2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修2-2

第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1變化率與導(dǎo)數(shù)1.變化率函數(shù)的平均變化率為，它是用來刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化快慢的量.式中x，y的值可正、可負(fù)，當(dāng)函數(shù)f(x)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，y的值為0，但x不能為0.當(dāng)x趨于0時(shí)，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率.例1甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，試比較兩人在時(shí)間段0，t0內(nèi)的平均速度哪個(gè)大？解比較在相同的時(shí)間段0，t0內(nèi)，兩人速度的平均變化率的大小便知結(jié)果.在t0處，s1(t0)s2(t0)，s1(0)>s2(0)，所以<.所以在時(shí)間段0，t0內(nèi)乙的平均速度比甲的大.點(diǎn)評(píng)比較兩人的平均速度的大小，其實(shí)就是比較兩人走過的路程相對(duì)于時(shí)間的變化率的大小.2.導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時(shí)變化率，即當(dāng)x趨于0時(shí)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率的極限值；x無限趨近于0，是指函數(shù)自變量之間的間隔能有多小就有多小，但始終不能為零.函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即f(x0)ktan ，因此在切線的斜率、切點(diǎn)的橫坐標(biāo)兩個(gè)量中，只要已知其中一個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量.例2如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則ff(0)_； _.(用數(shù)字作答)解析由A(0,4)，B(2,0)可得線段AB的方程為f(x)2x4(0x2).同理線段BC的方程為f(x)x2(2<x6).所以f(x)所以f(0)4，ff(0)f(4)2， f(1)2.答案22例3函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是()A.0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)B.0<f(2)<f(3)f(2)<f(3)C.0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)D.0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)在點(diǎn)B(2，f(2)及A(3，f(3)處的切線的斜率.由圖可見，過點(diǎn)B的切線的斜率大于過點(diǎn)A的切線的斜率，則有0<f(3)<f(2).另一方面，這兩點(diǎn)的平均變化率為f(3)f(2)，其幾何意義為割線AB的斜率.由圖，可知0<f(3)<f(3)f(2)<f(2).答案C點(diǎn)評(píng)本題通過導(dǎo)數(shù)的定義反過來對(duì)變化率進(jìn)行了考查.通過上述三例可以看出，變化率是一個(gè)十分重要的概念，它是連接初等數(shù)學(xué)與導(dǎo)數(shù)的一個(gè)橋梁，學(xué)好變化率為以后更好地學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)作了鋪墊.2函數(shù)單調(diào)性的多方妙用1.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)問題例1已知f(x)ax3bx2cx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，在區(qū)間(，0)和(1，)上是減函數(shù)，且f，求a，b，c的值.解f(x)3ax22bxc.由于f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，在區(qū)間(，0)和(1，)上是減函數(shù)，所以f(0)f(1)0.又f，所以解得點(diǎn)評(píng)由于此題給出了函數(shù)定義域范圍內(nèi)的所有單調(diào)區(qū)間，在這種條件下一般都可以分析出函數(shù)的極值點(diǎn)，通常情況下單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)就是極值點(diǎn)，再根據(jù)已知函數(shù)極值求解參數(shù)問題的方法進(jìn)行解答.例2已知函數(shù)f(x)x2(x0，常數(shù)aR).若函數(shù)f(x)在2，)上是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍.解f(x)2x.要使f(x)在2，)上是單調(diào)遞增的，則f(x)0在x2，)時(shí)恒成立，且在2，)上任何子區(qū)間上不恒為零，即0在x2，)時(shí)恒成立.x2>0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立.a(2x3)min.x2，)，y2x3是單調(diào)遞增的，(2x3)min16，a16.當(dāng)a16時(shí)，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范圍是a16.點(diǎn)評(píng)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題.一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(遞減)等價(jià)于不等式f(x)0(f(x)0)在區(qū)間I上恒成立，且在I的任何子區(qū)間上不恒為零，然后可借助分離參數(shù)等方法求出參數(shù)的取值范圍，并驗(yàn)證f(x)0是否有有限個(gè)解.2.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式欲證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)g(x)成立，可以構(gòu)造函數(shù)(x)f(x)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.例3已知x>0，求證：ex>1x.證明設(shè)函數(shù)f(x)ex(1x)，則f(x)ex1.當(dāng)x>0時(shí)，ex>e01，所以f(x)ex1>0.所以f(x)在(0，)上是增函數(shù).所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>f(0).又f(0)e0(10)0，所以f(x)>0，即ex(1x)>0.故ex>1x.點(diǎn)評(píng)若要證的不等式兩邊是兩類不同的基本函數(shù)，則往往需要構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性來證明.3.利用函數(shù)的單調(diào)性判斷方程根的個(gè)數(shù)若f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)，且f(a)f(b)<0，則f(x)0在a，b上有唯一實(shí)數(shù)根；若f(a)f(b)與零的大小無法確定，則f(x)0在a，b上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根.例4試判斷函數(shù)f(x)xln x(x>0)在區(qū)間和區(qū)間(1，e)內(nèi)有無零點(diǎn).分析可通過導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)極值點(diǎn)與極值的正負(fù)，再結(jié)合確定零點(diǎn)的方法確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解因?yàn)閒(x).所以當(dāng)x(3，)時(shí)，yf(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(0,3)時(shí)，yf(x)是減函數(shù).而0<<1<e<3，又f1>0，f(1)>0，f(e)1<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn).3揭開導(dǎo)數(shù)問題易錯(cuò)點(diǎn)的面紗一、揭開導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的常見錯(cuò)因1.對(duì)f(x0)與f(x)理解有誤例1已知函數(shù)f(x)x22xf(1)，則f(0)的值為()A.0 B.4C.2 D.2錯(cuò)解由f(x)x22xf(1)得f(0)0.所以f(0)0.故選A.錯(cuò)因分析解題時(shí)沒有弄清導(dǎo)函數(shù)和其在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)先求導(dǎo)再求函數(shù)值，同時(shí)要注意f(1)是常數(shù).正解由f(x)x22xf(1)得，f(x)2x2f(1).所以f(1)2×12f(1).所以f(1)2.從而f(x)2x4.所以f(0)4.故選B.2.切點(diǎn)位置的確定有誤例2求過點(diǎn)P(1,0)且與曲線f(x)x3x相切的直線的方程.錯(cuò)解由題意知點(diǎn)P(1,0)在曲線上.因?yàn)閒(x)3x21，所以f(1)2.所以切線方程為y02(x1)，即2xy20.錯(cuò)因分析點(diǎn)P(1，0)雖然在曲線上，但不一定是切點(diǎn)，解題時(shí)把點(diǎn)P(1，0)當(dāng)作切點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的.求曲線的切線方程時(shí)，應(yīng)注意兩種“說法”：(1)曲線在點(diǎn)P處的切線方程(一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn))；(2)曲線過點(diǎn)P的切線方程(無論點(diǎn)P是否在曲線上，點(diǎn)P都不一定是切點(diǎn).正解設(shè)切點(diǎn)為(x0，xx0)，則過該點(diǎn)的切線方程為y(xx0)(3x1)(xx0).由切線過點(diǎn)P(1,0)得：0(xx0)(3x1)(1x0)，整理得2x3x10.即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.所以切線方程為2xy20或x4y10.3.對(duì)切線定義的理解有誤例3已知曲線C：yf(x)x3，曲線C在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y4x4，試分析該切線與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)？若有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由.錯(cuò)解由于直線y4x4與曲線C相切，因此除切點(diǎn)P(2,4)外沒有其他的公共點(diǎn).錯(cuò)因分析“切線與曲線有唯一公共點(diǎn)”，此說法對(duì)圓、橢圓這一類特殊曲線是成立的，但對(duì)一般曲線不一定成立.正解由消去y整理得：x312x160，即(x2)(x22x8)0.所以(x2)2(x4)0，解得x2或x4.所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)，(4，20)，所以該切線與曲線的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)(2,4)外還有點(diǎn)(4，20).二、揭開導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的常見錯(cuò)因1.將函數(shù)單調(diào)性的充分條件誤認(rèn)為是充要條件例4已知函數(shù)f(x)ax33x2x1在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.錯(cuò)解f(x)3ax26x1.因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)3ax26x1<0.所以解得a<3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，3).錯(cuò)因分析“f(x)<0(x(a，b)”是“f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減”的充分條件而不是充要條件，如f(x)x3在R上單調(diào)遞減，但f(x)3x20.正解f(x)3ax26x1.(1)當(dāng)f(x)<0時(shí)，f(x)是減函數(shù)，所以f(x)3ax26x1<0.所以解得a<3.(2)當(dāng)a3時(shí)，f(x)9x26x1(3x1)20，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，f(x)0.易知此時(shí)函數(shù)f(x)在R上也是減函數(shù).綜上，知實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，3.點(diǎn)評(píng)解決此類問題既要注意其充分性，又要注意其必要性.2.將函數(shù)取極值的必要條件誤認(rèn)為是充要條件例5求函數(shù)f(x)x63x43x2的極值.錯(cuò)解f(x)6x512x36x6x(x42x21)6x(x21)2.令f(x)0，得x11，x20，x31.當(dāng)x±1時(shí)，函數(shù)f(x)取極大值1；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)取極小值0.錯(cuò)因分析“f(x0)0”是“可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在x0處有極值”的必要條件而不是充要條件，即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).防止出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的方法是驗(yàn)證可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)，若x0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，則x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).正解f(x)6x(x21)2.令f(x)0，得x11，x20，x31.f(x)在方程f(x)0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)如下表所示：x(，1)(1,0)(0,1)(1，)f(x)因此函數(shù)f(x)無極大值，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)取極小值0.點(diǎn)評(píng)函數(shù)yf(x)在x0處可導(dǎo)，則“f(x0)0”是“f(x)在x0處取得極值”的必要條件，但不是充要條件.一般地，函數(shù)f(x)在x0的附近可導(dǎo)且f(x0)0，如果f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相反，則f(x)在x0處取極值；如果f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同，則f(x)在x0處無極值.4導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想1.函數(shù)思想例1設(shè)函數(shù)f(x)1ex，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x).分析由于f(x)1ex1，1，因此要證f(x)，只需證明ex1x.所以我們構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的極值進(jìn)行證明.證明令g(x)exx1，則g(x)ex1.解方程ex10，得x0.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)變化情況如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)0從表上看出，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有極小值，且g(0)0.因而當(dāng)xR時(shí)，有g(shù)(x)g(0)0，即ex1x.所以當(dāng)x>1時(shí)，有f(x)1ex11，即f(x).點(diǎn)評(píng)本題通過構(gòu)造函數(shù)，使問題的解決變得簡(jiǎn)捷.2.數(shù)形結(jié)合思想例2已知曲線f(x)x33x29xa與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析先用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再根據(jù)單調(diào)性畫出大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.解f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x11，x23.列表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極小值極大值所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值f(1)a5；當(dāng)x3時(shí)，f(x)有極大值f(3)a27.畫出大致圖象，要使f(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需極大值小于0(如圖1)或極小值大于0(如圖2).所以a27<0或a5>0.解得a<27或a>5.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<27或a>5.點(diǎn)評(píng)數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要思想.畫出圖象可以加強(qiáng)直觀性，便于對(duì)問題的理解.3.分類討論思想例3求函數(shù)f(x)ax33x21的單調(diào)區(qū)間.分析利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一般先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0或小于0得單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間.如果函數(shù)中含有參數(shù)，則應(yīng)分類討論.解f(x)3ax26x.由題意，得a0.當(dāng)a>0時(shí)，由3ax26x>0，解得x<0或x>；由3ax26x<0，解得0<x<.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)和，單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)a<0時(shí)，由3ax26x>0，解得<x<0；由3ax26x<0，解得x<或x>0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和(0，).綜上，a0時(shí)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，(，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)；a0時(shí)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，單調(diào)減區(qū)間為(，)，(0，).點(diǎn)評(píng)注意本題中隱含了a0的條件.a在導(dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)中，a的正負(fù)決定了不等式的解集，因此要對(duì)a分大于0和小于0兩種情況進(jìn)行討論.5三次函數(shù)的單調(diào)性與極值的求解之道我們知道，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情況可以用判別式b24ac來判斷，那么一元三次方程ax3bx2cxd0(a0)的根的情況又是怎樣的呢？要解決這個(gè)問題，只要能夠畫出函數(shù)yax3bx2cxd的大致圖象，通過圖象與x軸的交點(diǎn)的情況便可得到方程的根的情況.而要畫出函數(shù)yax3bx2cxd的大致圖象，就要研究該函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，因此可以利用導(dǎo)數(shù)來研究.三次函數(shù)求導(dǎo)后變?yōu)槎魏瘮?shù)，所以三次函數(shù)的許多性質(zhì)可以借助二次函數(shù)來解決.對(duì)于三次函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)3ax22bxc，有以下結(jié)論：(1)當(dāng)a>0時(shí)，若x，則f(x)；若x，則f(x)；當(dāng)a<0時(shí)，若x，則f(x)；若x，則f(x).(2)若x1，x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則x1，x2是方程f(x)0的兩根，從而x1x2，x1x2.(3)方程f(x)0的判別式4b212ac，則有當(dāng)0時(shí)，若a>0，則f(x)在R上是增函數(shù)；若a<0，則f(x)在R上是減函數(shù).當(dāng)>0時(shí)，設(shè)f(x)0的兩根x1<x2，則當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間有兩個(gè)，為(，x1)和(x2，)，遞減區(qū)間有一個(gè)，為(x1，x2)，xx1是極大值點(diǎn)，xx2是極小值點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間有兩個(gè)，為(，x1)和(x2，)，遞增區(qū)間有一個(gè)，為(x1，x2)，xx1是極小值點(diǎn)，xx2是極大值點(diǎn).(4)函數(shù)f(x)的大致圖象如下：>00a>0a<06巧記“原函數(shù)”微積分基本定理告訴我們要求積分值，找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是關(guān)鍵，為方便大家使用，下面列舉了一些常見函數(shù)的原函數(shù).(1)常數(shù)函數(shù)c的一個(gè)原函數(shù)為cx；(2)xn的一個(gè)原函數(shù)為(n1，nN*)；(3)cos x的一個(gè)原函數(shù)為sin x；(4)sin x的一個(gè)原函數(shù)為cos x；(5)ax的一個(gè)原函數(shù)為(a>0，a1)；(6)ex的一個(gè)原函數(shù)為ex；(7)的一個(gè)原函數(shù)為ln x(x>0).溫馨提示一個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的，有無數(shù)多個(gè)，即在每一個(gè)原函數(shù)后面加上一個(gè)常數(shù)，求導(dǎo)后不變，但具體利用f(x)dxF(b)F(a)求值，只需找一個(gè)最簡(jiǎn)單的原函數(shù)即可.7多法求解定積分用微積分基本定理求定積分f(x)dx時(shí)，關(guān)鍵是找到滿足F(x)f(x)的F(x)，但在求解函數(shù)F(x)時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜的計(jì)算，或者找不到函數(shù)F(x)等情況，本文介紹幾種簡(jiǎn)化求解定積分的方法.1.幾何法例1求定積分(x)dx的值.分析本題用定積分的定義或微積分基本定理求解都比較麻煩.由(x)dx聯(lián)想到圓(x1)2y21的一部分與直線yx，用定積分的幾何意義進(jìn)行求解則比較簡(jiǎn)捷.解(x)dx表示圓(x1)2y21的一部分與直線yx所圍成的圖形(如圖所示的陰影部分)的面積，因此(x)dx×1×1.點(diǎn)評(píng)數(shù)形結(jié)合思想在這里得到了充分的體現(xiàn).運(yùn)用定積分的幾何意義計(jì)算定積分，需要具備較強(qiáng)的觀察能力、分析能力和邏輯推理能力.2.函數(shù)性質(zhì)法例2求lgdx的值.解記f(x)lg，易知定義域?yàn)?1,1)，因?yàn)閒(x)lglg()1f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，因此有l(wèi)gdx0.點(diǎn)評(píng)從定積分的定義(或幾何意義)可知：偶函數(shù)f(x)有f(x)dx2f(x)dx；奇函數(shù)f(x)有f(x)dx0.3.轉(zhuǎn)化法例3計(jì)算定積分sin2dx的值.解sin2dxdxdxcos xdxxsin x·0sinsin 0.點(diǎn)評(píng)較復(fù)雜函數(shù)的積分，往往難以直接找到原函數(shù)，常常需先化簡(jiǎn)、變式、換元變成基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算后，再求定積分.4.分段法例4求定積分x|x|dx的值.解因?yàn)閒(x)x|x|所以x|x|dx (x2)dxx2dx.點(diǎn)評(píng)這類積分不能直接求解，需要變換被積函數(shù)，從而去掉絕對(duì)值.5.換元法例5求拋物線y22x與直線yx4圍成的平面圖形的面積.解方法一選取橫坐標(biāo)x為積分變量，則圖中陰影部分的面積應(yīng)該是兩部分之和.解得所以交點(diǎn)為A(2，2)，B(8,4).選取x為積分變量，則0x8.因此S2dx(x4)dx18.方法二選取縱坐標(biāo)y為積分變量，則2y4，所求圖中陰影部分的面積為Sdy18.點(diǎn)評(píng)從上述兩種解法中可以看出，對(duì)y積分比對(duì)x積分計(jì)算簡(jiǎn)捷.因此，應(yīng)用定積分求解平面圖形的面積時(shí)，積分變量的選取至關(guān)重要.但同時(shí)也要注意對(duì)y積分時(shí)，積分函數(shù)應(yīng)是x(y)，本題需將條件中的曲線方程、直線方程化為x，xy4的形式，然后求面積.8利用定積分速求面積1.巧選積分變量求平面圖形面積時(shí)，要注意選擇積分變量，以使計(jì)算簡(jiǎn)便.例1求直線y2x3與拋物線yx2所圍成的圖形的面積.分析解此類題的一般步驟是：畫草圖；解方程組求出交點(diǎn)；確定積分的上、下限；計(jì)算.解畫出圖象如圖所示，解方程組得A(1,1)，B(3,9).故所求圖形的面積為(2x3x2)dx.點(diǎn)評(píng)本題若選縱坐標(biāo)y為積分變量，則計(jì)算起來較為復(fù)雜，故要注意選擇積分變量，以使計(jì)算簡(jiǎn)便.另外還要注意的是對(duì)面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會(huì)變的，即定積分的值不會(huì)改變.2.妙用對(duì)稱在求平面圖形的面積時(shí)，注意利用函數(shù)的奇偶性等所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱性解題，這也是簡(jiǎn)化計(jì)算過程的常用手段.例2求由兩條曲線yx2,4yx2和直線y1所圍成的圖形的面積.分析先畫圖象，分析由哪幾塊組成，再轉(zhuǎn)化為定積分求解.解如圖，因?yàn)閥x2,4yx2是偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，只需算出y軸右邊的圖形的面積再乘以2即可.解方程組和得交點(diǎn)坐標(biāo)(1,1)，(1,1)，(2,1)，(2,1).所以S22.點(diǎn)評(píng)巧用對(duì)稱性能簡(jiǎn)化解題.3.恰到好處的分割例3求兩曲線ysin x與ysin 2x在0，上圍成的圖形的面積.分析先畫圖象，找出積分區(qū)間，發(fā)現(xiàn)可分割成兩部分，再用微積分基本定理分別求面積.解如圖，令sin xsin 2x，得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，x，x.由圖形分割，得S (sin 2xsin x)dx (sin xsin 2x)dx.點(diǎn)評(píng)類似本題圖形的面積的求法，適當(dāng)?shù)姆指钍顷P(guān)鍵，應(yīng)注意掌握這種分割的處理方法.4.進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換例4求正弦曲線ysin x，x0，和直線x及x軸圍成的平面圖形的面積.解由圖可知，當(dāng)x0，時(shí)，曲線ysin x位于x軸的上方，當(dāng)x，時(shí)，曲線ysin x位于x軸的下方.因此所求面積應(yīng)為兩部分面積的和，即S|sin x|dxsin xdxsin xdxcos x 213.點(diǎn)評(píng)對(duì)于yf(x)和xa，xb(a<b)及y0圍成的平面圖形的面積的計(jì)算：(1)若f(x)>0，則f(x)dx>0，Sf(x)dx；(2)若f(x)<0，則f(x)dx<0，Sf(x)dx f(x)dx；(3)若a<c<b，當(dāng)axc時(shí)，f(x)<0，當(dāng)cxb時(shí)，f(x)>0，則f(x)dx<0，f(x)dx>0，所以Sf(x)dxf(x)dx.14