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1、高等數(shù)學(xué)上冊講稿 第一章
第三節(jié) 函數(shù)的極限（三）
教學(xué)目的：（1）會用兩個重要極限求極限；
（2）了解無窮小階的概念；
（3）掌握常用等價無窮小，會用等價無窮小替換求極限．
教學(xué)重點(diǎn)：兩個重要極限，無窮小比較的理解，等價無窮小
教學(xué)難點(diǎn)：重要極限證明
教學(xué)方法：講練結(jié)合
教學(xué)時數(shù)：2課時
一、兩個重要極限
1. ──
證明：①當(dāng)時，作一單位圓，如圖
設(shè)圓心角取弧度
因?yàn)?，故?
即．
2、
由，兩端同時除以，，或．
從而，， （*）
當(dāng)時，,由（*）式，得，即.
故，當(dāng)時，有．
由夾逼原理得 ，．
說明：①函數(shù)在無定義，但極限仍然存在，此極限屬于型的極限；
②當(dāng)時，．
例1．求
解：．
例2．求
解：．
例3．求
解：令
．
例4．求．
解：因?yàn)?，可設(shè)，當(dāng)時，，
所以，=．
2．──
證明：先證．
當(dāng)時，設(shè)則有不等式 ．
由于 ，
因此，由夾逼原理得 ．
再證：．
令
綜上，.
說明：（1）公式的另一形式：利用代換,則當(dāng)時，.于是，又可寫成
（2）推廣：若則；
若則．
例5．求
解：
例6．求．
解
3、：
例7．求
解：
或：
練習(xí)：求下列極限：
1. 2. 3. 4. 5.
二、無窮小的比較
觀察時，函數(shù)極限，，極限，易知，三個函數(shù)均為無窮?。?；；，反映了不同的無窮小趨向于零的“速度”有“快”、“慢”之分．
1.定義3.5 在同一極限過程中，設(shè)，均為無窮小，則
（1）如果，稱是比高階的無窮??；記作；或稱是比低階的無窮??；
（2）如果，稱與為同階無窮小；記作；
特別當(dāng)時，即稱與為等價無窮小，記作；
（3）如果，稱是的階無窮小．若，則稱是當(dāng)時的k階無窮小．
因，根據(jù)定義，與是時的等價無窮小，即；
又，與為同階無窮小，或是的二階無窮小；
由，，（
4、）；
2.等價無窮小替換求極限
定理3.8 設(shè)在同一自變量的同一變化過程中，是無窮小，且，如果存在，那么．
證明：．
▲常見的等價無窮?。孩?當(dāng)x→0時，
（以后證明）
．
②一般若，則有推廣的等價關(guān)系：
, , ......
例8．求．
解：令 ，則．當(dāng)時，，則
或 ，即：（）．
例9．求
解：當(dāng)時，
故．
說明：若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小的代換，而不會改變原式的極限．
例10．求極限 ．
解：利用等價代換公式，（），，
例11．
錯解：所以，
解：
注意：等價無窮小的代換只能對分子或分母中的無窮小進(jìn)行，而對于加、減中的每一項(xiàng)不能分別作代換．
例12．求．
解：
內(nèi)容小結(jié):
1. 兩個重要極限
2. 無窮小的比較
3. 等價無窮小替換求極限
求極,記此極限為,求函數(shù)的間斷點(diǎn),并指出其類型
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