2018-2019學年高中數(shù)學 一 導數(shù)及其應用學案 新人教A版選修2-2

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1、一導數(shù)及其應用1.導數(shù)的運算及幾何意義（1）函數(shù)f（x）在xx0處的導數(shù)f（x0） ，f（x） .（2）導數(shù)的幾何意義：曲線yf（x）在點（x0，f（x0）處的切線斜率等于f（x0），其切線方程為yf（x0）f（x0）（xx0）.（3）函數(shù)的求導公式：（C）0，（xn）nxn1，（sin x）cos x，（cos x）sin x，（ax）axln a，（ex）ex，（logax），（ln x）.（4）導數(shù)的四則運算法則：f（x）g（x）f（x）g（x），f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x），（g（x）0）.2.函數(shù)的單調性、極值與導數(shù)（1）函數(shù)的單調性與導數(shù)在某個區(qū)間（a，b）內，

2、如果f（x）0，那么函數(shù)yf（x）在這個區(qū)間內單調遞增，如果f（x）0，那么函數(shù)yf（x）在這個區(qū)間內單調遞減.（2）函數(shù)的極值與導數(shù)極大值：在點xa附近，滿足f（a）f（x），當x0，當xa時，f（x）0，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f（a）叫做函數(shù)的極大值；極小值：在點xa附近，滿足f（a）f（x），當xa時，f（x）a時，f（x）0，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f（a）叫做函數(shù)的極小值.3.定積分（1）微積分基本定理一般地，如果f（x）是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F（x）f（x），那么f（x）dxF（b）F（a）.（2）定積分的性質kf（x）dxkf（x）dx（k為常數(shù)）；f1（x）f2（

3、x）dxf1（x）dxf2（x）dx；f（x）dxf（x）dxf（x）dx （其中ac0（f（x）0），當x（0，1）時，f（x）0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增；當x（1，）時，f（x）0），因為函數(shù)f（x）在區(qū)間1，2上為單調函數(shù)，所以在區(qū)間1，2上，f（x）0或f（x）0恒成立，即4x0或4x0在x1，2時恒成立，即4x或4x（1x2），即或，其中1x2.令h（x）4x（1x2），易知函數(shù)h（x）在1，2上單調遞增，故h（1）h（x）h（2）.所以h（2）或h（1），即42或413，解得a0或0a或a1.故a的取值范圍為（，0）1，）.函數(shù)的單調性與導數(shù)的關注點（1）關注函數(shù)

4、的定義域，單調區(qū)間應為定義域的子區(qū)間.（2）已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性時轉化要等價.（3）分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間實質是討論不等式的解集.（4）求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法. 1.若函數(shù)f（x）x2ax在區(qū)間上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.1，0 B.1，）C.0，3 D.3，）解析：選D.f（x）2xa.因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以f（x）0在區(qū)間上恒成立，即a2x在區(qū)間上恒成立.設g（x）2x，則g（x）2.令g（x）20，得x1.當x時，g（x）0，故g（x）0，得x2，由f（x）0，得1x0），g（x）x3bx.（1）若曲線yf（x）與曲線yg（x）在它們的交點（1，c）處具

5、有公共切線，求a，b的值；（2）當a3，b9時，若函數(shù)f（x）g（x）在區(qū)間k，2上的最大值為28，求k的取值范圍.解：（1）因為f（x）ax21，所以f（x）2ax，所以f（1）2a.又f（1）ca1，所以f（x）在點（1，c）處的切線方程為yc2a（x1），即y2axa10.因為g（x）x3bx，所以g（x）3x2b，所以g（1）3b.又g（1）1bc，所以g（x）在點（1，c）處的切線方程為y（1b）（3b）（x1），即y（3b）x20.依題意知3b2a，且a11b，即a3，b3.（2）記h（x）f（x）g（x）.當a3，b9時，h（x）x33x29x1，h（x）3x26x9.令h（x）

6、0，得x13，x21.h（x）與h（x）在（，2上的變化情況如下：x（，3）3（3，1）1（1，2）2h（x）00h（x）2843由此可知：當k3時，函數(shù)h（x）在區(qū)間k，2上的最大值為h（3）28；當3k0，得x2，所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，2），（2，）.（2）f（4），f（2），f（2），f（3）1，則當x4，3時，f（x）的最大值為，故要使f（x）m2m對x4，3恒成立，只要m2m，解得m2或m3.所以實數(shù)m的取值范圍是（，32，）.一些求參數(shù)取值范圍的問題，常轉化為恒成立問題，利用f（x）a恒成立f（x）maxa恒成立f（x）mina的思想解題.存在或有解問題，如f（x）f（x）

7、min和f（x）a有解af（x）max成立. 設函數(shù)f（x）2axln x，若f（x）在x1，x處取得極值.（1）求a，b的值；（2）在上存在x0使得不等式f（x0）c0成立，求c的取值范圍.解：（1）因為f（x）2axln x，所以f（x）2a.因為f（x）在x1，x處取得極值，所以f（1）0，f0.即解得所以所求a，b的值分別為，.（2）在上存在x0使得不等式f（x0）c0成立，只需cf（x）min，由f（x）.所以當x時，f（x）0，f（x）是增函數(shù)；所以f是f（x）在上的最小值.而flnln 2，所以cln 2.所以c的取值范圍為.主題5定積分及其應用（1）e|x|dx的值等于（）A.

8、e2e2 B.2e2C.2e22 D.e2e22（2）由曲線xy1，直線yx，x3所圍成的封閉圖形的面積為（）A.ln 3 B.4ln 3C. D.【解析】（1）e|x|dx2exdx2ex|2e22.（2）由曲線xy1，直線yx，解得x1.由xy1，x3可得交點坐標為.由曲線xy1，直線yx，x3所圍成的封閉圖形的面積Sdx|4ln 3.【答案】（1）C（2）B由定積分求曲邊梯形面積的方法步驟（1）畫出函數(shù)的圖象，明確平面圖形的形狀.（2）通過解方程組，求出曲線交點的坐標.（3）確定積分區(qū)間與被積函數(shù)，轉化為定積分計算.（4）對于復雜的平面圖形，常常通過“割補法”來求各部分的面積之和. 1.

9、|x21|dx（）A. B.4C. D.解析：選A.|x21|dx（1x2）dx1.2.直線y4x與曲線yx3在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為（）A.2 B.4C.2 D.4解析：選D.直線y4x與曲線yx3在第一象限所圍成的封閉圖形如圖所示.由4xx3解得x0或x2（x2舍去）.故S（4xx3）dx844. A基礎達標 1.若曲線f（x）x42x在點P處的切線垂直于直線x2y10，則點P的坐標為（）A.（1，1） B.（1，1）C.（1，1） D.（1，1）解析：選B.因為f（x）4x32，設P（x0，y0），由題意得f（x0）4x22，所以x01，y01.故P點坐標為（1，1）.2.（2

10、017高考浙江卷）函數(shù)yf（x）的導函數(shù)yf（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)yf（x）的圖象可能是（）解析：選D.原函數(shù)先減再增，再減再增，且x0位于增區(qū)間內，故選D.3.對任意的xR，函數(shù)f（x）x3ax27ax不存在極值點的充要條件是（）A.0a21 B.a0或a7C.a0或a21 D.a0或a21解析：選A.f（x）3x22ax7a，當4a284a0，即0a21時，f（x）0恒成立，函數(shù)f（x）不存在極值點.4.若函數(shù)f（x）kxln x在區(qū)間（1，）上單調遞增，則k的取值范圍是（）A.（，2 B.（，1C.2，） D.1，）解析：選D.由于f（x）k，f（x）kxln x在區(qū)間（1，）上單

11、調遞增f（x）k0在（1，）上恒成立.由于k，而00，則必有（）A.f（0）f（2）2f（1）B.f（0）f（2）1時，f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，）上是增函數(shù)；當x1時，f（x）f（1），f（2）f（1），得f（0）f（2）2f（1）.6.已知函數(shù)f（x）ln（ax1），x0，其中a0，若f（1）0，則a的值是.解析：f（x）ln（ax1），所以f（1）0.所以a1.答案：17.已知直線ykx是曲線yln x的切線，則k的值為.解析：設切點為（x0，y0），因為y（ln x），所以k，即x0，y0kx01，所以1ln ，所以k.答案：8.如圖所示的是一個做直線運動的質點的vt圖象，則質點

12、在前6 s內的位移為米.解析：v（t）所以所求位移sv（t）dttdtdtt2639（m）.答案：99.已知函數(shù)f（x），且f（x）的圖象在x1處與直線y2相切.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若P（x0，y0）為f（x）圖象上的任意一點，直線l與f（x）的圖象相切于P點，求直線l的斜率k的取值范圍.解：（1）對函數(shù)f（x）求導，得f（x）.因為f（x）的圖象在x1處與直線y2相切.所以即所以a4，b1，所以f（x）.（2）因為f（x），所以直線l的斜率kf（x0）4，令t，t（0，1，則k4（2t2t）8，所以k.10.設函數(shù)f（x）ln xln（2x）ax（a0）.（1）當a1時，求f

13、（x）的單調區(qū)間；（2）若f（x）在（0，1上的最大值為，求a的值.解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，2），f（x）a.（1）當a1時，f（x），所以當x（0，）時，f（x）0，當x（，2）時，f（x）0，即f（x）在（0，1上單調遞增.故f（x）在（0，1上的最大值為f（1）a，因此a.B能力提升11.若f（x）x22f（x）dx，則f（x）dx（）A.1 B.C. D.1解析：選B.因為f（x）x22f（x）dx，所以f（x）dx|2f（x）dx，所以f（x）dx.12.定義在上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f（x），若恒有f（x）f B.ff D.f0，cos x0.由f（x）0.不妨設g（x

14、），則g（x）0，所以函數(shù)g（x）在上單調遞增，所以gg，即，即ff，故選D.13.已知函數(shù)f（x）x2mln x，h（x）x2xa.（1）當a0時，f（x）h（x）在（1，）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當m2時，若函數(shù)k（x）f（x）h（x）在區(qū)間1，3上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）由f（x）h（x）在（1，）上恒成立，得m在（1，）上恒成立，令g（x），則g（x），故g（e）0.易得，當x（1，e）時，g（x）0.故g（x）在（1，e）上單調遞減，在（e，）上單調遞增.所以當xe時，g（x）取得最小值，為g（e）e，所以me.故實數(shù)m的取值范圍為（，e.（2）

15、由已知，可得k（x）x2ln xa，函數(shù)k（x）在1，3上恰有兩個不同的零點，等價于曲線（x）x2ln x，x1，3與直線ya有兩個不同的交點.易得（x）1，故（2）0，所以當x1，2）時，（x）0，所以（x）在（2，3上單調遞增.又（1）1，（3）32ln 3，（2）22ln 2，且（1）（3）（2）0，所以22ln 2a32ln 3，所以實數(shù)a的取值范圍為（22ln 2，32ln 3.14.（選做題）設函數(shù)f（x）xeaxbx，曲線yf（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y（e1）x4.（1）求a，b的值；（2）求f（x）的單調區(qū)間.解：（1）因為f（x）xeaxbx，所以f（x）（1x）eaxb.依題設，即解得a2，be.（2）由（1）知f（x）xe2xex.由f（x）e2x（1xex1）及e2x0知，f（x）與1xex1同號.令g（x）1xex1，則g（x）1ex1.所以當x（，1）時，g（x）0，g（x）在區(qū)間（，1）上單調遞減；當x（1，）時，g（x）0，g（x）在區(qū)間（1，）上單調遞增.故g（1）1是g（x）在區(qū)間（，）上的最小值，從而g（x）0，x（，）.綜上可知，f（x）0，x（，）.故f（x）的單調遞增區(qū)間為（，）.15