2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 疑難規(guī)律方法：第二章 解三角形學(xué)案 北師大版必修5

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1、 第二章 解三角形 1　正弦定理的幾種證明方法 正弦定理是解決斜三角形問題及其應(yīng)用問題(測量)的重要定理，而證明它們的方法很多，展開的思維空間很大，研究它們的證明，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，思維的深度、廣度和靈活度． 正弦定理的內(nèi)容： 在△ABC中，三邊和三角分別是a，b，c和A，B，C，則 ＝＝. 一、向量法 證明　在△ABC中作單位向量i⊥，則： i·＝i·(＋)， ?|i|||sin A＝|i|||sin C， ?＝， 同理可證：＝， 由此證得正弦定理：＝＝. 二、高線法 證明　在△ABC中作高線CD， 則在Rt△ADC和Rt△BDC中，

2、 CD＝bsin A， CD＝asin B， 即bsin A＝asin B， ∴＝， 同理可證：＝， 即正弦定理可證得． 三、外接圓法 證明　作△ABC的外接圓O，過點(diǎn)C連接圓心與圓交于點(diǎn)D，連接AD，設(shè)圓的半徑為R， ∴△CAD為Rt△，且b＝2Rsin D，且∠D＝∠B， ∴b＝2Rsin B， 即＝2R， 同理：＝2R，＝2R， ∴＝＝. 四、面積法 證明　 ∵S△ABC＝bcsin A ＝absin C＝acsin B， ∴＝＝. 2　正弦定理的一個(gè)推論及應(yīng)用 在初學(xué)正弦定理時(shí)，若問同學(xué)們這樣一個(gè)問題：在△ABC中，若sin

3、 A>sin B，則A與B的大小關(guān)系怎樣？那么幾乎所有的同學(xué)都會(huì)認(rèn)為A與B的大小關(guān)系不確定．若再問：在△ABC中，若A>B，則sin A與sin B的大小關(guān)系怎樣？仍然會(huì)有很多同學(xué)回答大小關(guān)系不確定．鑒于此，下面我們講講這個(gè)問題． 一、結(jié)論 例1　在△ABC中，sin A>sin B?A>B. 分析　題中條件簡單，不易入手．因?yàn)槭窃谌切沃?，所以可以?lián)系邊角關(guān)系的正弦定理． 證明　因?yàn)閟in A>sin B?2Rsin A>2Rsin B(其中R為△ABC外接圓的半徑)， 根據(jù)正弦定理變式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(其中a，b分別為A，B的對邊)，可得sin A>sin

4、B?a>b， 再由平面幾何定理“大角對大邊，小角對小邊”， 可得a>b?A>B.所以sin A>sin B?A>B. 二、結(jié)論的應(yīng)用 例2　在△ABC中，A＝45°，a＝4，b＝2，求B. 分析　在遇到這樣的問題時(shí)，有的同學(xué)會(huì)直接由正弦定理得B＝30°或B＝150°.其實(shí)這是錯(cuò)誤的！只需由上述結(jié)論即可發(fā)現(xiàn)． 解　由正弦定理得＝，sin B＝， 又sin B

5、，求A. 分析　同學(xué)們在求解這個(gè)問題的時(shí)候，在用正弦定理求角C時(shí)不要丟解． 解　由正弦定理及已知條件，得 sin C＝＝， 因?yàn)閟in C>sin B， 所以C>B，所以C有兩解． (1)當(dāng)C＝60°時(shí)，有A＝90°； (2)當(dāng)C＝120°時(shí)，有A＝30°. 點(diǎn)評　除此之外，本題也可以利用余弦定理來求解. 3　三角形定“形”記 根據(jù)邊角關(guān)系判斷三角形的形狀是一類熱點(diǎn)問題．解答此類問題，一般需先運(yùn)用正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化已知的邊角關(guān)系，再進(jìn)一步判斷三角形的形狀，這種轉(zhuǎn)化一般有兩種方法，即化角為邊或化邊為角．下面例析這兩種方法的應(yīng)用． 一、通過角之間的關(guān)系定“形”

6、 例1　在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 分析　通過三角形恒等變換和正弦、余弦定理，把條件式轉(zhuǎn)化，直至能確定兩角(邊)的關(guān)系為止，即可判斷三角形的形狀． 解析　方法一　利用正弦定理和余弦定理 2sin Acos B＝sin C可化為 2a·＝c， 即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b. 所以△ABC是等腰三角形．故選B. 方法二　因?yàn)樵凇鰽BC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)．

7、 由2sin Acos B＝sin C， 得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， 即sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0. 又因?yàn)椋校糀－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形，故選B. 答案　B 點(diǎn)評　根據(jù)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系判斷三角形的形狀，一般需通過三角恒等變換，求出角(邊)之間的關(guān)系． 二、通過邊之間的關(guān)系定“形” 例2　在△ABC中，若＝，則△ABC是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 分析　先運(yùn)用正弦定理化角

8、為邊，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可判斷三角形的形狀． 解析　在△ABC中，由正弦定理，可得 ＝＝，整理得a(a＋c)＝b(b＋c)， 即a2－b2＋ac－bc＝0，(a－b)(a＋b＋c)＝0. 因?yàn)閍＋b＋c≠0，所以a－b＝0，即a＝b， 所以△ABC是等腰三角形．故選C. 答案　C 點(diǎn)評　本題也可化邊為角，但書寫復(fù)雜，式子之間的關(guān)系也不易發(fā)現(xiàn). 4　細(xì)說三角形中解的個(gè)數(shù) 解三角形時(shí)，處理“已知兩邊及其一邊的對角，求第三邊和其他兩角”問題需判斷解的個(gè)數(shù)，這是一個(gè)比較棘手的問題．下面對這一問題進(jìn)行深入探討． 一、出現(xiàn)問題的根源 我們作圖來直觀地觀察一下．不妨設(shè)已知△AB

9、C的兩邊a，b和角A，作圖步驟如下：①先做出已知角A，把未知邊c畫為水平的，角A的另一條邊為已知邊b；②以b邊的不是A點(diǎn)的另外一個(gè)端點(diǎn)為圓心，邊a為半徑作圓C；③觀察圓C與邊c交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，便可得此三角形解的個(gè)數(shù)． 顯然，當(dāng)A為銳角時(shí)，有如圖所示的四種情況： 當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，有如圖所示的兩種情況： 根據(jù)上面的分析可知，由于a，b長度關(guān)系的不同，導(dǎo)致了問題有不同個(gè)數(shù)的解．若A為銳角，只有當(dāng)a不小于bsin A時(shí)才有解，隨著a的增大得到的解的個(gè)數(shù)也是不相同的．當(dāng)A為鈍角時(shí)，只有當(dāng)a大于b時(shí)才有解． 二、解決問題的策略 1．正弦定理法 已知△ABC的兩邊a，b和角A，求B.

10、 根據(jù)正弦定理＝，可得sin B＝. 若sin B>1，三角形無解；若sin B＝1，三角形有且只有一解；若0

11、b a>b a≤b a>bsin A a＝bsin A ab，所以A>B，故B＝30°， 符合條件的△ABC只有一個(gè)． 方法二　由余弦定理得 22＝c2＋()2－2××ccos 45°

12、， 即c2－2c－2＝0，解得c＝1±. 而1－<0，故僅有一解，符合條件的△ABC只有一個(gè)． 方法三　A為銳角，a>b，故符合條件的△ABC只有一個(gè)． 5　挖掘三角形中的隱含條件 解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．由于我們對解三角形公式比較熟悉，做題時(shí)比較容易入手．但是公式較多且性質(zhì)靈活，解題時(shí)稍有不慎，常會(huì)出現(xiàn)增解、錯(cuò)解現(xiàn)像，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠．下面結(jié)合例子談?wù)劷馊切螘r(shí)，題目中隱含條件的挖掘． 1．兩邊之和大于第三邊 例1　已知鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范圍． [錯(cuò)解]　∵c>b>a且△A

13、BC為鈍角三角形， ∴C為鈍角． 由余弦定理得cos C＝ ＝＝<0. ∴k2－4k－12<0，解得－20. 綜上所述，0k＋4.即k>2而不是k>0. [正解]　∵c>b>a，且△ABC為鈍角三角形， ∴C為鈍角． 由余弦定理得cos C＝＝<0. ∴k2－4k－12<0，解得－2k＋4， ∴k>2，綜上所述，k的取值范圍為2

14、通常不用都寫上，只需最小兩邊之和大于最大邊就行了. 2．三角形的內(nèi)角范圍 例2　在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，則△ABC的面積是________． [錯(cuò)解]　由正弦定理，得sin C＝＝. ∴C＝60°，∴A＝90°. 則S△ABC＝AB·AC·sin A＝×2×2×1＝2. [點(diǎn)撥]　上述解法中在用正弦定理求C時(shí)丟了一解．實(shí)際上由sin C＝可得C＝60°或C＝120°，它們都滿足條件． [正解]　由正弦定理，得sin C＝＝. ∴C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°， ∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝2. 當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝

15、30°， ∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝. 故△ABC的面積是2或. 溫馨點(diǎn)評　利用正弦定理理解“已知兩邊及其中一邊對角，求另一角”的問題時(shí)，由于三角形內(nèi)角的正弦值都為正，而這個(gè)內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，容易把握不準(zhǔn)確而出錯(cuò). 例3　在△ABC中，＝，試判斷三角形的形狀． [錯(cuò)解]?。?＝， ?＝?sin Acos A＝sin Bcos B， ?sin 2A＝sin 2B，∴A＝B.∴△ABC是等腰三角形． [點(diǎn)撥]　上述錯(cuò)解忽視了滿足sin 2A＝sin 2B的另一個(gè)角之間的關(guān)系：2A＋2B＝180°. [正解]?。?＝， ?＝?sin Acos A＝sin

16、Bcos B ?sin 2A＝sin 2B?2A＝2B或2A＋2B＝180°. ∴A＝B或A＋B＝90°. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 溫馨點(diǎn)評　在△ABC中，sin A＝sin B?A＝B是成立的，但sin 2A＝sin 2B?2A＝2B或2A＋2B＝180°. 例4　在△ABC中，B＝3A，求的取值范圍． [錯(cuò)解]　由正弦定理得＝＝ ＝＝ ＝cos 2A＋2cos2A＝4cos2A－1. ∵0≤cos2A≤1，∴－1≤4cos2A－1≤3， ∵>0，∴0<≤3. [點(diǎn)撥]　忽略了三角形內(nèi)角和為180°，及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致的取值范圍求錯(cuò)． [正解

17、]　由正弦定理得＝＝ ＝＝ ＝cos 2A＋2cos2A＝4cos2A－1. ∵A＋B＋C＝180°，B＝3A. ∴A＋B＝4A<180°，∴0°

18、D＝2，AC＝，∠BAD＝60°，求梯形的高． 分析　如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE為所求的高．由∠BAD＝60°，知∠ADC＝120°，又邊CD與AC的長已知，故△ACD為已知兩邊和其中一邊的對角，可解三角形．解Rt△ADE，需先求AD的長，這只需在△ACD中應(yīng)用余弦定理． 解　由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°， 在△ACD中，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC， 即19＝AD2＋4－2AD×2×， 解得AD＝3或AD＝－5(舍去)． 在△ADE中，DE＝AD·sin 60°＝. 點(diǎn)評　依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個(gè)妙

19、用，也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的體現(xiàn)． 二、求范圍 例2　如圖，等腰△ABC中，底邊BC＝1，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，求BD的取值范圍(注：0

20、值范圍是. 點(diǎn)評　本題考查：(1)三角知識、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法；(2)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想． 三、判斷三角形的形狀 例3　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若·＝·＝k，(k∈R)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)若c＝，求k的值． 解　(1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B， 又·＝·，∴bccos A＝accos B， ∴bcos A＝acos B. 方法一　∴sin Bcos A＝sin Acos B， 即sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π， ∴A＝

21、B. ∴△ABC為等腰三角形． 方法二　利用余弦定理將角化為邊． ∵bcos A＝acos B， ∴b·＝a·， ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，∴a2＝b2， ∴a＝b. ∴△ABC為等腰三角形． (2)由(1)知，a＝b. ∴·＝bccos A＝bc·＝＝k， ∵c＝，∴k＝1. 7　管窺高考 高考解答題一般先運(yùn)用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正弦、余弦定理以及面積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大?。? 例1　在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1)求BC

22、的長； (2)求sin 2C的值． 分析　本題主要考查余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力． 解　(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝. (2)由正弦定理知，＝， 所以sin C＝·sin A＝＝. 因?yàn)锳B＜BC，所以C為銳角， 則cos C＝＝＝. 因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝. 例2　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btan A，且B為鈍角． (1)證明：B－A＝； (2)求sin A＋sin C的取值范圍． 分析　(1

23、)利用正弦定理，將條件中的式子等價(jià)變形為sin B＝sin(＋A)，再結(jié)合條件從而得證；(2)利用(1)中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將sin A＋sin C轉(zhuǎn)化為只與A有關(guān)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解． (1)證明　由a＝btan A及正弦定理， 得＝＝， 所以sin B＝cos A，即sin B＝sin. 又B為鈍角，因此＋A∈，故B＝＋A， 即B－A＝. (2)解　由(1)知， C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0， 所以A∈. 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－22＋. 因?yàn)?

24、＜A＜，所以0＜sin A＜， 因此＜－22＋≤. 由此可知sin A＋sin C的取值范圍是. 考點(diǎn)定位　1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì)． 例3　在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝BD，求AD的長． 分析　根據(jù)題意，設(shè)出△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.由余弦定理求出a的長度，再由正弦定理求出角B的大小，在△ABD中，利用正弦定理即可求出AD的長度． 解　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝3. 又由正弦定理，得sin B＝＝＝， 由題設(shè)知0