2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直課件 北師大版.ppt

第7節(jié)立體幾何中的向量方法 一 證明平行與垂直 最新考綱1 理解直線的方向向量及平面的法向量 2 能用向量語言表述線線 線面 面面的平行和垂直關(guān)系 3 能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理 知識梳理 非零向量 2 空間位置關(guān)系的向量表示 n1 n2 0 n m 0 n m 0 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1 用向量知識證明立體幾何問題 仍離不開立體幾何中的定理 若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行 仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外 2 用向量證明立體幾何問題 寫準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵 要充分利用中點(diǎn) 向量共線 向量相等來確定點(diǎn)的坐標(biāo) 1 思考辨析 在括號內(nèi)打 或 1 直線的方向向量是唯一確定的 2 若直線a的方向向量和平面 的法向量平行 則a 3 若兩平面的法向量平行 則兩平面平行 4 若直線a的方向向量與平面 的法向量垂直 則a 解析 1 直線的方向向量不是唯一的 有無數(shù)多個(gè) 2 a 3 兩平面平行或重合 4 a 或a 答案 1 2 3 4 診斷自測 2 教材練習(xí)改編 已知平面 的法向量分別為n1 2 3 5 n2 3 1 4 則 A B C 相交但不垂直D 以上均不對解析 n1 n2 且n1 n2 2 3 3 1 5 4 23 0 相交但不垂直 答案C 3 若直線l的方向向量為a 1 0 2 平面 的法向量為n 2 0 4 則 A l B l C l D l與 斜交解析 a 1 0 2 n 2 0 4 n 2a 即a n l 答案B 答案C 5 如圖所示 在正方體ABCD A1B1C1D1中 O是底面正方形ABCD的中心 M是D1D的中點(diǎn) N是A1B1的中點(diǎn) 則直線ON AM的位置關(guān)系是 答案垂直 證明法一如圖 取BD的中點(diǎn)O 以O(shè)為原點(diǎn) OD OP所在射線分別為y z軸的正半軸 建立空間直角坐標(biāo)系O xyz 法二在線段CD上取點(diǎn)F 使得DF 3FC 連接OF 同法一建立空間直角坐標(biāo)系 寫出點(diǎn)A B C的坐標(biāo) 設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為 x0 y0 0 規(guī)律方法1 恰當(dāng)建立坐標(biāo)系 準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo) 是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵 2 證明直線與平面平行 只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零 或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面 或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行 然后說明直線在平面外即可 這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算 訓(xùn)練1 已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1 E F G分別為AB AD AA1的中點(diǎn) 求證 平面EFG 平面B1CD1 證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz 則A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 D 0 0 0 A1 1 0 1 B1 1 1 1 D1 0 0 1 設(shè)n1 x1 y1 z1 為平面EFG的法向量 n2 x2 y2 z2 為平面B1CD1的一個(gè)法向量 令x1 1 可得y1 1 z1 1 同理可得x2 1 y2 1 z2 1 則n1 1 1 1 n2 1 1 1 由n1 n2 得平面EFG 平面B1CD1 考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題 例2 如圖所示 已知四棱錐P ABCD的底面是直角梯形 ABC BCD 90 AB BC PB PC 2CD 側(cè)面PBC 底面ABCD 證明 1 PA BD 2 平面PAD 平面PAB 證明 1 取BC的中點(diǎn)O 連接PO 平面PBC 底面ABCD BC為交線 PO 平面PBC PBC為等邊三角形 即PO BC PO 底面ABCD 以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn) 以BC所在直線為x軸 過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸 OP所在直線為z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 又 PA PB P PA PB 平面PAB DM 平面PAB DM 平面PAD 平面PAD 平面PAB 規(guī)律方法1 利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系 準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo) 從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算 其中靈活建系是解題的關(guān)鍵 2 用向量證明垂直的方法 1 線線垂直 證明兩直線所在的方向向量互相垂直 即證它們的數(shù)量積為零 2 線面垂直 證明直線的方向向量與平面的法向量共線 或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示 3 面面垂直 證明兩個(gè)平面的法向量垂直 或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?證明由題設(shè)易知OA OB OA1兩兩垂直 以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 所以A1C BD A1C BB1 又BD BB1 B BD BB1 平面BB1D1D 所以A1C 平面BB1D1D 1 證明因?yàn)槠矫鍼AD 平面ABCD AB AD 所以AB 平面PAD 所以AB PD 又因?yàn)镻A PD且AB PA A PA AB 平面PAB 所以PD 平面PAB 2 解取AD的中點(diǎn)O 連接PO CO 因?yàn)镻A PD 所以PO AD 又因?yàn)镻O 平面PAD 平面PAD 平面ABCD 所以PO 平面ABCD 因?yàn)镃O 平面ABCD 所以PO CO 因?yàn)锳C CD 所以CO AD 如圖 建立空間直角坐標(biāo)系O xyz 由題意得 A 0 1 0 B 1 1 0 C 2 0 0 D 0 1 0 P 0 0 1 命題角度2與垂直有關(guān)的探索性問題 例3 2 如圖 正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直 已知BC 4 AB AD 2 1 求證 AC BF 1 證明 平面ADEF 平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD AF AD AF 平面ADEF AF 平面ABCD 又AC 平面ABCD AF AC AB AF A AB AF 平面FAB AC 平面FAB BF 平面FAB AC BF 假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意 則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B E重合 訓(xùn)練3 如圖 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1C1C是邊長為4的正方形 平面ABC 平面AA1C1C AB 3 BC 5 1 求證 AA1 平面ABC 證明 1 因?yàn)锳A1C1C為正方形 所以AA1 AC 因?yàn)槠矫鍭BC 平面AA1C1C AA1 平面AA1C1C 且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC 所以AA1 平面ABC 2 由 1 知AA1 AB AA1 AC 由題知AB 3 BC 5 AC 4 所以AB AC 如圖 以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz 則B 0 3 0 A1 0 0 4 B1 0 3 4 C1 4 0 4 。