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1、高等數(shù)學(xué)上冊講稿 第一章
第三節(jié) 函數(shù)的極限(三)
教學(xué)目的:(1)會用兩個重要極限求極限;
(2)了解無窮小階的概念;
(3)掌握常用等價無窮小,會用等價無窮小替換求極限.
教學(xué)重點(diǎn):兩個重要極限,無窮小比較的理解,等價無窮小
教學(xué)難點(diǎn):重要極限證明
教學(xué)方法:講練結(jié)合
教學(xué)時數(shù):2課時
一、兩個重要極限
1. ──
證明:①當(dāng)時,作一單位圓,如圖
設(shè)圓心角取弧度
因?yàn)椋实?
即.
2、
由,兩端同時除以,,或.
從而,, (*)
當(dāng)時,,由(*)式,得,即.
故,當(dāng)時,有.
由夾逼原理得 ,.
說明:①函數(shù)在無定義,但極限仍然存在,此極限屬于型的極限;
②當(dāng)時,.
例1.求
解:.
例2.求
解:.
例3.求
解:令
.
例4.求.
解:因?yàn)?,可設(shè),當(dāng)時,,
所以,=.
2.──
證明:先證.
當(dāng)時,設(shè)則有不等式 .
由于 ,
因此,由夾逼原理得 .
再證:.
令
綜上,.
說明:(1)公式的另一形式:利用代換,則當(dāng)時,.于是,又可寫成
(2)推廣:若則;
若則.
例5.求
解:
例6.求.
解
3、:
例7.求
解:
或:
練習(xí):求下列極限:
1. 2. 3. 4. 5.
二、無窮小的比較
觀察時,函數(shù)極限,,極限,易知,三個函數(shù)均為無窮?。?;;,反映了不同的無窮小趨向于零的“速度”有“快”、“慢”之分.
1.定義3.5 在同一極限過程中,設(shè),均為無窮小,則
(1)如果,稱是比高階的無窮小;記作;或稱是比低階的無窮小;
(2)如果,稱與為同階無窮??;記作;
特別當(dāng)時,即稱與為等價無窮小,記作;
(3)如果,稱是的階無窮小.若,則稱是當(dāng)時的k階無窮?。?
因,根據(jù)定義,與是時的等價無窮小,即;
又,與為同階無窮小,或是的二階無窮??;
由,,(
4、);
2.等價無窮小替換求極限
定理3.8 設(shè)在同一自變量的同一變化過程中,是無窮小,且,如果存在,那么.
證明:.
▲常見的等價無窮小:① 當(dāng)x→0時,
(以后證明)
.
②一般若,則有推廣的等價關(guān)系:
, , ......
例8.求.
解:令 ,則.當(dāng)時,,則
或 ,即:().
例9.求
解:當(dāng)時,
故.
說明:若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積,則可對其中任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小的代換,而不會改變原式的極限.
例10.求極限 .
解:利用等價代換公式,(),,
例11.
錯解:所以,
解:
注意:等價無窮小的代換只能對分子或分母中的無窮小進(jìn)行,而對于加、減中的每一項(xiàng)不能分別作代換.
例12.求.
解:
內(nèi)容小結(jié):
1. 兩個重要極限
2. 無窮小的比較
3. 等價無窮小替換求極限
求極,記此極限為,求函數(shù)的間斷點(diǎn),并指出其類型
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