2017-2018版高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用學案 蘇教版選修2-2

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1、第1章 導數(shù)及其應用1變化率與導數(shù)1.變化率函數(shù)的平均變化率為，它是用來刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化快慢的量.式中x，y的值可正、可負，當函數(shù)f(x)為常數(shù)函數(shù)時，y的值為0，但x不能為0.當x趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率.例1甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關系如圖所示，試比較兩人在時間段0，t0內的平均速度哪個大？解比較在相同的時間段0，t0內，兩人速度的平均變化率的大小便知結果.在t0處，s1(t0)s2(t0)，s1(0)s2(0)，所以.所以在時間段0，t0內乙的平均速度比甲的大.點評比較兩人的平均速度的大小，其實就是比較兩人走過的路程相

2、對于時間的變化率的大小.2.導數(shù)的概念及其幾何意義函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)即為函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時變化率，即當x趨于0時，函數(shù)值y關于x的平均變化率的極限值；x無限趨近于0，是指函數(shù)自變量之間的間隔能有多小就有多小，但始終不能為零.函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，即f(x0)ktan ，因此在切線的斜率、切點的橫坐標兩個量中，只要已知其中一個量，就可以求出另一個量.例2如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則ff(0)_； _.(用數(shù)字作答)解析由A(

3、0,4)，B(2,0)可得線段AB的方程為f(x)2x4(0x2).同理線段BC的方程為f(x)x2(2x6).所以f(x)所以f(0)4，ff(0)f(4)2， f(1)2.答案22例3函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是()A.0f(2)f(3)f(3)f(2)B.0f(2)f(3)f(2)f(3)C.0f(3)f(3)f(2)f(2)D.0f(3)f(2)f(2)f(3)解析根據(jù)導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)在點B(2，f(2)及A(3，f(3)處的切線的斜率.由圖可見，過點B的切線的斜率大于過點A的切線的斜率，則有0f(3)f(2).另一方面，這兩點的平均變化率為f(3)f(

4、2)，其幾何意義為割線AB的斜率.由圖，可知0f(3)f(3)f(2)0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立.a(2x3)min.x2，)，y2x3是單調遞增的，(2x3)min16，a16.當a16時，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范圍是a16.點評已知函數(shù)單調性求參數(shù)的取值范圍，可轉化為不等式恒成立問題.一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調遞增(遞減)等價于不等式f(x)0(f(x)0)在區(qū)間I上恒成立，且在I的任何子區(qū)間上不恒為零，然后可借助分離參數(shù)等方法求出參數(shù)的取值范圍，并驗證f(x)0是否有有限個解.2.利用函數(shù)的單調性證明不等式欲證明不等式f(x)g(x)(或

5、f(x)g(x)成立，可以構造函數(shù)(x)f(x)g(x)，利用導數(shù)進行證明.例3已知x0，求證：ex1x.證明設函數(shù)f(x)ex(1x)，則f(x)ex1.當x0時，exe01，所以f(x)ex10.所以f(x)在(0，)上是增函數(shù).所以當x0時，f(x)f(0).又f(0)e0(10)0，所以f(x)0，即ex(1x)0.故ex1x.點評若要證的不等式兩邊是兩類不同的基本函數(shù)，則往往需要構造函數(shù)，借助函數(shù)的單調性來證明.3.利用函數(shù)的單調性判斷方程根的個數(shù)若f(x)在區(qū)間a，b上單調，且f(a)f(b)0)在區(qū)間和區(qū)間(1，e)內有無零點.分析可通過導數(shù)確定函數(shù)極值點與極值的正負，再結合確定

6、零點的方法確定零點的個數(shù).解因為f(x).所以當x(3，)時，yf(x)是增函數(shù)；當x(0,3)時，yf(x)是減函數(shù).而01e0，f(1)0，f(e)10，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點.3揭開導數(shù)問題易錯點的面紗一、揭開導數(shù)運算中的常見錯因1.對f(x0)與f(x)理解有誤例1已知函數(shù)f(x)x22xf(1)，則f(0)的值為()A.0 B.4C.2 D.2錯解由f(x)x22xf(1)得f(0)0.所以f(0)0.故選A.錯因分析解題時沒有弄清導函數(shù)和其在某點處的導數(shù)的關系，求函數(shù)在某點處的導數(shù)時，應先求導再求函數(shù)值，同時要注意f(1)是常數(shù).正解由f(x)x2

7、2xf(1)得，f(x)2x2f(1).所以f(1)212f(1).所以f(1)2.從而f(x)2x4.所以f(0)4.故選B.2.切點位置的確定有誤例2求過點P(1,0)且與曲線f(x)x3x相切的直線的方程.錯解由題意知點P(1,0)在曲線上.因為f(x)3x21，所以f(1)2.所以切線方程為y02(x1)，即2xy20.錯因分析點P(1，0)雖然在曲線上，但不一定是切點，解題時把點P(1，0)當作切點顯然是錯誤的.求曲線的切線方程時，應注意兩種“說法”：(1)曲線在點P處的切線方程(一定是以點P為切點)；(2)曲線過點P的切線方程(無論點P是否在曲線上，點P都不一定是切點.正解設切點為

8、(x0，xx0)，則過該點的切線方程為y(xx0)(3x1)(xx0).由切線過點P(1,0)得：0(xx0)(3x1)(1x0)，整理得2x3x10.即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.所以切線方程為2xy20或x4y10.3.對切線定義的理解有誤例3已知曲線C：yf(x)x3，曲線C在點P(2,4)處的切線方程為y4x4，試分析該切線與曲線C是否還有其他公共點？若有，求出公共點的坐標；若沒有，請說明理由.錯解由于直線y4x4與曲線C相切，因此除切點P(2,4)外沒有其他的公共點.錯因分析“切線與曲線有唯一公共點”，此說法對圓、橢圓這一類特殊曲線是成立的，但對一般曲線不一定成立.

9、正解由消去y整理得：x312x160，即(x2)(x22x8)0.所以(x2)2(x4)0，解得x2或x4.所以交點的坐標為(2,4)，(4，20)，所以該切線與曲線的公共點除了切點(2,4)外還有點(4，20).二、揭開導數(shù)應用中的常見錯因1.將函數(shù)單調性的充分條件誤認為是充要條件例4已知函數(shù)f(x)ax33x2x1在R上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.錯解f(x)3ax26x1.因為f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)3ax26x10.所以解得a3.故實數(shù)a的取值范圍為(，3).錯因分析“f(x)0(x(a，b)”是“f(x)在(a，b)內單調遞減”的充分條件而不是充要條件，如f(x)x3在

10、R上單調遞減，但f(x)3x20.正解f(x)3ax26x1.(1)當f(x)0時，f(x)是減函數(shù)，所以f(x)3ax26x10.所以解得a1時，f(x).分析由于f(x)1ex1，1，因此要證f(x)，只需證明ex1x.所以我們構造新函數(shù)，利用函數(shù)的極值進行證明.證明令g(x)exx1，則g(x)ex1.解方程ex10，得x0.當x變化時，g(x)，g(x)變化情況如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)0從表上看出，當x0時，函數(shù)有極小值，且g(0)0.因而當xR時，有g(x)g(0)0，即ex1x.所以當x1時，有f(x)1ex11，即f(x).點評本題通過構造函數(shù)，使問題的解決

11、變得簡捷.2.數(shù)形結合思想例2已知曲線f(x)x33x29xa與x軸只有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍.分析先用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間和極值，再根據(jù)單調性畫出大致圖象，利用數(shù)形結合思想求解.解f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x11，x23.列表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極小值極大值所以當x1時，f(x)有極小值f(1)a5；當x3時，f(x)有極大值f(3)a27.畫出大致圖象，要使f(x)的圖象與x軸只有一個交點，只需極大值小于0(如圖1)或極小值大于0(如圖2).所以a270.解得a5.故實數(shù)a的取值范圍為a5.點評數(shù)形結合思想是中學數(shù)學的一種重要思想.畫

12、出圖象可以加強直觀性，便于對問題的理解.3.分類討論思想例3求函數(shù)f(x)ax33x21的單調區(qū)間.分析利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，一般先確定函數(shù)的定義域，再求導函數(shù)，最后根據(jù)導數(shù)大于0或小于0得單調增區(qū)間或單調減區(qū)間.如果函數(shù)中含有參數(shù)，則應分類討論.解f(x)3ax26x.由題意，得a0.當a0時，由3ax26x0，解得x；由3ax26x0，解得0x.所以f(x)的單調增區(qū)間為(，0)和，單調減區(qū)間為.當a0，解得x0；由3ax26x0，解得x0.所以f(x)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為和(0，).綜上，a0時f(x)的單調增區(qū)間為(，0)，(，)，單調減區(qū)間為(0，)；a0時f(x)的單調

13、增區(qū)間為(，0)，單調減區(qū)間為(，)，(0，).點評注意本題中隱含了a0的條件.a在導函數(shù)的二次項系數(shù)中，a的正負決定了不等式的解集，因此要對a分大于0和小于0兩種情況進行討論.5三次函數(shù)的單調性與極值的求解之道我們知道，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情況可以用判別式b24ac來判斷，那么一元三次方程ax3bx2cxd0(a0)的根的情況又是怎樣的呢？要解決這個問題，只要能夠畫出函數(shù)yax3bx2cxd的大致圖象，通過圖象與x軸的交點的情況便可得到方程的根的情況.而要畫出函數(shù)yax3bx2cxd的大致圖象，就要研究該函數(shù)的單調性和極值情況，因此可以利用導數(shù)來研究.三次函數(shù)求導后變?yōu)槎?/p>

14、次函數(shù)，所以三次函數(shù)的許多性質可以借助二次函數(shù)來解決.對于三次函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)，其導函數(shù)為f(x)3ax22bxc，有以下結論：(1)當a0時，若x，則f(x)；若x，則f(x)；當a0，則f(x)在R上是增函數(shù)；若a0時，設f(x)0的兩根x10時，f(x)的遞增區(qū)間有兩個，為(，x1)和(x2，)，遞減區(qū)間有一個，為(x1，x2)，xx1是極大值點，xx2是極小值點；當a00a0a0，a1)；(6)ex的一個原函數(shù)為ex；(7)的一個原函數(shù)為ln x(x0).溫馨提示一個被積函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的，有無數(shù)多個，即在每一個原函數(shù)后面加上一個常數(shù)，求導后不變，但具體利用f

15、(x)dxF(b)F(a)求值，只需找一個最簡單的原函數(shù)即可.7多法求解定積分用微積分基本定理求定積分f(x)dx時，關鍵是找到滿足F(x)f(x)的F(x)，但在求解函數(shù)F(x)時經(jīng)常會遇到復雜的計算，或者找不到函數(shù)F(x)等情況，本文介紹幾種簡化求解定積分的方法.1.幾何法例1求定積分(x)dx的值.分析本題用定積分的定義或微積分基本定理求解都比較麻煩.由(x)dx聯(lián)想到圓(x1)2y21的一部分與直線yx，用定積分的幾何意義進行求解則比較簡捷.解(x)dx表示圓(x1)2y21的一部分與直線yx所圍成的圖形(如圖所示的陰影部分)的面積，因此(x)dx11.點評數(shù)形結合思想在這里得到了充分

16、的體現(xiàn).運用定積分的幾何意義計算定積分，需要具備較強的觀察能力、分析能力和邏輯推理能力.2.函數(shù)性質法例2求lgdx的值.解記f(x)lg，易知定義域為(1,1)，因為f(x)lglg()1f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，因此有l(wèi)gdx0.點評從定積分的定義(或幾何意義)可知：偶函數(shù)f(x)有f(x)dx2f(x)dx；奇函數(shù)f(x)有f(x)dx0.3.轉化法例3計算定積分sin2dx的值.解sin2dxdxdxcos xdxxsin x0sinsin 0.點評較復雜函數(shù)的積分，往往難以直接找到原函數(shù)，常常需先化簡、變式、換元變成基本初等函數(shù)的四則運算后，再求定積分.4.分段法例4求定積分x

17、|x|dx的值.解因為f(x)x|x|所以x|x|dx (x2)dxx2dx.點評這類積分不能直接求解，需要變換被積函數(shù)，從而去掉絕對值.5.換元法例5求拋物線y22x與直線yx4圍成的平面圖形的面積.解方法一選取橫坐標x為積分變量，則圖中陰影部分的面積應該是兩部分之和.解得所以交點為A(2，2)，B(8,4).選取x為積分變量，則0x8.因此S2dx(x4)dx18.方法二選取縱坐標y為積分變量，則2y4，所求圖中陰影部分的面積為Sdy18.點評從上述兩種解法中可以看出，對y積分比對x積分計算簡捷.因此，應用定積分求解平面圖形的面積時，積分變量的選取至關重要.但同時也要注意對y積分時，積分函

18、數(shù)應是x(y)，本題需將條件中的曲線方程、直線方程化為x，xy4的形式，然后求面積.8利用定積分速求面積1.巧選積分變量求平面圖形面積時，要注意選擇積分變量，以使計算簡便.例1求直線y2x3與拋物線yx2所圍成的圖形的面積.分析解此類題的一般步驟是：畫草圖；解方程組求出交點；確定積分的上、下限；計算.解畫出圖象如圖所示，解方程組得A(1,1)，B(3,9).故所求圖形的面積為(2x3x2)dx.點評本題若選縱坐標y為積分變量，則計算起來較為復雜，故要注意選擇積分變量，以使計算簡便.另外還要注意的是對面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會變的，即定積分的值不會改變.2.妙用對稱在求平面

19、圖形的面積時，注意利用函數(shù)的奇偶性等所對應曲線的對稱性解題，這也是簡化計算過程的常用手段.例2求由兩條曲線yx2,4yx2和直線y1所圍成的圖形的面積.分析先畫圖象，分析由哪幾塊組成，再轉化為定積分求解.解如圖，因為yx2,4yx2是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性，只需算出y軸右邊的圖形的面積再乘以2即可.解方程組和得交點坐標(1,1)，(1,1)，(2,1)，(2,1).所以S22.點評巧用對稱性能簡化解題.3.恰到好處的分割例3求兩曲線ysin x與ysin 2x在0，上圍成的圖形的面積.分析先畫圖象，找出積分區(qū)間，發(fā)現(xiàn)可分割成兩部分，再用微積分基本定理分別求面積.解如圖，令sin xsin 2x，得

20、交點的橫坐標為x0，x，x.由圖形分割，得S (sin 2xsin x)dx (sin xsin 2x)dx.點評類似本題圖形的面積的求法，適當?shù)姆指钍顷P鍵，應注意掌握這種分割的處理方法.4.進行適當轉換例4求正弦曲線ysin x，x0，和直線x及x軸圍成的平面圖形的面積.解由圖可知，當x0，時，曲線ysin x位于x軸的上方，當x，時，曲線ysin x位于x軸的下方.因此所求面積應為兩部分面積的和，即S|sin x|dxsin xdxsin xdxcos x 213.點評對于yf(x)和xa，xb(a0，則f(x)dx0，Sf(x)dx；(2)若f(x)0，則f(x)dx0，Sf(x)dx f(x)dx；(3)若acb，當axc時，f(x)0，則f(x)dx0，所以Sf(x)dxf(x)dx.14