2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十三講 圓與圓.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十三講 圓與圓 圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情形,判定兩圓的位置關(guān)系有如下三種方法: 1通過兩圓交點(diǎn)的個數(shù)確定; 2通過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定; 3通過兩圓的公切線的條數(shù)確定 為了溝通兩圓,常常添加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段,如公共弦、共切線、連心線,以及兩圓公共部分相關(guān)的角和線段,這是解圓與圓位置關(guān)系問題的常用輔助線 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論:【例題求解】【例1】 如圖,Ol與半徑為4的O2內(nèi)切于點(diǎn)A,Ol經(jīng)過圓心O2,作O2的直徑BC交Ol于點(diǎn)D,EF為過點(diǎn)A的公切線,若O2D=,那么BAF= 度 思路點(diǎn)撥 直徑、公切線、O2的特殊位置等,隱含豐富的信息,而連O2Ol必過A點(diǎn),先求出D O2A的度數(shù)注:(1)兩圓相切或相交時,公切線或公共弦是重要的類似于“橋梁”的輔助線,它可以使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通同時,又是生成圓冪定理的重要因素(2)涉及兩圓位置關(guān)系的計(jì)算題,常作半徑、連心線,結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形,將分散的條件集中,通過解直角三角形求解 【例2】 如圖,Ol與O2外切于點(diǎn)A,兩圓的一條外公切線與O1相切于點(diǎn)B,若AB與兩圓的另一條外公切線平行,則Ol 與O2的半徑之比為( ) A2:5 B1:2 C1:3 D2:3 思路點(diǎn)撥 添加輔助線,要探求兩半徑之間的關(guān)系,必須求出COlO2 (或DO2Ol)的度數(shù),為此需尋求CO1B、CO1A、BO1A的關(guān)系【例3】 如圖,已知Ol與O2相交于A、B兩點(diǎn),P是Ol上一點(diǎn),PB的延長線交O2于點(diǎn)C,PA交O2于點(diǎn)D,CD的延長線交Ol于點(diǎn)N (1)過點(diǎn)A作AECN交Oll于點(diǎn)E,求證:PA=PE; (2)連結(jié)PN,若PB=4,BC=2,求PN的長 思路點(diǎn)撥 (1)連AB,充分運(yùn)用與圓相關(guān)的角,證明PAE=PEA;(2)PBPC=PDPA,探尋PN、PD、PA對應(yīng)三角形的聯(lián)系【例4】 如圖,兩個同心圓的圓心是O,AB是大圓的直徑,大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)D,連結(jié)OD并延長交大圓于點(diǎn)E,連結(jié)BE交AC于點(diǎn)F,已知AC=,大、小兩圓半徑差為2 (1)求大圓半徑長; (2)求線段BF的長; (3)求證:EC與過B、F、C三點(diǎn)的圓相切 思路點(diǎn)撥 (1)設(shè)大圓半徑為R,則小圓半徑為R-2,建立R的方程;(2)證明EBCECF;(3)過B、F、C三點(diǎn)的圓的圓心O,必在BF上,連OC,證明OCE=90注:本例以同心圓為背景,綜合了垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、切線的判定、勾股定理、相似三角形等豐富的知識作出圓中基本輔助線、運(yùn)用與圓相關(guān)的角是解本例的關(guān)鍵 【例5】 如圖,AOB是半徑為1的單位圓的四分之一,半圓O1的圓心O1在OA上,并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)A,半圓O2的圓心O2在OB上,并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)B,半圓O1與半圓O2相切,設(shè)兩半圓的半徑之和為,面積之和為 (1)試建立以為自變量的函數(shù)的解析式; (2)求函數(shù)的最小值 思路點(diǎn)撥 設(shè)兩圓半徑分別為R、r,對于(1),通過變形把R2+r2用“=R+r”的代數(shù)式表示,作出基本輔助線;對于(2),因=R+r,故是在約束條件下求的最小值,解題的關(guān)鍵是求出R+r的取值范圍注:如圖,半徑分別為r、R的Ol 、O2外切于C,AB,CM分別為兩圓的公切線,OlO2與AB交于P點(diǎn),則: (1)AB=2; (2) ACB=Ol M O2=90;(3)PC2=PAPB; (4)sinP=; (5)設(shè)C到AB的距離為d,則 學(xué)力訓(xùn)練1已知:Ol和O2交于A、B兩點(diǎn),且Ol經(jīng)過點(diǎn)O2,若AOlB=90,則A O2B的度數(shù)是 2矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分別以A、C為圓心的兩圓相切,點(diǎn)D在圓C內(nèi),點(diǎn)B在圓C外,那么圓A的半徑r的取值范圍 3如圖;Ol 、O2相交于點(diǎn)A、B,現(xiàn)給出4個命題: (1)若AC是O2的切線且交Ol于點(diǎn)C,AD是Ol的切線且交O2于點(diǎn)D,則AB2=BCBD; (2)連結(jié)AB、OlO2,若OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,則OlO2=25cm; (3)若CA是Ol的直徑,DA是O2 的一條非直徑的弦,且點(diǎn)D、B不重合,則C、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上,(4)若過點(diǎn)A作Ol的切線交O2于點(diǎn)D,直線DB交Ol于點(diǎn)C,直線CA 交O2于點(diǎn)E,連結(jié)DE,則DE2=DBDC,則正確命題的序號是 (寫出所有正確命題的序號) 4如圖,半圓O的直徑AB=4,與半圓O內(nèi)切的動圓Ol與AB切于點(diǎn)M,設(shè)Ol的半徑為,AM的長為,則與的函數(shù)關(guān)系是 ,自變量的取值范圍是 5如圖,施工工地的水平地面上,有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起,則其最高點(diǎn)到地面的距離是( ) A2 B C D6如圖,已知Ol、O2相交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)Ol在O2上,過A作Oll的切線AC交B Ol的延長線于點(diǎn)P,交O2于點(diǎn)C,BP交Ol于點(diǎn)D,若PD=1,PA=,則AC的長為( ) A B C D7如圖,Ol和O2外切于A,PA是內(nèi)公切線,BC是外公切線,B、C是切點(diǎn)PB=AB;PBA=PAB;PABOlAB;PBPC=OlAO2A上述結(jié)論,正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4 8兩圓的半徑分別是和r (Rr),圓心距為d,若關(guān)于的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則兩圓的位置關(guān)系是( ) A一定內(nèi)切 B一定外切 C相交 D內(nèi)切或外切9如圖,Ol和O2內(nèi)切于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線交Ol于點(diǎn)D,交O2于點(diǎn)E,DA與O2相切,切點(diǎn)為C(1)求證:PC平分APD; (2)求證:PDPA=PC2+ACDC; (3)若PE=3,PA=6,求PC的長10如圖,已知Ol和O2外切于A,BC是Ol和O2的公切線,切點(diǎn)為B、C,連結(jié)BA并延長交Ol于D,過D點(diǎn)作CB的平行線交O2于E、F,求證:(1)CD是Ol的直徑;(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論 11如圖,已知A是Ol、O2的一個交點(diǎn),點(diǎn)M是 OlO2的中點(diǎn),過點(diǎn)A的直線BC垂直于MA,分別交Ol、O2于B、C (1)求證:AB=AC; (2)若Ol A切O2于點(diǎn)A,弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2,求證:dl+d2=O1O2; (3)在(2)的條件下,若dld2=1,設(shè)Ol、O2的半徑分別為R、r,求證:R2+r2= R2r212已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到兩圓外公切線的距離為 13如圖,7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r,則捆扎這7根筷子一周的繩子的長度為 14如圖,Ol和O2內(nèi)切于點(diǎn)P,O2的弦AB經(jīng)過Ol的圓心Ol,交Ol于C、D,若AC:CD:DB=3:4:2,則Ol與O2的直徑之比為( ) A2:7 B2:5 C2:3 D 1:3 15如圖,Ol與O2相交,P是Ol上的一點(diǎn),過P點(diǎn)作兩圓的切線,則切線的條數(shù)可能是( )A1,2 B1,3 C1,2,3 D1,2,3,4 16如圖,相等兩圓交于A、B兩點(diǎn),過B任作一直線交兩圓于M、N,過M、N各引所在圓的切線相交于C,則四邊形AMCN有下面關(guān)系成立( ) A有內(nèi)切圓無外接圓 B有外接圓無內(nèi)切圓 C既有內(nèi)切圓,也有外接圓 D以上情況都不對 17已知:如圖,O與相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在O上,O的弦AC切P于點(diǎn)A,CP及其延長線交P P于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)E作EFCE交CB的延長線于F(1)求證:BC是P的切線; (2)若CD=2,CB=,求EF的長; (3)若k=PE:CE,是否存在實(shí)數(shù)k,使PBD恰好是等邊三角形?若存在,求出是的值;若不存在,請說明理由 18如圖,A和B是外離兩圓,A的半徑長為2,B的半徑長為1,AB=4,P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn),PC切A于點(diǎn)C,PD切B于點(diǎn)D (1)若PC=PD,求PB的長; (2)試問線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使PC2+PD2=4?,如果存在,問這樣的P點(diǎn)有幾個?并求出PB的值;如果不存在,說明理由; (3)當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動到某處,使PCPD時,就有APCPBD 請問:除上述情況外,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動到何處(說明PB的長為多少,或PC、PD具有何種關(guān)系)時,這兩個三角形仍相似;并判斷此時直線CP與OB的位置關(guān)系,證明你的結(jié)論 19如圖,D、E是ABC邊BC上的兩點(diǎn),F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn),DAE=CAF (1)判斷ABD的外接圓與AEC的外接圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)若ABD的外接圓半徑是AEC的外接圓半徑的2倍,BC=6,AB=4,求BE的長 20問題:要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個圓柱的兩個底面和一個圓錐的底面 操作:方案一:在圖甲中,設(shè)計(jì)一個使圓錐底面最大,半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求,畫示意圖) 方案二;在圖乙中,設(shè)計(jì)一個使圓柱兩個底面最大,半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求:畫示意圖); , 探究:(1)求方案一中圓錐底面的半徑; (2)求方案二中圓錐底面及圓柱底面的半徑; (3)設(shè)方案二中半圓圓心為O,圓柱兩個底面的圓心為O1、O2,圓錐底面的圓心為O3,試判斷以O(shè)1、O2、O3、O為頂點(diǎn)的四邊形是什么樣的特殊四邊形,并加以證明 參考答案- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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