2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 疑難規(guī)律方法：第二章 解三角形學(xué)案 北師大版必修5

第二章 解三角形1正弦定理的幾種證明方法正弦定理是解決斜三角形問題及其應(yīng)用問題(測量)的重要定理，而證明它們的方法很多，展開的思維空間很大，研究它們的證明，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，思維的深度、廣度和靈活度正弦定理的內(nèi)容：在ABC中，三邊和三角分別是a，b，c和A，B，C，則.一、向量法證明在ABC中作單位向量i，則：i·i·()，|i|sin A|i|sin C，同理可證：，由此證得正弦定理：.二、高線法證明在ABC中作高線CD，則在RtADC和RtBDC中，CDbsin A，CDasin B，即bsin Aasin B，同理可證：，即正弦定理可證得三、外接圓法證明作ABC的外接圓O，過點C連接圓心與圓交于點D，連接AD，設(shè)圓的半徑為R，CAD為Rt，且b2Rsin D，且DB，b2Rsin B，即2R，同理：2R，2R，.四、面積法證明SABCbcsin Aabsin Cacsin B，.2正弦定理的一個推論及應(yīng)用在初學(xué)正弦定理時，若問同學(xué)們這樣一個問題：在ABC中，若sin A>sin B，則A與B的大小關(guān)系怎樣？那么幾乎所有的同學(xué)都會認為A與B的大小關(guān)系不確定若再問：在ABC中，若A>B，則sin A與sin B的大小關(guān)系怎樣？仍然會有很多同學(xué)回答大小關(guān)系不確定鑒于此，下面我們講講這個問題一、結(jié)論例1在ABC中，sin A>sin BA>B.分析題中條件簡單，不易入手因為是在三角形中，所以可以聯(lián)系邊角關(guān)系的正弦定理證明因為sin A>sin B2Rsin A>2Rsin B(其中R為ABC外接圓的半徑)，根據(jù)正弦定理變式a2Rsin A，b2Rsin B(其中a，b分別為A，B的對邊)，可得sin A>sin Ba>b，再由平面幾何定理“大角對大邊，小角對小邊”，可得a>bA>B.所以sin A>sin BA>B.二、結(jié)論的應(yīng)用例2在ABC中，A45°，a4，b2，求B.分析在遇到這樣的問題時，有的同學(xué)會直接由正弦定理得B30°或B150°.其實這是錯誤的！只需由上述結(jié)論即可發(fā)現(xiàn)解由正弦定理得，sin B，又sin B<sin A，所以B<A，所以B30°.點評同學(xué)們在解題時，一定要根據(jù)問題的具體情況，恰當?shù)剡x用定理同時，使用正弦定理求角時，要特別細心，不要出現(xiàn)漏解或增解的情況例3在ABC中，已知B30°，b3，c3，求A.分析同學(xué)們在求解這個問題的時候，在用正弦定理求角C時不要丟解解由正弦定理及已知條件，得sin C，因為sin C>sin B，所以C>B，所以C有兩解(1)當C60°時，有A90°；(2)當C120°時，有A30°.點評除此之外，本題也可以利用余弦定理來求解.3三角形定“形”記根據(jù)邊角關(guān)系判斷三角形的形狀是一類熱點問題解答此類問題，一般需先運用正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化已知的邊角關(guān)系，再進一步判斷三角形的形狀，這種轉(zhuǎn)化一般有兩種方法，即化角為邊或化邊為角下面例析這兩種方法的應(yīng)用一、通過角之間的關(guān)系定“形”例1在ABC中，已知2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形分析通過三角形恒等變換和正弦、余弦定理，把條件式轉(zhuǎn)化，直至能確定兩角(邊)的關(guān)系為止，即可判斷三角形的形狀解析方法一利用正弦定理和余弦定理2sin Acos Bsin C可化為2a·c，即a2c2b2c2，即a2b20，即a2b2，故ab.所以ABC是等腰三角形故選B.方法二因為在ABC中，ABC，即C(AB)，所以sin Csin(AB)由2sin Acos Bsin C，得2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0.又因為AB，所以AB0，即AB.所以ABC是等腰三角形，故選B.答案B點評根據(jù)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系判斷三角形的形狀，一般需通過三角恒等變換，求出角(邊)之間的關(guān)系二、通過邊之間的關(guān)系定“形”例2在ABC中，若，則ABC是()A銳角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形分析先運用正弦定理化角為邊，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可判斷三角形的形狀解析在ABC中，由正弦定理，可得，整理得a(ac)b(bc)，即a2b2acbc0，(ab)(abc)0.因為abc0，所以ab0，即ab，所以ABC是等腰三角形故選C.答案C點評本題也可化邊為角，但書寫復(fù)雜，式子之間的關(guān)系也不易發(fā)現(xiàn).4細說三角形中解的個數(shù)解三角形時，處理“已知兩邊及其一邊的對角，求第三邊和其他兩角”問題需判斷解的個數(shù)，這是一個比較棘手的問題下面對這一問題進行深入探討一、出現(xiàn)問題的根源我們作圖來直觀地觀察一下不妨設(shè)已知ABC的兩邊a，b和角A，作圖步驟如下：先做出已知角A，把未知邊c畫為水平的，角A的另一條邊為已知邊b；以b邊的不是A點的另外一個端點為圓心，邊a為半徑作圓C；觀察圓C與邊c交點的個數(shù)，便可得此三角形解的個數(shù)顯然，當A為銳角時，有如圖所示的四種情況：當A為鈍角或直角時，有如圖所示的兩種情況：根據(jù)上面的分析可知，由于a，b長度關(guān)系的不同，導(dǎo)致了問題有不同個數(shù)的解若A為銳角，只有當a不小于bsin A時才有解，隨著a的增大得到的解的個數(shù)也是不相同的當A為鈍角時，只有當a大于b時才有解二、解決問題的策略1正弦定理法已知ABC的兩邊a，b和角A，求B.根據(jù)正弦定理，可得sin B.若sin B>1，三角形無解；若sin B1，三角形有且只有一解；若0<sin B<1，B有兩解，再根據(jù)a，b的大小關(guān)系確定A，B的大小關(guān)系(利用大邊對大角)，從而確定B的兩個解的取舍2余弦定理法已知ABC的兩邊a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，整理得c22bccos Aa2b20.適合上述一元二次方程的解c便為此三角形的解3公式法當已知ABC的兩邊a，b和角A時，通過前面的分析可總結(jié)三角形解的個數(shù)的判斷公式如下表：A<90°A90°aba<ba>baba>bsin Aabsin Aa<bsin A一解二解一解無解一解無解三、實例分析例在ABC中，已知A45°，a2，b(其中角A，B，C的對邊分別為a，b，c)，試判斷符合上述條件的ABC有多少個？分析此題為“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形的問題，可以利用上述方法來判斷ABC解的情況解方法一由正弦定理，可得sin Bsin 45°<1.又因為a>b，所以A>B，故B30°，符合條件的ABC只有一個方法二由余弦定理得22c2()22××ccos 45°，即c22c20，解得c1±.而1<0，故僅有一解，符合條件的ABC只有一個方法三A為銳角，a>b，故符合條件的ABC只有一個5挖掘三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個熱點由于我們對解三角形公式比較熟悉，做題時比較容易入手但是公式較多且性質(zhì)靈活，解題時稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯解現(xiàn)像，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)劷馊切螘r，題目中隱含條件的挖掘1兩邊之和大于第三邊例1已知鈍角三角形的三邊ak，bk2，ck4，求k的取值范圍錯解c>b>a且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理得cos C<0.k24k12<0，解得2<k<6.又k為三角形的邊長，k>0.綜上所述，0<k<6.點撥忽略了隱含條件：k，k2，k4構(gòu)成一個三角形，k(k2)>k4.即k>2而不是k>0.正解c>b>a，且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理得cos C<0.k24k12<0，解得2<k<6.由兩邊之和大于第三邊得k(k2)>k4，k>2，綜上所述，k的取值范圍為2<k<6.溫馨點評雖然是任意兩邊之和大于第三邊，但實際應(yīng)用時通常不用都寫上，只需最小兩邊之和大于最大邊就行了.2三角形的內(nèi)角范圍例2在ABC中，B30°，AB2，AC2，則ABC的面積是_錯解由正弦定理，得sin C.C60°，A90°.則SABCAB·AC·sin A×2×2×12.點撥上述解法中在用正弦定理求C時丟了一解實際上由sin C可得C60°或C120°，它們都滿足條件正解由正弦定理，得sin C.C60°或C120°.當C60°時，A90°，SABCAB·AC·sin A2.當C120°時，A30°，SABCAB·AC·sin A.故ABC的面積是2或.溫馨點評利用正弦定理理解“已知兩邊及其中一邊對角，求另一角”的問題時，由于三角形內(nèi)角的正弦值都為正，而這個內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，容易把握不準確而出錯.例3在ABC中，試判斷三角形的形狀錯解，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B，AB.ABC是等腰三角形點撥上述錯解忽視了滿足sin 2Asin 2B的另一個角之間的關(guān)系：2A2B180°.正解，sin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B或2A2B180°.AB或AB90°.ABC是等腰三角形或直角三角形溫馨點評在ABC中，sin Asin BAB是成立的，但sin 2Asin 2B2A2B或2A2B180°.例4在ABC中，B3A，求的取值范圍錯解由正弦定理得cos 2A2cos2A4cos2A1.0cos2A1，14cos2A13，>0，0<3.點撥忽略了三角形內(nèi)角和為180°，及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致的取值范圍求錯正解由正弦定理得cos 2A2cos2A4cos2A1.ABC180°，B3A.AB4A<180°，0°<A<45°.<cos A<1，1<4cos2 A1<3，1<<3.溫馨點評解三角形問題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問題，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗.6正弦、余弦定理的應(yīng)用有些題目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解決，但若能構(gòu)造適當?shù)娜切危湍芾脙啥ɡ?，題目顯得非常容易，本文剖析幾例一、平面幾何中的長度問題例1如圖，在梯形ABCD中，CD2，AC，BAD60°，求梯形的高分析如圖，過點D作DEAB于點E，則DE為所求的高由BAD60°，知ADC120°，又邊CD與AC的長已知，故ACD為已知兩邊和其中一邊的對角，可解三角形解RtADE，需先求AD的長，這只需在ACD中應(yīng)用余弦定理解由BAD60°，得ADC120°，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD22AD·CD·cosADC，即19AD242AD×2×，解得AD3或AD5(舍去)在ADE中，DEAD·sin 60°.點評依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個妙用，也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的體現(xiàn)二、求范圍例2如圖，等腰ABC中，底邊BC1，ABC的平分線BD交AC于點D，求BD的取值范圍(注：0<x<1時，f(x)x為增函數(shù))分析把BD的長表示為ABC的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域解設(shè)ABC.因為ABCC，所以A180°2，BDCAABD180°2180°，因為BC1，在BCD中，由正弦定理得BD，因為0°<<45°，所以<cos <1，而當cos 增大時，BD減小，且當cos 時，BD；當cos 1時，BD，故BD的取值范圍是.點評本題考查：(1)三角知識、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法；(2)數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想三、判斷三角形的形狀例3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若··k，(kR)(1)判斷ABC的形狀；(2)若c，求k的值解(1)·cbcos A，·cacos B，又··，bccos Aaccos B，bcos Aacos B.方法一sin Bcos Asin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，AB，AB.ABC為等腰三角形方法二利用余弦定理將角化為邊bcos Aacos B，b·a·，b2c2a2a2c2b2，a2b2，ab.ABC為等腰三角形(2)由(1)知，ab.·bccos Abc·k，c，k1.7管窺高考高考解答題一般先運用三角恒等變形，將表達式轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)的形式求解，對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正弦、余弦定理以及面積公式實現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小例1在ABC中，已知AB2，AC3，A60°.(1)求BC的長；(2)求sin 2C的值分析本題主要考查余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角關(guān)系，考查運算求解能力解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos A492×2×3×7，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin C·sin A.因為ABBC，所以C為銳角，則cos C.因此sin 2C2sin C·cos C2××.例2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，abtan A，且B為鈍角(1)證明：BA；(2)求sin Asin C的取值范圍分析(1)利用正弦定理，將條件中的式子等價變形為sin Bsin(A)，再結(jié)合條件從而得證；(2)利用(1)中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將sin Asin C轉(zhuǎn)化為只與A有關(guān)的表達式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解(1)證明由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sin Bsin.又B為鈍角，因此A，故BA，即BA.(2)解由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A122.因為0A，所以0sin A，因此22.由此可知sin Asin C的取值范圍是.考點定位1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì)例3在ABC中，A，AB6，AC3，點D在BC邊上，ADBD，求AD的長分析根據(jù)題意，設(shè)出ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.由余弦定理求出a的長度，再由正弦定理求出角B的大小，在ABD中，利用正弦定理即可求出AD的長度解設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3)2622×3×6×cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理，得sin B，由題設(shè)知0<B<，所以cos B.在ABD中，由正弦定理，得AD.14