2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 一 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2

一導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義（1）函數(shù)f（x）在xx0處的導(dǎo)數(shù)f（x0） ，f（x） .（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線yf（x）在點(diǎn)（x0，f（x0）處的切線斜率等于f（x0），其切線方程為yf（x0）f（x0）（xx0）.（3）函數(shù)的求導(dǎo)公式：（C）0，（xn）nxn1，（sin x）cos x，（cos x）sin x，（ax）axln a，（ex）ex，（logax），（ln x）.（4）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：f（x）±g（x）f（x）±g（x），f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x），（g（x）0）.2.函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f（x）>0，那么函數(shù)yf（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，如果f（x）<0，那么函數(shù)yf（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.（2）函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極大值：在點(diǎn)xa附近，滿足f（a）f（x），當(dāng)x<a時(shí)，f（x）>0，當(dāng)x>a時(shí)，f（x）<0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f（a）叫做函數(shù)的極大值；極小值：在點(diǎn)xa附近，滿足f（a）f（x），當(dāng)x<a時(shí)，f（x）<0，當(dāng)x>a時(shí)，f（x）>0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f（a）叫做函數(shù)的極小值.3.定積分（1）微積分基本定理一般地，如果f（x）是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F（x）f（x），那么f（x）dxF（b）F（a）.（2）定積分的性質(zhì)kf（x）dxkf（x）dx（k為常數(shù)）；f1（x）±f2（x）dxf1（x）dx±f2（x）dx；f（x）dxf（x）dxf（x）dx （其中a<c<b）.1.注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線.曲線yf（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0）處的切線方程是yf（x0）f（x0）（xx0）；求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解.2.（1）在函數(shù)定義域內(nèi)的某區(qū)間（a，b）上f（x）>0（f（x）<0）是f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）的充分條件.（2）如果一個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同的區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用“”連結(jié)，只能用逗號(hào)或“和”字隔開(kāi)，如把增區(qū)間寫(xiě)為（，2）（1，）是不正確的，因?yàn)椋ǎ?）（1，）不是一個(gè)全區(qū)間，該函數(shù)在（，2）（1，）上不一定是單調(diào)遞增的.3.極值與最值的區(qū)別（1）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的.（2）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能一個(gè)都沒(méi)有，且極大值并不一定比極小值大.（3）極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得；有極值未必有最值，有最值未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值.主題1導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義（1）設(shè)曲線yaxln（x1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y2x，則a（）A.0B.1C.2 D.3（2）求垂直于直線2x6y10并且與曲線yx33x25相切的直線方程.【解】（1）選D.ya，當(dāng)x0時(shí)，ya12，所以a3.（2）設(shè)切點(diǎn)為P（a，b），函數(shù)yx33x25的導(dǎo)數(shù)為y3x26x，切線的斜率ky|xa3a26a3，得a1，將（1，b）代入到曲線方程中，得b3，即P（1，3），所以切線方程為y33（x1），即3xy60. 若將本例（2）中的“2x6y10”改為“x9y10”，結(jié)論如何？解：直線x9y10的斜率為，因?yàn)閥3x26x，由題意得3x26x9，即x22x30，解得x1或x3，當(dāng)x1時(shí)，切線方程為y19（x1），即9xy100，當(dāng)x3時(shí)，切線方程為y59（x3），即9xy220.綜上得，切線方程為9xy100或9xy220.利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時(shí)關(guān)鍵是找到切點(diǎn)，若切點(diǎn)未知需設(shè)出.常見(jiàn)的類型有兩種，一類是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，則此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，易求斜率進(jìn)而寫(xiě)出直線方程即可得；另一類是求“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q（x1，y1），由f（x1）和y1f（x1）求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型求解. 1.曲線y在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為（）A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x2解析：選A.因?yàn)閥，所以ky|x12，所以切線方程為：y12（x1），即y2x1.2.已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）ex1x，則曲線yf（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是.解析：當(dāng)x0時(shí)，x0，則f（x）ex1x.又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）f（x）x，所以當(dāng)x0時(shí)，f（x）ex11，則曲線yf（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線的斜率為f（1）2，所以切線方程為y22（x1），即y2x.答案：y2x主題2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)f（x）2x2ln x，其中a為常數(shù)且a0.（1）若a1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間1，2上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.【解】（1）當(dāng)a1時(shí)，f（x）3x2x2ln x，其定義域?yàn)椋?，），則f（x）4x3（x>0），當(dāng)x（0，1）時(shí)，f（x）>0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增；當(dāng)x（1，）時(shí)，f（x）<0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞減.所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，）.（2）由題易得f（x）4x（x>0），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間1，2上為單調(diào)函數(shù)，所以在區(qū)間1，2上，f（x）0或f（x）0恒成立，即4x0或4x0在x1，2時(shí)恒成立，即4x或4x（1x2），即或，其中1x2.令h（x）4x（1x2），易知函數(shù)h（x）在1，2上單調(diào)遞增，故h（1）h（x）h（2）.所以h（2）或h（1），即4×2或4×13，解得a<0或0<a或a1.故a的取值范圍為（，0）1，）.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)注點(diǎn)（1）關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間.（2）已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià).（3）分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集.（4）求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法. 1.若函數(shù)f（x）x2ax在區(qū)間上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.1，0 B.1，）C.0，3 D.3，）解析：選D.f（x）2xa.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以f（x）0在區(qū)間上恒成立，即a2x在區(qū)間上恒成立.設(shè)g（x）2x，則g（x）2.令g（x）20，得x1.當(dāng)x時(shí)，g（x）<0，故g（x）<g413，所以a3.2.已知函數(shù)yx3x2ax5，若該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（3，1），則a的值是.解析：yx22xa.因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（3，1），所以3，1是方程x22xa0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.由根與系數(shù)的關(guān)系可知，（3）×1a，即a3.答案：3主題3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值已知函數(shù)f（x）ln xa（1x）.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍.【解】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，），f（x）a.若a0，則f（x）0，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增.若a0，則當(dāng)x時(shí)，f（x）0；當(dāng)x時(shí)，f（x）0.所以f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)a0時(shí)，f（x）在（0，）上無(wú)最大值；當(dāng)a0時(shí)，f（x）在x處取得最大值，最大值為flnaln aa1.因此f2a2等價(jià)于ln aa10.令g（a）ln aa1，則g（a）在（0，）上單調(diào)遞增，g（1）0.于是，當(dāng)0a1時(shí)，g（a）0；當(dāng)a1時(shí)，g（a）0.因此，a的取值范圍是（0，1）.對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)，在討論其單調(diào)性以及求其極值與最值時(shí)，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在做題時(shí)，應(yīng)確保分類要全面，從而作出正確解答. 1.若函數(shù)f（x）2x39x212xa恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的值可能為（）A.4 B.6C.7 D.8解析：選A.f（x）6x218x126（x1）（x2）.由f（x）>0，得x<1或x>2，由f（x）<0，得1<x<2，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1），（2，）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，從而可知f（x）的極大值和極小值分別為f（1），f（2）.若函數(shù)f（x）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則f（1）0或f（2）0，解得a5或a4.2.已知函數(shù)f（x）ax21（a>0），g（x）x3bx.（1）若曲線yf（x）與曲線yg（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a，b的值；（2）當(dāng)a3，b9時(shí)，若函數(shù)f（x）g（x）在區(qū)間k，2上的最大值為28，求k的取值范圍.解：（1）因?yàn)閒（x）ax21，所以f（x）2ax，所以f（1）2a.又f（1）ca1，所以f（x）在點(diǎn)（1，c）處的切線方程為yc2a（x1），即y2axa10.因?yàn)間（x）x3bx，所以g（x）3x2b，所以g（1）3b.又g（1）1bc，所以g（x）在點(diǎn)（1，c）處的切線方程為y（1b）（3b）（x1），即y（3b）x20.依題意知3b2a，且a11b，即a3，b3.（2）記h（x）f（x）g（x）.當(dāng)a3，b9時(shí)，h（x）x33x29x1，h（x）3x26x9.令h（x）0，得x13，x21.h（x）與h（x）在（，2上的變化情況如下：x（，3）3（3，1）1（1，2）2h（x）00h（x）2843由此可知：當(dāng)k3時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間k，2上的最大值為h（3）28；當(dāng)3<k<2時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間k，2上的最大值小于28.因此，k的取值范圍是（，3.主題4利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題已知函數(shù)f（x）x3axb（a，bR）在x2處取得極小值.（1）求函數(shù)f（x）的增區(qū)間；（2）若f（x）m2m對(duì)x4，3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】（1）由已知得f（2），f（2）0，又f（x）x2a，所以2ab，4a0，解得a4，b4，則f（x）x34x4.令f（x）x24>0，得x<2或x>2，所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（，2），（2，）.（2）f（4），f（2），f（2），f（3）1，則當(dāng)x4，3時(shí)，f（x）的最大值為，故要使f（x）m2m對(duì)x4，3恒成立，只要m2m，解得m2或m3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（，32，）.一些求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，利用f（x）<a恒成立f（x）max<a和f（x）>a恒成立f（x）min>a的思想解題.存在或有解問(wèn)題，如f（x）<a有解a>f（x）min和f（x）>a有解a<f（x）max成立. 設(shè)函數(shù)f（x）2axln x，若f（x）在x1，x處取得極值.（1）求a，b的值；（2）在上存在x0使得不等式f（x0）c0成立，求c的取值范圍.解：（1）因?yàn)閒（x）2axln x，所以f（x）2a.因?yàn)閒（x）在x1，x處取得極值，所以f（1）0，f0.即解得所以所求a，b的值分別為，.（2）在上存在x0使得不等式f（x0）c0成立，只需cf（x）min，由f（x）.所以當(dāng)x時(shí)，f（x）<0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f（x）>0，f（x）是增函數(shù)；所以f是f（x）在上的最小值.而flnln 2，所以cln 2.所以c的取值范圍為.主題5定積分及其應(yīng)用（1）e|x|dx的值等于（）A.e2e2 B.2e2C.2e22 D.e2e22（2）由曲線xy1，直線yx，x3所圍成的封閉圖形的面積為（）A.ln 3 B.4ln 3C. D.【解析】（1）e|x|dx2exdx2ex|2e22.（2）由曲線xy1，直線yx，解得x±1.由xy1，x3可得交點(diǎn)坐標(biāo)為.由曲線xy1，直線yx，x3所圍成的封閉圖形的面積Sdx|4ln 3.【答案】（1）C（2）B由定積分求曲邊梯形面積的方法步驟（1）畫(huà)出函數(shù)的圖象，明確平面圖形的形狀.（2）通過(guò)解方程組，求出曲線交點(diǎn)的坐標(biāo).（3）確定積分區(qū)間與被積函數(shù)，轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算.（4）對(duì)于復(fù)雜的平面圖形，常常通過(guò)“割補(bǔ)法”來(lái)求各部分的面積之和. 1.|x21|dx（）A. B.4C. D.解析：選A.|x21|dx（1x2）dx1.2.直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（）A.2 B.4C.2 D.4解析：選D.直線y4x與曲線yx3在第一象限所圍成的封閉圖形如圖所示.由4xx3解得x0或x2（x2舍去）.故S（4xx3）dx844. A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.若曲線f（x）x42x在點(diǎn)P處的切線垂直于直線x2y10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（1，1） B.（1，1）C.（1，1） D.（1，1）解析：選B.因?yàn)閒（x）4x32，設(shè)P（x0，y0），由題意得f（x0）4x22，所以x01，y01.故P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）.2.（2017·高考浙江卷）函數(shù)yf（x）的導(dǎo)函數(shù)yf（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)yf（x）的圖象可能是（）解析：選D.原函數(shù)先減再增，再減再增，且x0位于增區(qū)間內(nèi)，故選D.3.對(duì)任意的xR，函數(shù)f（x）x3ax27ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是（）A.0a21 B.a0或a7C.a0或a21 D.a0或a21解析：選A.f（x）3x22ax7a，當(dāng)4a284a0，即0a21時(shí)，f（x）0恒成立，函數(shù)f（x）不存在極值點(diǎn).4.若函數(shù)f（x）kxln x在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A.（，2 B.（，1C.2，） D.1，）解析：選D.由于f（x）k，f（x）kxln x在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞增f（x）k0在（1，）上恒成立.由于k，而0<<1，所以k1.即k的取值范圍為1，）.5.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足x1時(shí)（x1）·f（x）>0，則必有（）A.f（0）f（2）>2f（1）B.f（0）f（2）<2f（1）C.f（0）f（2）2f（1）D.f（0）f（2）2f（1）解析：選A.當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0，函數(shù)f（x）在（1，）上是增函數(shù)；當(dāng)x<1時(shí)，f（x）<0，f（x）在（，1）上是減函數(shù)，故f（x）在x1處取得最小值，即有f（0）>f（1），f（2）>f（1），得f（0）f（2）>2f（1）.6.已知函數(shù)f（x）ln（ax1），x0，其中a>0，若f（1）0，則a的值是.解析：f（x）ln（ax1），所以f（1）0.所以a1.答案：17.已知直線ykx是曲線yln x的切線，則k的值為.解析：設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），因?yàn)閥（ln x），所以k，即x0，y0kx01，所以1ln ，所以k.答案：8.如圖所示的是一個(gè)做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的v­t圖象，則質(zhì)點(diǎn)在前6 s內(nèi)的位移為米.解析：v（t）所以所求位移sv（t）dttdtdtt2639（m）.答案：99.已知函數(shù)f（x），且f（x）的圖象在x1處與直線y2相切.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若P（x0，y0）為f（x）圖象上的任意一點(diǎn)，直線l與f（x）的圖象相切于P點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得f（x）.因?yàn)閒（x）的圖象在x1處與直線y2相切.所以即所以a4，b1，所以f（x）.（2）因?yàn)閒（x），所以直線l的斜率kf（x0）4，令t，t（0，1，則k4（2t2t）8，所以k.10.設(shè)函數(shù)f（x）ln xln（2x）ax（a>0）.（1）當(dāng)a1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）在（0，1上的最大值為，求a的值.解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，2），f（x）a.（1）當(dāng)a1時(shí)，f（x），所以當(dāng)x（0，）時(shí)，f（x）>0，當(dāng)x（，2）時(shí)，f（x）<0.所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）.（2）當(dāng)x（0，1時(shí)，f（x）a>0，即f（x）在（0，1上單調(diào)遞增.故f（x）在（0，1上的最大值為f（1）a，因此a.B能力提升11.若f（x）x22f（x）dx，則f（x）dx（）A.1 B.C. D.1解析：選B.因?yàn)閒（x）x22f（x）dx，所以f（x）dx|2f（x）dx，所以f（x）dx.12.定義在上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f（x），若恒有f（x）<f（x）tan x，則（）A.f>f B.f<fC.f>f D.f<f解析：選D.因?yàn)閤，所以sin x>0，cos x>0.由f（x）<f（x）tan x，得f（x）sin xf（x）cos x>0.不妨設(shè)g（x），則g（x）>0，所以函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞增，所以g<g，即<，即f<f，故選D.13.已知函數(shù)f（x）x2mln x，h（x）x2xa.（1）當(dāng)a0時(shí)，f（x）h（x）在（1，）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)m2時(shí)，若函數(shù)k（x）f（x）h（x）在區(qū)間1，3上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）由f（x）h（x）在（1，）上恒成立，得m在（1，）上恒成立，令g（x），則g（x），故g（e）0.易得，當(dāng)x（1，e）時(shí)，g（x）<0；當(dāng)x（e，）時(shí)，g（x）>0.故g（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，）上單調(diào)遞增.所以當(dāng)xe時(shí)，g（x）取得最小值，為g（e）e，所以me.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（，e.（2）由已知，可得k（x）x2ln xa，函數(shù)k（x）在1，3上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于曲線（x）x2ln x，x1，3與直線ya有兩個(gè)不同的交點(diǎn).易得（x）1，故（2）0，所以當(dāng)x1，2）時(shí)，（x）<0，所以（x）在1，2）上單調(diào)遞減，當(dāng)x（2，3時(shí)，（x）>0，所以（x）在（2，3上單調(diào)遞增.又（1）1，（3）32ln 3，（2）22ln 2，且（1）>（3）>（2）>0，所以22ln 2<a32ln 3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（22ln 2，32ln 3.14.（選做題）設(shè)函數(shù)f（x）xeaxbx，曲線yf（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程為y（e1）x4.（1）求a，b的值；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.解：（1）因?yàn)閒（x）xeaxbx，所以f（x）（1x）eaxb.依題設(shè)，即解得a2，be.（2）由（1）知f（x）xe2xex.由f（x）e2x（1xex1）及e2x0知，f（x）與1xex1同號(hào).令g（x）1xex1，則g（x）1ex1.所以當(dāng)x（，1）時(shí)，g（x）0，g（x）在區(qū)間（，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)x（1，）時(shí)，g（x）0，g（x）在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞增.故g（1）1是g（x）在區(qū)間（，）上的最小值，從而g（x）0，x（，）.綜上可知，f（x）0，x（，）.故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，）.15