2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第39課 等差數(shù)列要點導(dǎo)學(xué).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第39課 等差數(shù)列要點導(dǎo)學(xué)等差數(shù)列的基本量運算例1已知等差數(shù)列an中,a1=1,a3=-3.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列an的前k項和Sk=-35,求k的值.思維引導(dǎo)(1)由等差數(shù)列的通項公式可寫出數(shù)列an的通項公式;(2)先根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式Sn=求出其前k項和,再由Sk=-35得到關(guān)于k的方程,解此方程可得k值,注意kN*.解答(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.從而an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,所以Sn=2n-n2.由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又kN*,故k=7.精要點評本題還可以用兩點式求直線方程的方法求an.設(shè)an=an+b,把a1=1,a3=-3分別代入求出a=-2,b=3,得到an=3-2n.例2已知等差數(shù)列an中的前三項和為12,且2a1,a2,a3+1依次成等比數(shù)列,求數(shù)列an的公差.思維引導(dǎo)求得a2的值,設(shè)公差d,構(gòu)造關(guān)于d的方程,然后求之.解答設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由數(shù)列an的前3項和為12,得3a2=12,所以a2=4.因為2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,所以2a1(a3+1)=,即2(a2-d)(a2+d+1)=,即d2+d-12=0,解得d=-4或3.精要點評在等差數(shù)列的運算中,常用的有五個基本量,它們是a1,d,n,an,Sn.掌握這五個基本量之間的各種關(guān)系,結(jié)合熟練的運算,即可解決等差數(shù)列的常見問題.【題組強化重點突破】1. 在等差數(shù)列an中,a2=1,a4=5,則數(shù)列an的前5項和S5=.答案15解析因為a2=1,a4=5,所以a1+a5=a2+a4=6,所以數(shù)列an的前5項和S5=6=15.2.(xx福建卷)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6=.答案12解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得S3=3a1+3d=6+3d=12,所以d=2,a6=a1+5d=12.3.若在公差不為0的等差數(shù)列an中,a3=10,a3,a7,a10成等比數(shù)列,則公差d=.答案-解析因為a3,a7,a10成等比數(shù)列,所以=a3a10.又因為a3=10,公差為d,所以(a3+4d)2=a3(a3+7d),即(10+4d)2=10(10+7d),即8d2+5d=0,所以d=-或d=0(舍去).4. 已知等差數(shù)列an中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則數(shù)列bn的第5項是.答案30解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得所以an=3+3(n-1)=3n.因為bn=a2n,所以b5=a10=30.5.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=.答案1解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a1+1,a3+3,a5+5成等比數(shù)列,所以(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a1+1)a1+1+4(d+1)=a1+1+2(d+1)2,令a1+1=x,d+1=y,則x(x+4y)=(x+2y)2,即x2+4xy=x2+4xy+4y2,所以y=0,即d+1=0,所以q=1.等差數(shù)列的通項公式例3設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,已知4Sn=-4n-1,nN*,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求證:a2=;(2)求數(shù)列an的通項公式.思維引導(dǎo)(1)對于4Sn=-4n-1,取n=1,可得到a1與a2的關(guān)系,即可證得;(2)當n2時,由4an=4Sn-4Sn-1=-4,可得到an+1與an的關(guān)系式,從而可知等差數(shù)列an的公差,又由a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列,從而可求出基本量a1,即可寫出其通項公式.解答(1)當n=1時,4a1=-5,=4a1+5,因為an0,所以a2=.(2)當n2時,4Sn-1=-4(n-1)-1,則4an=4Sn-4Sn-1=-4,即=+4an+4=(an+2)2,因為an0,所以an+1=an+2,an+1-an=2,所以當n2時,an是公差d=2的等差數(shù)列.因為a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列,所以=a2a14,即(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3,由(1)可知,4a1=-5=4,所以a1=1,因為a2-a1=3-1=2,所以an是首項a1=1、公差d=2的等差數(shù)列.所以數(shù)列an的通項公式為an=2n-1.精要點評等差數(shù)列的判斷,主要通過等差數(shù)列的定義進行判斷:an+1-an為常數(shù)d,而不能是關(guān)于n變化的函數(shù)f(n).變式已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,且4Sn=+2an+1,nN*,求數(shù)列an的通項公式.解答當n=1時,a1=1.因為4Sn=+2an+1,所以4Sn+1=+2an+1+1,兩式相減得4an+1=-+2an+1-2an,即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.因為數(shù)列an的各項都是正數(shù),所以an+1-an=2,所以an為首項為1、公差為2的等差數(shù)列,故an=2n-1.等差數(shù)列的求和問題例4(xx湖北卷)已知等差數(shù)列an滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn60n+800?若存在,求出n的最小值;若不存在,請說明理由.思維引導(dǎo)(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,根據(jù)a1,a2,a5成等比數(shù)列求得d的值,從而求得數(shù)列an的通項公式;(2)由(1)中求得的an,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出Sn,從而解不等式求出滿足條件的n.解答(1) 設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意得2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,所以(2+d)2=2(2+4d),解得d=0或d=4.當d=0時,an=2;當d=4時,an=2+(n-1)4=4n-2,所以數(shù)列an的通項公式為an=2或an=4n-2.(2) 當an=2時,Sn=2n,顯然2n60n+800.當an=4n-2時,Sn=2n2,令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值為41.綜上所述,當an=2時,不存在滿足題意的正整數(shù)n;當an=4n-2時,存在正整數(shù)n,使得Sn60n+800成立,n的最小值為41.精要點評等差數(shù)列的求和是數(shù)列中考查頻率比較高的知識點,通常會與解不等式及求最值等知識點綜合考查.變式在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解答(1)由題意,得a15a3=(2a2+2)2,由a1=10,an為公差為d的等差數(shù)列,得d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,當d=-1時,an=-n+11;當d=4時,an=4n+6.(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.因為d0,所以|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn,當n12時,an0,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=2S11-Sn.1. 在等差數(shù)列an中,若a3+a13=18,則a8=.答案9解析由題意得a3+a13=2a8=18,所以a8=9.2.(xx南京學(xué)情調(diào)研)在等差數(shù)列an中,a4=7,a8=15,則數(shù)列an的前n項和Sn=.答案n2解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a8-a4=4d=8,從而d=2,因此an=7+2(n-4)=2n-1,故Sn=n2.3. 在等差數(shù)列an中,已知S30=20,S90=80,那么S60=.答案解析設(shè)S60=x,則20,x-20,80-x成等差數(shù)列,所以20+(80-x)=2(x-20),解得x=.4. 已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2-6n,那么數(shù)列|an|的前6項和T6=.答案18解析由Sn=n2-6n,得an是等差數(shù)列,且an=2n-7.當n3時,an0,所以T6=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=18.5. 已知數(shù)列an為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,那么使數(shù)列an的前n項和Sn達到最大值時的n=.答案20解析由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35.由a2+a4+a6=99,得3a4=99,即a4=33,所以d=-2.所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n.由得n=20.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)第7778頁.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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