=1,則Sn=1+2+3+n=;若a1,a0時,Sn-aSn=a(1+a+an-1-nan),Sn=。例4已知,數(shù)列是首項(xiàng)為a,公比也為a的等比數(shù)列,令,求數(shù)列的前項(xiàng)和。解析:,-得:,點(diǎn)評:設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列,數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列的前項(xiàng)和求解,均可用錯位相減法。題型3:倒序相加例5求。 解析:。 又。 所以。點(diǎn)評:Sn表示從第一項(xiàng)依次到第n項(xiàng)的和,然后又將Sn表示成第n項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和,將所得兩式相加,由此得到Sn的一種求和方法。例6設(shè)數(shù)列是公差為,且首項(xiàng)為的等差數(shù)列,求和:解析:因?yàn)?,。點(diǎn)評:此類問題還可變換為探索題形:已知數(shù)列的前項(xiàng)和,是否存在等差數(shù)列使得對一切自然數(shù)n都成立。題型4:其他方法例7求數(shù)列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,前n項(xiàng)和。 解析:本題實(shí)質(zhì)是求一個奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項(xiàng)中共有個奇數(shù),故。例8求數(shù)列1,3,32,3n的各項(xiàng)的和。解析:其和為(133n)()=(3n13-n)。題型5:數(shù)列綜合問題例9( xx年浙江卷)已知函數(shù)x3+x2,數(shù)列 | xn | (xn 0)的第一項(xiàng)x11,以后各項(xiàng)按如下方式取定:曲線y在處的切線與經(jīng)過(0,0)和(xn,f(xn)兩點(diǎn)的直線平行(如圖)。求證:當(dāng)n時:(I);(II)。解析:(I)因?yàn)樗郧€在處的切線斜率因?yàn)檫^和兩點(diǎn)的直線斜率是所以.(II)因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時單調(diào)遞增,而所以,即因此又因?yàn)榱顒t因?yàn)樗砸虼斯庶c(diǎn)評:數(shù)列與解析幾何問題結(jié)合在一塊,數(shù)列的通項(xiàng)與線段的長度、點(diǎn)的坐標(biāo)建立起聯(lián)系。例10(xx年遼寧卷)已知,其中,設(shè),。(I) 寫出;(II) 證明:對任意的,恒有。解析:(I)由已知推得,從而有;(II) 證法1:當(dāng)時,當(dāng)x0時, ,所以在0,1上為增函數(shù)。因函數(shù)為偶函數(shù)所以在1,0上為減函數(shù),所以對任意的,因此結(jié)論成立。證法2:當(dāng)時, 當(dāng)x0時, ,所以在0,1上為增函數(shù)。因函數(shù)為偶函數(shù)所以在-1,0上為減函數(shù)所以對任意的又因所以因此結(jié)論成立。證法3:當(dāng)時, 當(dāng)x0時, ,所以在0,1上為增函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)所以在1,0上為減函數(shù)。所以對任意的由對上式兩邊求導(dǎo)得: 因此結(jié)論成立。點(diǎn)評:數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊,考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì),其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。題型6:數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題例11某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案,甲方案:一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案:每年貸款1萬元,第一年可獲利1萬元,以后每年比前一年增加5千元;兩種方案的使用期都是10年,到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算,試比較兩種方案中,哪種獲利更多? (?。┙馕觯杭追桨甘堑缺葦?shù)列,乙方案是等差數(shù)列,甲方案獲利:(萬元),銀行貸款本息:(萬元),故甲方案純利:(萬元),乙方案獲利:(萬元);銀行本息和:(萬元)故乙方案純利:(萬元);綜上可知,甲方案更好。點(diǎn)評:這是一道比較簡單的數(shù)列應(yīng)用問題,由于本息金與利潤是熟悉的概念,因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解。例12(xx湖南20)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源,為持續(xù)利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量,nN*,且x10.不考慮其它因素,設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比,死亡量與xn2成正比,這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b,c。 ()求xn+1與xn的關(guān)系式; ()猜測:當(dāng)且僅當(dāng)x1,a,b,c滿足什么條件時,每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明) ()設(shè)a2,b1,為保證對任意x1(0,2),都有xn0,nN*,則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論。解析:(I)從第n年初到第n+1年初,魚群的繁殖量為axn,被捕撈量為bxn,死亡量為 (II)若每年年初魚群總量保持不變,則xn恒等于x1, nN*,從而由(*)式得:因?yàn)閤10,所以ab。猜測:當(dāng)且僅當(dāng)ab,且時,每年年初魚群的總量保持不變。()若b的值使得xn0,nN* 由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知0xn3b, nN*, 特別地,有0x13b. 即0b0。又因?yàn)閤k+1=xk(2xk)=(xk1)2+11 an-2時,an = an-1 an-2 an-11(n3); 當(dāng)an-1 an-2時,an = an-2 an-1 an-21(n3),即an的值要么比an-1至少小1,要么比an-2至少小1. 令cn=n=1,2,3,則0cncn-11(n=2,3,4).由于c1是確定的正整數(shù),這樣減少下去,必然存在某項(xiàng)c10(n=1,2,3)矛盾.從而an必有零項(xiàng)。若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng),記an-1=A(A0),則自第n項(xiàng)開始,沒三個相鄰的項(xiàng)周期地取值O,A,A,即所以絕對等差數(shù)列an中有無窮多個為零的項(xiàng)。點(diǎn)評:通過設(shè)置“等差數(shù)列”這一概念加大學(xué)生對情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。例14(xx江蘇23)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a11,a26,a311,且其中A,B為常數(shù)。()求A與B的值;()證明數(shù)列an為等差數(shù)列;()證明不等式對任何正整數(shù)m、n都成立分析:本題是一道數(shù)列綜合運(yùn)用題,第一問由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入關(guān)系式,即求出A、B;第二問利用公式,推導(dǎo)得證數(shù)列an為等差數(shù)列。解答:(1)由已知,得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。由(5n8)Sn+1(5n+2)Sn=An+B知:。 解得A=20,B=8。()方法1由(1)得,(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, -,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.-,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因?yàn)?an+1=Sn+1-Sn所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因?yàn)?(5n+2),所以 an+3-2an+2+an+1=0,即 an+3-an+2=an+2-an+1, .又 a3-a2=a2-a1=5,所以數(shù)列為等差數(shù)列。方法2.由已知,S1=a1=1,又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8,所以數(shù)列是惟一確定的。設(shè)bn=5n-4,則數(shù)列為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和Tn=于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)由惟一性得bn=a,即數(shù)列為等差數(shù)列。()由()可知,an=1+5(n-1)=5n-4. 要證了 只要證 5amn1+aman+2 因?yàn)?amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要證 5(5mn-4)1+25mn-20(m+n)+16+2因?yàn)?20m+20n-37,所以命題得證。點(diǎn)評:本題主要考查了等差數(shù)列的有關(guān)知識,不等式的證明方法,考查了分析推理、理性思維能力及相關(guān)運(yùn)算能力等。五思維總結(jié)1數(shù)列求和的常用方法(1)公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列;(2)裂項(xiàng)相消法:適用于其中 是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù);部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等;(3)錯位相減法:適用于其中 是等差數(shù)列,是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。(4)倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.(5)分組求和法(6)累加(乘)法等。2常用結(jié)論(1) 1+2+3+.+n = (2)1+3+5+.+(2n-1) = (3) (4) (5) (6)3數(shù)學(xué)思想(1)迭加累加(等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法)若,則;(2)迭乘累乘(等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法)若,則;(3)逆序相加(等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法);(4)錯位相減(等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法)。- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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