2017-2018學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例優(yōu)化練習 新人教A版選修4-5.doc
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二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例課時作業(yè)A組基礎鞏固1用數(shù)學歸納法證明11)時,第一步即證下述哪個不等式成立()A12B12C12 D11,第一步n2,左邊1,右邊2,即1成立時,起始值n0至少應取()A7 B8C9 D10解析:1,n16,n7,故n08.答案:B3用數(shù)學歸納法證明 “Sn1(nN)”時,S1等于()A. BC. D解析:因為S1的首項為,末項為,所以S1,故選D.答案:D4設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),有f(k)滿足:當“f(k)k2成立時,總可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立,則當k1時,均有f(k)k2成立B若f(5)25成立,則當k5時,均有f(k)k2成立C若f(7)49成立,則當k8時,均有f(k)42,因此對于任意的k4,均有f(k)k2成立答案:D5某個命題與正整數(shù)n有關,如果當nk(kN)時命題成立,那么可推得當nk1時,命題也成立現(xiàn)已知當n5時該命題不成立,那么可推得()A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立解析:與“如果當nk(kN)時命題成立,那么可推得當nk1時命題也成立”等價的命題為“如果當nk1時命題不成立,則當nk(kN)時,命題也不成立”故知當n5時,該命題不成立,可推得當n4時該命題不成立,故選C.答案:C6觀察下列式子:1,1,1,可歸納出一般性結論:_.解析:由題意得1(nN)答案:1(nN)7用數(shù)學歸納法證明cos cos 3cos(2n1)(kN,ak,nN),在驗證n1時,左邊計算所得的項是_答案:cos 8用數(shù)學歸納法證明:2n1n2n2(nN)時,第一步應驗證_答案:n1時,221212,即449證明不等式:12(nN)證明:(1)當n1時,左邊1,右邊2,不等式成立(2)假設當nk(k1)時,命題成立,即12(kN)當nk1時,左邊12,現(xiàn)在只需證明2,即證:22k1,兩邊平方,整理得01,顯然成立2成立即1,11,1,12,1,由此猜測第n(nN)個不等式為()A1B1C1D1解析:1,3,7,15,31,的通項公式為an2n1,不等式左邊應是1.,1,2,的通項公式為bn,不等式右邊應是.答案:C2用數(shù)學歸納法證明不等式“(n2,nN)”時的過程中,由nk到nk1時,不等式的左邊()A增加了一項B增加了兩項,C增加了兩項,又減少了一項D增加了一項,又減少了一項解析:當nk時,左邊.當nk1時,左邊.故由nk到nk1時,不等式的左邊增加了兩項,又減少了一項答案:C3用數(shù)學歸納法證明某不等式,其中證nk1時不等式成立的關鍵一步是:(),括號中應填的式子是_解析:由k2,聯(lián)系不等式的形式可知,應填k2.答案:k24設a,b均為正實數(shù),nN,已知M(ab)n,Nannan1b,則M,N的大小關系為_(提示:利用貝努利不等式,令x)解析:令x,M(ab)n,Nannan1b,(1x)n,1nx.a0,b0,x0.由貝努利不等式得(1x)n1nx.,MN答案:MN5對于一切正整數(shù)n,先猜出使tnn2成立的最小的正整數(shù)t,然后用數(shù)學歸納法證明,并再證明不等式:n(n1)lg(123n)證明:猜想當t3時,對一切正整數(shù)n使3nn2成立下面用數(shù)學歸納法進行證明當n1時,313112,命題成立假設nk(k1,kN)時,3kk2成立,則有3kk21.對nk1,3k133k3k23kk22(k21)3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0,3k1(k1)2,對nk1,命題成立由上知,當t3時,對一切nN,命題都成立再用數(shù)學歸納法證明:n(n1)lg(123n)當n1時,1(11)0lg 1,命題成立假設nk(k1,kN)時,k(k1)lg(123k)成立當nk1時,(k1)(k2)k(k1)2(k1)lg(123k)lg 3k1lg(123k)lg(k1)2lg123k(k1),命題成立由上可知,對一切正整數(shù)n,命題成立6已知等比數(shù)列an的首項a12,公比q3,Sn是它的前n項和求證:.證明:由已知,得Sn3n1,等價于,即3n2n1.(*)法一:用數(shù)學歸納法證明上面不等式成立當n1時,左邊3,右邊3,所以(*)成立假設當nk時,(*)成立,即3k2k1,那么當nk1時,3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1,所以當nk1時,(*)成立綜合,得3n2n1成立所以.法二:當n1時,左邊3,右邊3,所以(*)成立當n2時,3n(12)nCC2C22C2n12n12n,所以(*)成立所以.- 配套講稿:
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