2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明章末整合提升課件 新人教A版選修2-2.ppt

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第二章,推理與證明,章末整合提升,知 識 網 絡,專 題 突 破,專題一 ?合情推理與演繹推理,1．合情推理分為歸納推理和類比推理，是基本的分析和解決問題的方法．合情推理是合乎情理的推理，通過歸納、猜測發(fā)現(xiàn)結論，為解決問題提供了思路和方向．歸納推理和類比推理的特點與區(qū)別：類比推理和歸納推理的結論都是有待于證明的．歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理． 2．演繹推理 演繹推理是數(shù)學證明中的基本推理形式，“三段論”是演繹推理的一般模式． 3．近幾年高考對推理的考查： (1)以選擇題、填空題的形式考查合情推理； (2)以選擇題或解答題的形式考查演繹推理； (3)題目難度不大，多以中低檔題為主．,典例 1,古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如： 他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( ) A．289 B．1024 C．1225 D．1378,,C,『規(guī)律方法』 三段論的推理依據(jù)：三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S的所有元素都具有性質P．三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷叫大前提，第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況，這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內在聯(lián)系，從而產生了第三個判斷：結論．,專題二 ?直接證明,綜合與分析法是證明命題的兩種最基本、最常用的直接證明方法．綜合法常用于由已知推論較易找到思路時；分析法常用于條件復雜、思考方向不明確且用綜合法較難證明時．單純應用分析法證明并不多見，常常是用分析法尋找思路，用綜合法表述過程．因此在實際應用中，經常要把綜合法與分析法結合起來使用．本考點在高考中每年都要涉及，主要以考查直接證明中的綜合法為主．,典例 2,專題三 ?用反證法證題,反證法是間接證明的一種基本方法，它不去直接證明結論，而是先否定結論，在否定結論的基礎上，運用正確的推理，導出矛盾，從而肯定結論的真實性．在證明一些否定性命題、唯一性命題或含有“至多”“至少”等字樣的命題時，正面證明往往較難，此時可考慮反證法，即“正難則反”．,典例 3,已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2．求證a，b中至少有一個是非負數(shù)． [分析] 假設 a＜0，b＜0，則a＋b＜0，又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，這與假設所得結論矛盾，故假設不成立． [解析] 假設a，b中沒有一個是非負數(shù)，即a＜0，b＜0，所以 a＋b＜0． 又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，這與假設所得結論矛盾，故假設不成立， 所以，a，b中至少有一個是非負數(shù)．,『規(guī)律方法』 用反證法證明問題時要注意以下三點 (1)必須否定結論，即肯定結論的反面，當結論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結論，缺少任何一種可能，都不是反證法． (2)反證法必須從否定結論進行推證，即應把結論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法． (3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與事實矛盾等，但是推導出的矛盾必須是明顯的．,專題四 ?用數(shù)學歸納法解題,數(shù)學歸納法是一種證明方法，可以證明與正整數(shù)有關的命題，如恒等式、不等式、幾何問題以及整除問題等．高考數(shù)學歸納法的考查，一般以數(shù)列為背景，涉及等式、不等式等問題，歸納—猜想—證明是解決此問題的通法．,典例 4,在數(shù)列{an}與{bn}中，a1＝1，b1＝4，數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足nSn＋1－(n＋3)Sn＝0,2an＋1為bn與bn＋1的等比中項，n∈N*． (1)求a2，b2的值； (2)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式． [解析] (1)由題設有a1＋a2－4a1＝0，a1＝1， 解得a2＝3． 由題設又有4a＝b2b1，b1＝4， 解得b2＝9．,『規(guī)律方法』 數(shù)學歸納法的主要思想：數(shù)學歸納法中兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎，也叫歸納奠基；第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推．在這一步中歸納假設必須用上，否則就不是數(shù)學歸納法．,專題五 ?轉化與化歸思想,轉化與化歸的思想方法是數(shù)學最基本的思想方法，數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸．轉化與化歸是數(shù)學思想方法的靈魂．在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉化；數(shù)學歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊、有限與無限的轉化；反證法體現(xiàn)的是對立與統(tǒng)一的轉化．,典例 5,『規(guī)律方法』 (1)歸納推理是從特殊到一般，從部分到整體的推理，在歸納、猜想階段體現(xiàn)的是一般與特殊的相互轉化關系． (2)歸納推理得到的結論未必正確，還需檢驗和證明，有時要用到三段論．,專題五 ?分類討論思想,分類討論思想在本章的證明問題中，無論是直接法還是間接法，都有所體現(xiàn)．如用反證法證明命題時，若結論的反面情況不唯一時，則必須采用分類討論的方法對反面情況逐一否定，才能使問題得以證明．,已知平面上有四個點A，B，C，D，任何三點都不共線，求證以每三個點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形． [分析] 分別對第四個頂點在前三個頂點確定的三角形內、外兩種情形進行討論． [解析] 假設以每三個點為頂點的三角形都是銳角三角形，考慮點D在△ABC內、外兩種情形． ①如圖(1)所示，點D在△ABC內．,典例 6,,『規(guī)律方法』 利用反證法證明時，若否定結論后出現(xiàn)多種情況，則需要分類討論，記得最后下結論時，說明上述情況均矛盾，故假設不成立，原結論成立．,一、選擇題 1．異面直線在同一平面內的射影不可能是( ) A．兩條平行直線 B．兩條相交直線 C．一點與一直線 D．同一條直線 [解析] 若兩條直線在同一平面的射影是同一直線，則這兩條直線的位置關系為平行或相交或重合，這均與異面矛盾，故異面直線在同一平面內的射影不可能為一條直線．故應選D．,D,C,A,C,,,二、填空題 5．根據(jù)下面一組等式 S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175， … 可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝____．,n4,[解析] 根據(jù)所給等式組，不難看出：S1＝1＝14； S1＋S3＝1＋15＝16＝24； S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34， S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44， 由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4．,＞,