2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線(xiàn)、多邊形、圓 1 第二課時(shí) 平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理學(xué)案 北師大版選修4-1

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1、 第二課時(shí)　平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P5] 1．平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及推論 定理內(nèi)容 符號(hào)語(yǔ)言 平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理 三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例 如圖，若a∥b∥c，則＝ 推論 平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例 如圖，若a∥b∥c，則＝＝ 2．三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理 定理內(nèi)容 符號(hào)語(yǔ)言 三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理 三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)分對(duì)邊所得的兩條線(xiàn)段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例 如圖，AD為∠A的平分線(xiàn)，則＝ 1．平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的條件是什么？ 提示：

2、定理的條件應(yīng)給出一組平行線(xiàn)，至少三條，可以推廣到多條但要注意對(duì)應(yīng)成比例． 2．線(xiàn)段的比與比例線(xiàn)段有何異同？ 提示：線(xiàn)段的比是兩條線(xiàn)段而言的，而比例線(xiàn)段是對(duì)四條線(xiàn)段而言的．線(xiàn)段的比有順序性，a∶b與b∶a通常是不相等的．比例線(xiàn)段也有順序性，如線(xiàn)段a，b，c，d成比例，與線(xiàn)段a，c，b，d成比例不同． 3．三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理中能否寫(xiě)成AB·DC＝BD·AC? 提示：可以．但要注意其對(duì)應(yīng)成比例不變． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P5] 利用定理證明比例式 [例1]　如圖，AD為△ABC的中線(xiàn)，在AB上取點(diǎn)E，AC上取點(diǎn)F，使AE＝AF，求證：＝. [思路點(diǎn)撥]　本題主要考查利用平行線(xiàn)分線(xiàn)

3、段成比例定理證明比例式．解答此題時(shí)，可考慮過(guò)C作CM∥EF，補(bǔ)一個(gè)平行四邊形求解． [精解詳析]　如圖，過(guò)C作CM∥EF，交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N. ∵AE＝AF，∴AM＝AC. ∵AD為△ABC的中線(xiàn)， ∴BD＝CD. 延長(zhǎng)AD到G，使得DG＝AD，則四邊形ABGC為平行四邊形． ∴AB＝GC. ∵CM∥EF，∴＝＝，∴＝. 又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB， ∴＝＝.∴＝. 1．利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理證明比例式時(shí)，當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時(shí)，常把線(xiàn)段的比轉(zhuǎn)化為另兩條線(xiàn)段的比． 2．當(dāng)題中沒(méi)有平行線(xiàn)條件而必須轉(zhuǎn)移比例時(shí)，常添加輔助平行線(xiàn)，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移比

4、例的目的． 1．AD為△ABC的中線(xiàn)，過(guò)C作任一直線(xiàn)交線(xiàn)段AB及中線(xiàn)AD于F，E.求證：＝. 證明：作FK∥AD交BC于點(diǎn)K，則有＝. 又＝，＝， CD＝BD，兩式相乘， 得＝，即＝， ∴＝＝＝， ∴＝，又＝，∴＝. 利用定理證明乘積式 [例2]　如圖所示，已知直線(xiàn)FD和△ABC的BC邊交于D，與AC邊交于E，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F，且BD＝DC，求證：AE·FB＝EC·FA. [思路點(diǎn)撥]　本題只需證＝即可．由于與沒(méi)有直接關(guān)系，因此必須尋找過(guò)渡比將它們聯(lián)系起來(lái)．因此考慮添加平行線(xiàn)構(gòu)造過(guò)渡比． [精解詳析]　過(guò)A作AG∥BC，交DF于G點(diǎn)，如圖所示． ∵A

5、G∥BD，∴＝. 又∵BD＝DC，∴＝. ∵AG∥BD，∴＝. ∴＝，即AE·FB＝EC·FA. 證明乘積式時(shí)先轉(zhuǎn)化為比例式，再利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理證明，必要時(shí)添加輔助平行線(xiàn)． 2．如圖已知，點(diǎn)E是?ABCD邊CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)F.求證：OB2＝OE·OF. 證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形， 所以AB∥CD，AD∥BC. 由AB∥CE，得＝. 由AF∥BC，得＝. 所以＝(等量代換)． 即OB2＝OE·OF. 定理的應(yīng)用 [例3]　如圖所示，∠A＝∠E，＝，BD＝8，求BC的長(zhǎng)． [思路點(diǎn)撥]

6、　本題主要考查利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理求線(xiàn)段長(zhǎng)．解此題時(shí)，由于BC和BD是對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，因此只需得出AC∥DE即可． [精解詳析]　∵∠A＝∠E，∴AC∥DE， ∴＝，∴＝，∴BC＝4. 在列比例式求線(xiàn)段的長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)盡可能將需求的線(xiàn)段寫(xiě)成比例式的一項(xiàng)，以減少比例變形，減少錯(cuò)誤． 3.如圖，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF＝1.5，AB＝2.5，F(xiàn)B＝2，BD＝6，求CD的長(zhǎng)． 解：由EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，得EF∥AB∥CD. 過(guò)E作EH⊥CD于H，交AB于G， 則EH∥FD，則EF＝GB＝HD，EG＝FB，GH＝BD， AG＝AB－EF＝2.5－1

7、.5＝1， ＝＝＝， 所以CH＝4，所以CD＝CH＋HD＝4＋1.5＝5.5. 本課主要考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，難度較低，屬中低檔題． [考題印證] 如圖，設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，D點(diǎn)沿著平行于BC的方向移動(dòng)到AC邊上的E點(diǎn)，再由E點(diǎn)沿著平行于AB的方向移動(dòng)到BC邊上的F點(diǎn)；再由F點(diǎn)沿著平行于CA的方向移動(dòng)到AB邊上的G點(diǎn)……這樣每沿著平行于某邊的直線(xiàn)移動(dòng)到另一邊算作一次，那么最多n次，D點(diǎn)可回到原出發(fā)點(diǎn)，則n的值為 ． [命題立意] 本題主要考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的應(yīng)用． [自主嘗試]　當(dāng)D點(diǎn)是AB邊的中點(diǎn)時(shí)，只需3次； 當(dāng)D點(diǎn)是AB邊

8、上除中點(diǎn)外的任一點(diǎn)時(shí)，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得 ＝＝＝＝＝＝， ∴＝， 即＝， ∴BD＝BM，可知D點(diǎn)與M點(diǎn)重合， ∴n＝6. 答案：6 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P7] 一、選擇題 1．如圖，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝2∶1，那么下列等式成立的是(　　) A．AB＝A′B′　　　 B．AB∶AC＝2∶3 C．A′C′＝2BC D．CC′＝2AA′ 解析：選B　∵＝，∴＝. ∴＝.∴＝，即＝. 2．如圖，AD是△ABC的中線(xiàn)，E是CA邊的三等分點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，則AF∶FD為(　　) A．2∶1　　　　　　　 B．3∶1

9、C．4∶1 D．5∶1 解析：選C　過(guò)D作DG∥AC交BE于G， ∴DG＝EC，又AE＝2EC， ∴AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1. 3.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC 解析：選B　對(duì)于A，根據(jù)對(duì)頂角相等，此結(jié)論正確； 對(duì)于B，分析可得FA∶FB＝AE∶BC，所以此結(jié)論錯(cuò)誤； 對(duì)于C，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得，此結(jié)論正確； 對(duì)于D，由平行四邊形性

10、質(zhì)知，正確． 4．如圖，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD與CE相交于F，則＋的值為(　　) A． B．1 C． D．2 解析：選C　過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交EC于G， 則＝＝＝， 而＝，即＝.∴AE＝DG. ∴AF＝DF，EF＝FG＝CG. ∴＋＝＋＝＋1＝. 二、填空題 5．如圖，正方形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DP交AC于點(diǎn)M，交AB于中點(diǎn)N，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P.若MN＝1，PN＝3，則DM的長(zhǎng)為 ． 解析：∵AD∥BC，AN＝NB，∴＝＝1. ∵PN＝3，∴DN＝3. ∵M(jìn)N＝1，∴DM＝D

11、N－MN＝2. 答案：2 6．(廣東高考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則＝ . 解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF， 于是＝2＝2＝9. 答案：9 7．如圖，體育興趣小組選一名身高1.6 m的同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處，其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測(cè)得該同學(xué)的影長(zhǎng)為1.2 m，另一部分同學(xué)測(cè)得同一時(shí)刻旗桿影長(zhǎng)為9 m，那么旗桿的高度是 m. 解析：由題意得1.6∶1.2＝旗桿的高度∶9.所以旗桿的高度為12 m. 答案：12 8．如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，直線(xiàn)

12、AE交BC于F，則的值為 ． 解析：過(guò)點(diǎn)D作DM∥AF交BC于點(diǎn)M， ∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)， ∴在△BDM中，BF＝FM. ∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)， ∴在△CAF中，CM＝MF. ∴＝＝. 答案： 三、解答題 9.已知線(xiàn)段OA⊥OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，D為線(xiàn)段OA上一點(diǎn)．連接AC，BD交于點(diǎn)P.如圖，當(dāng)OA＝OB，且D為OA中點(diǎn)時(shí)，求的值． 解：過(guò)D作DE∥CO交AC于E， 因?yàn)镈為OA中點(diǎn)， 所以AE＝CE＝AC，＝， 因?yàn)辄c(diǎn)C為OB中點(diǎn)，所以BC＝CO，＝， 所以＝＝， 所以PC＝CE＝AC， 所以＝＝＝2. 10．如圖，AB⊥BD于B，CD⊥B

13、D于D，連接AD，BC交于點(diǎn)E，EF⊥BD于F，求證：＋＝. 證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD， ∴AB∥EF∥CD， ∴＝，＝， ∴＋＝＋＝＝＝1， ∴＋＝. 11．已知?ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是直線(xiàn)BD上任意一點(diǎn)(異于B，O，D三點(diǎn))，過(guò)P點(diǎn)作平行于AC的直線(xiàn)，交直線(xiàn)AD于E，交直線(xiàn)BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F. (1)若點(diǎn)P在線(xiàn)段BD上(如圖所示)，試說(shuō)明：AC＝PE＋PF. (2)若點(diǎn)P在BD或DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，試探究AC，PE，PF滿(mǎn)足的等量關(guān)系式(只寫(xiě)出結(jié)論，不作證明)． 解：(1)延長(zhǎng)FP交DC于點(diǎn)G， 因?yàn)锳B∥CD，AC∥FG， 所以四邊形AFGC是平行四邊形， 所以AC＝FG(平行四邊形的對(duì)邊相等)， 因?yàn)镋G∥AC， 所以＝＝(被平行線(xiàn)所截的線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例)； 又因?yàn)镺A＝OC，所以PE＝PG， 所以AC＝FG＝PF＋PG＝PE＋PF. (2)若點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線(xiàn)上，AC＝PF－PE.如圖所示． 若點(diǎn)P在DB延長(zhǎng)線(xiàn)上，AC＝PE－PF.如圖所示． 10