2018-2019高中數學 第一章 空間幾何體 1.2.3 空間幾何體的直觀圖學案 新人教A版必修2.doc
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1.2.3空間幾何體的直觀圖學習目標1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖知識點斜二測畫法思考邊長2 cm的正方形ABCD水平放置的直觀圖如下,在直觀圖中,AB與CD有何關系?AD與BC呢?在原圖與直觀圖中,AB與AB相等嗎?AD與AD呢?答案ABCD,ADBC,ABAB,ADAD.梳理水平放置的平面圖形的斜二測畫法(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的規(guī)則(2)立體圖形直觀圖的畫法規(guī)則畫立體圖形的直觀圖,在畫軸時,要多畫一條與平面xOy垂直的軸Oz,且平行于Oz的線段長度不變,其他同平面圖形的畫法1用斜二測畫法畫水平放置的A時,若A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且A90,則在直觀圖中,A45.()2用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時,平行的線段在直觀圖中仍平行,且長度不變()3在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變()類型一平面圖形的直觀圖例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖解(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底邊OB所在直線為x軸,垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標系畫出相應的x軸和y軸,使xOy45,如圖(1)(2)所示(2)在x軸上截取OBOB,在y軸上截取ODOD,過點D作x軸的平行線l,在l上沿x軸正方向取點C使得DCDC.連接BC,如圖(2)所示(3)所得四邊形OBCD就是直角梯形OBCD的直觀圖,如圖(3)所示引申探究例1中的直角梯形改為等腰梯形,畫出其直觀圖解畫法:(1)如圖所示,取AB所在直線為x軸,AB中點O為原點,建立直角坐標系,畫對應的坐標系xOy,使xOy45. (2)以O為中點在x軸上取ABAB,在y軸上取OEOE,以E為中點畫出CDx軸,并使CDCD.(3)連接BC,DA,所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖反思與感悟在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,選取適當的直角坐標系是關鍵之一,一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上,以便于畫點原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段關鍵之二是確定多邊形頂點的位置,借助于平面直角坐標系確定頂點后,只需把這些頂點順次連接即可跟蹤訓練1已知正五邊形ABCDE,如圖,試畫出其直觀圖考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖解畫法:(1)在圖(1)中作AGx軸于點G,作DHx軸于點H.(2)在圖(2)中畫相應的x軸與y軸,兩軸相交于點O,使xOy45.(3)在圖(2)中的x軸上取OBOB,OGOG,OCOC,OHOH,y軸上取OEOE,分別過G和H作y軸的平行線,并在相應的平行線上取GAGA,HDHD.(4)連接AB,AE,ED,DC,并擦去輔助線GA,HD,x軸與y軸,便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖ABCDE(如圖(3)類型二直觀圖的還原與計算例2如圖所示,梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖若A1D1Oy,A1B1C1D1,A1B1C1D12,A1D1OD11.試畫出原四邊形的形狀,并求出原圖形的面積考點平面圖形的直觀圖題點由直觀圖還原平面圖形解如圖,建立直角坐標系xOy,在x軸上截取ODOD11,OCOC12.在過點D的y軸的平行線上截取DA2D1A12.在過點A的x軸的平行線上截取ABA1B12.連接BC,即得到了原圖形由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形,上、下底長度分別為AB2,CD3,直角腰的長度AD2,所以面積為S25.反思與感悟(1)由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x軸,y軸平行的直線或線段,且平行于x軸的線段還原時長度不變,平行于y軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍,由此確定圖形的各個頂點,順次連接即可(2)若一個平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S,則有SS或S2S.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積跟蹤訓練2(1)如圖所示,一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形ABO,若OB1,那么原三角形ABO的面積是()A. B. C. D2考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算答案C解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1,因此面積為,又直觀圖與原平面圖形面積比為4,所以原圖形的面積為,故選C.(2)如圖所示,矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中OA6 cm,CD2 cm,則原圖形是_(填四邊形的形狀)考點平面圖形的直觀圖題點由直觀圖還原平面圖形答案菱形解析如圖所示,在原圖形OABC中,應有OAOA6(cm),OD2OD224(cm),CDCD2(cm),OC6(cm),OAOC,故四邊形OABC是菱形類型三空間幾何體的直觀圖例3如圖所示,已知幾何體的三視圖,用斜二測畫法畫出它的直觀圖考點空間幾何體的直觀圖題點簡單組合體的直觀圖解(1)作出長方體的直觀圖ABCDA1B1C1D1,如圖1所示(2)再以上底面A1B1C1D1的對角線交點為原點建立x軸、y軸,z軸,使xOy45如圖2所示,在z上取點V,使得VO的長度為棱錐的高,連接VA1,VB1,VC1,VD1,得到四棱錐的直觀圖,如圖2. (3)擦去輔助線和坐標軸,遮住部分用虛線表示,得到幾何體的直觀圖,如圖3.反思與感悟空間幾何體的直觀圖的畫法:(1)對于一些常見幾何體(柱、錐、臺、球)的直觀圖,應該記住它們的大致形狀,以便可以較快較準確地畫出(2)畫空間幾何體的直觀圖時,比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z軸,表示豎直方向(3)z軸方向上的線段,方向與長度都與原來保持一致跟蹤訓練3用斜二測畫法畫出六棱錐PABCDEF的直觀圖,其中底面ABCDEF為正六邊形,點P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)考點空間幾何體的直觀圖題點柱、錐、臺的直觀圖解畫法:(1)畫出六棱錐PABCDEF的底面在正六邊形ABCDEF中,取AD所在的直線為x軸,對稱軸MN所在的直線為y軸,兩軸相交于點O,如圖(1),畫出相應的x軸、y軸、z軸,三軸相交于O,使xOy45,xOz90,如圖(2);在圖(2)中,以O為中點,在x軸上取ADAD,在y軸上取MNMN,以點N為中點,畫出BC平行于x軸,并且等于BC,再以M為中點,畫出EF平行于x軸,并且等于EF;連接AB,CD,DE,FA得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖ABCDEF.(2)畫出正六棱錐PABCDEF的頂點,在z軸正半軸上截取點P,點P異于點O.(3)成圖連接PA,PB,PC,PD,PE,PF,并擦去x軸、y軸和z軸,便可得到六棱錐PABCDEF的直觀圖PABCDEF,如圖(3)1用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖,對其中的線段說法錯誤的是()A原來相交的仍相交B原來垂直的仍垂直C原來平行的仍平行D原來共點的仍共點考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖答案B解析根據斜二測畫法,原來垂直的未必垂直2利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖,正確的是圖中的()考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖答案C解析正方形的直觀圖應是平行四邊形,且相鄰兩邊的邊長之比為21.3如圖所示為一平面圖形的直觀圖,則此平面圖形可能是下圖中的()考點平面圖形的直觀圖題點由直觀圖還原平面圖形答案C解析在x軸上或與x軸平行的線段在新坐標系中的長度不變,在y軸上或平行于y軸的線段在新坐標系中的長度變?yōu)樵瓉淼?,并注意到xOy90,xOy45,因此由直觀圖還原成原圖形為C.4有一個長為5 cm,寬為4 cm的矩形,則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為_cm2.考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算答案5解析該矩形直觀圖的面積為545.5畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖解(1)過點C作CEx軸,垂足為點E,如圖(1)所示,畫出對應的x軸,y軸,使xOy45,如圖(2)所示(2)如圖(2)所示,在x軸上取點B,E,使得OBOB,OEOE;在y軸上取一點D,使得ODOD;過點E作ECy軸,使ECEC.(3)連接BC,CD,并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線,如圖(3)所示,四邊形OBCD就是所求的直觀圖1畫水平放置的平面圖形的直觀圖,關鍵是確定直觀圖的頂點確定點的位置,可采用直角坐標系建立恰當的坐標系是迅速作出直觀圖的關鍵,常利用圖形的對稱性,并讓頂點盡量多地落在坐標軸上或與坐標軸平行的直線上2用斜二測畫法畫圖時要緊緊把握住“一斜”、“二測”兩點:(1)一斜:平面圖形中互相垂直的Ox,Oy軸,在直觀圖中畫成Ox,Oy軸,使xOy45或135.(2)二測:在直觀圖中平行于x軸的長度不變,平行于y軸的長度取一半,記為“橫不變,縱折半”.一、選擇題1根據斜二測畫法的規(guī)則畫直觀圖時,把Ox,Oy,Oz軸畫成對應的Ox,Oy,Oz,則xOy與xOz的度數分別為()A90,90 B45,90C135,90 D45或135,90考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖答案D解析根據斜二測畫法的規(guī)則,xOy的度數應為45或135,xOz指的是畫立體圖形時的橫軸與縱軸的夾角,所以度數為90.2水平放置的ABC的直觀圖如圖所示,其中BOCO1,AO,那么原ABC是一個()A等邊三角形B直角三角形C三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D三邊互不相等的三角形考點平面圖形的直觀圖題點由直觀圖還原平面圖形答案A解析由圖形,知在原ABC中,AOBC.AO,AO.BOCO1,BC2,ABAC2,ABC為等邊三角形故選A.3下列說法中正確的個數是()相等的角在直觀圖中對應的角仍然相等;相等的線段在直觀圖中對應的線段仍然相等;互相垂直的線段在直觀圖中對應的線段仍然垂直;線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點A1 B2 C3 D4考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖答案A解析如圖,由正方形的直觀圖是平行四邊形可知錯誤,易知正確,故選A.4下面每個選項的2個邊長為1的正ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖答案C解析可分別畫出各組圖形的直觀圖,觀察可得結論5已知一個建筑物上部為四棱錐,下部為長方體,且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣,長方體的長、寬、高分別為20 m,5 m,10 m,四棱錐的高為8 m如果按1500的比例畫出它的直觀圖,那么在直觀圖中,長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為()A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmD4 cm,0.5 cm,1cm,0.8 cm考點空間幾何體的直觀圖題點柱、錐、臺的直觀圖答案B解析由比例尺可知,長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再結合直觀圖,圖形的尺寸應為4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形,其中有一邊長為4,則此正方形的面積為()A16 B64C16或64 D無法確定考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面積為16或64.7如圖,用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形,則原來圖形的形狀是()考點平面圖形的直觀圖題點由直觀圖還原平面圖形答案A解析直觀圖中正方形的對角線長為,故在平面圖形中平行四邊形的高為2,只有A項滿足條件,故A正確8如圖所示,AOB表示水平放置的AOB的直觀圖,B在x軸上,AO與x軸垂直,且AO2,則AOB的邊OB上的高為()A2 B4C2 D4考點平面圖形的直觀圖題點由直觀圖還原平面圖形答案D解析設AOB的邊OB上的高為h,因為S原圖形2S直觀圖,所以OBh22OB.又OBOB,所以h4.二、填空題9在斜二測畫法中,位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應點是M,則點M的坐標為_考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖答案(4,2)解析由直觀圖畫法“橫不變,縱折半”可得點M的坐標為(4,2)10在如圖所示的直觀圖中,四邊形OABC為菱形且邊長為2 cm,則在坐標系xOy中原四邊形OABC為_(填形狀),面積為_ cm2.考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算答案矩形8解析由題意結合斜二測畫法,可得四邊形OABC為矩形,其中OA2 cm,OC4 cm,四邊形OABC的面積為S248(cm2)11如圖所示,四邊形OABC是上底為2,下底為6,底角為45的等腰梯形,用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖OABC,則直觀圖中梯形的高為_考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算答案解析作CD,BEOA于點D,E,則ODEA2,CDOD2,在直觀圖中梯形的高為2.12水平放置的ABC的斜二測直觀圖如圖所示,已知BC4,AC3,BCy軸,則ABC中AB邊上的中線的長度為_考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算答案解析由斜二測畫法規(guī)則知ACBC,即ABC為直角三角形,其中AC3,BC8,所以AB,AB邊上的中線長度為.三、解答題13如圖所示,在ABC中,AC12 cm,AC邊上的高BD12 cm,求其水平放置的直觀圖的面積考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算解方法一畫x軸,y軸,兩軸交于O,使xOy45,作ABC的直觀圖如圖所示,則ACAC12 cm,BDBD6 cm,故ABC的高為BD3 cm,所以SABC12318(cm2)即水平放置的直觀圖的面積為18 cm2.方法二ABC的面積為ACBD121272(cm2)由平面圖形的面積與直觀圖的面積間的關系,可得ABC水平放置的直觀圖的面積是7218(cm2)四、探究與拓展14如圖,ABCD是邊長為1的正方形,又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖,請畫出該四邊形的原圖形,并求出原圖形的面積考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算解由已知,ABCD是邊長為1的正方形,又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖,可得該四邊形的原圖形,如圖所示,這是一個底邊長為2,高為的平行四邊形,故原圖形的面積為2.15由下列幾何體的三視圖畫出直觀圖考點空間幾何體的直觀圖題點柱、錐、臺的直觀圖解由幾何體的三視圖,知這個幾何體是一個三棱柱(1)畫軸如圖,畫出x軸,y軸,z 軸,三軸相交于點O,使xOy45,xOz90.(2)畫底面作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖ABC.(3)畫側棱過A,B,C各點分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取線段AA,BB,CC.(4)成圖順次連接A,B,C,并擦去輔助線,將被遮住的部分改為虛線,得到的圖形就是幾何體的直觀圖- 配套講稿:
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