陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法(1)教案 北師大版選修2-2.doc
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4 數(shù)學(xué)歸納法(1)課標(biāo)要求使學(xué)生了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)三維目標(biāo)(1)知識(shí)與技能:理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含意和本質(zhì);掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論;會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。(2)過(guò)程與方法:初步掌握歸納與推理的方法;培養(yǎng)大膽猜想,小心求證的辯證思維素質(zhì)。(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀:培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感悟能力。學(xué)情分析數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的直接證明的方法,在證明一些與正整數(shù)n(n取無(wú)限多個(gè)值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí),數(shù)學(xué)歸納法往往是非常有用的研究工具,它通過(guò)有限個(gè)步驟的推理,證明n取無(wú)限多個(gè)正整數(shù)的情形。教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】:借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用),運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。【教學(xué)難點(diǎn)】: 如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性;遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)。提煉的課題如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性教學(xué)手段運(yùn)用教學(xué)資源選擇多媒體輔助課堂教學(xué)教 學(xué) 過(guò) 程環(huán)節(jié)學(xué)生要解決的問(wèn)題或任務(wù)教師教與學(xué)生學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、提出問(wèn)題二、數(shù)學(xué)歸納法原理問(wèn)題1:考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的方法,叫做不完全歸納法。不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確。舉2個(gè)小例子說(shuō)明不完全歸納法不一定正確。例如:小明的爸爸有3個(gè)兒子,老大說(shuō):“我叫1毛”,老二說(shuō):“我叫2毛”,老三說(shuō)?問(wèn)題2:請(qǐng)大家回憶,課本是如何得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的?問(wèn)題4:很多時(shí)候用完全歸納法證明結(jié)論是否正確是不合適的,我們借助不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)或猜想結(jié)論,那么如何解決不完全歸納法存在的問(wèn)題呢? (只有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明,不完全歸納得出的結(jié)論才是正確的。)1 由多米諾骨牌引入數(shù)學(xué)歸納法提出兩個(gè)問(wèn)題:若第一塊不倒,出現(xiàn)什么情況?若中間某塊倒下,不能使其下一塊倒下,出現(xiàn)什么情況?所以多米諾骨牌游戲能進(jìn)行下去要滿足兩個(gè)條件。 (1)第一塊骨牌倒下; (2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。2參照多米諾骨牌的原理,我們?cè)O(shè)想:在證明某些與正整數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí),先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (例如n0 =1或2)時(shí),命題成立(即骨牌的第一塊能倒),然后假設(shè)只要由n=k ( kN* ,k n0 )時(shí)命題成立,就能推出n=k+1時(shí)命題也成立(即只要某一塊倒下,就能使其下一塊也倒下),那么就證明這個(gè)命題成立(所有骨牌都能倒下)。我們稱這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。(嚴(yán)謹(jǐn),一而二,二而三,以至無(wú)窮)數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍、原理問(wèn)題3:對(duì)于數(shù)列an,已知(n=1,2,),求出,我們猜想其通項(xiàng)公式為。這個(gè)結(jié)論正確嗎?生:討論、交流。給出問(wèn)題3的數(shù)學(xué)歸納法的證明,將每一步驟標(biāo)號(hào)。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的證題思路和步驟。數(shù)列an中,已知(n=1,2,),則猜想其通項(xiàng)公式為。證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),猜想式成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,即, 那么當(dāng)n=k+1時(shí),根據(jù)已知及假設(shè),所以即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立。由(1)(2)可以斷定,等式對(duì)一切nN*都成立強(qiáng)調(diào):要用到歸納假設(shè);列出證明n=k+1成立時(shí)的目標(biāo)明確數(shù)學(xué)歸納法的“起動(dòng)步驟”和“遞推步驟”這“兩個(gè)步驟”以及“一個(gè)結(jié)論”。用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的具體步驟是:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一值n0 (例如n0=1,n0=2等)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kN* 且kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。在完成了這兩個(gè)步驟以后,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有的自然數(shù)n都正確。通過(guò)實(shí)際例子了解不完全歸納法與完全歸納法的概念復(fù)習(xí)回顧提出問(wèn)題,引發(fā)思考通過(guò)此例引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。詳細(xì)的板書推導(dǎo)利于學(xué)生總結(jié)歸納出數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟及更進(jìn)一步地理解原理培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力培養(yǎng)閱讀習(xí)慣強(qiáng)調(diào):(1)上面的證明第一步是遞推基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩者缺一不可。(2)第一步要證明,n=k+1時(shí)也要證明,且過(guò)程中一定要用到假設(shè)。閱讀課本:P16- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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