《2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第12節(jié) 定積分與微積分基本定理教學案 理(含解析)北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第12節(jié) 定積分與微積分基本定理教學案 理(含解析)北師大版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第十二節(jié)定積分與微積分基本定理考綱傳真1.了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義1定積分的概念與幾何意義(1)定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),用分點將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間上任取一點i(i1,2,n),作和式sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.當每個小區(qū)間的長度x趨于0時,s的值趨于一個常數(shù)A.我們稱常數(shù)A叫作函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作f(x)dx,即f(x)dxA.在f(x)dx中,a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變
2、量,f(x)dx叫做被積式(2)定積分的幾何意義圖形陰影部分面積Sf(x)dxSf(x)dxSf(x)dxf(x)dxSf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx2定積分的性質(zhì)(1)1dxba;(2)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù));(3)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx;(4)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù),即f(x)F(x),那么f(x)dxF(b)F(a),這個結(jié)論叫作微積分基本定理,又叫作牛頓萊布尼茨公式通常稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)為了方便,常把F(b)F(a)記作F(x
3、)|,即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,a上連續(xù),則有(1)若f(x)為偶函數(shù),則af(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)為奇函數(shù),則af(x)dx0.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)dxf(t)dt.()(2)定積分一定是曲邊梯形的面積()(3)若f(x)dx0,那么由yf(x)的圖像,直線xa,直線xb以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方()答案(1)(2)(3)2.exdx的值等于()AeB1eCe1 D(e1)Cexdxexe1.3(教材改編)已知質(zhì)點的速率v10
4、t,則從t0到tt0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是()A10tB5tC.tDtBSt00vdtt0010tdt5t2|t005t.4(教材改編)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_如圖,陰影部分的面積即為所求由得A(1,1)故所求面積為S(xx2)dx.5.dx_.dx表示曲線y與直線x1,x1及x軸圍成的曲邊梯形的面積,故dx.定積分的計算1(2019玉溪模擬)計算dx的值為()A.Bln 2C.ln 2 D3ln 2Bdx2ln 2ln 2.故選B2(2018吉林三模)|x1|dx()A1 B2C3 DD|x1|dx(1x)dx1.3設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A. BC. D不存在C如
5、圖,f(x)dxx2dx(2x)dxx3.4.(sin xcos x)dx_.2(sin xcos x)dx(-cos x-sin x)|1+12.規(guī)律方法1.運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點(1)對被積函數(shù)要先化簡,再求積分(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分,依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”,分段積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù),要先去掉絕對值符號,再求積分(4)注意用“F(x)f(x)”檢驗積分的對錯2根據(jù)定積分的幾何意義,可利用面積求定積分定積分的幾何意義【例1】(1)(2019皖南八校聯(lián)考)用mina,b表示a,b兩個數(shù)中的最小值,設(shè)f(x)min,則由函數(shù)f(x)的
6、圖像,x軸與直線x和直線x2所圍成的封閉圖形的面積為_(2)(2019黃山模擬)已知曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊圖形的面積為,則k_.(1)ln 2(2)2(1)由題意,圍成的封閉圖形如圖中陰影部分,由題意,Sdxdxx1ln xln 2ln 2,故答案為ln 2.(2)由得或則曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kxx2)dx|k3,即k38,所以k2.規(guī)律方法利用定積分求平面圖形面積的步驟(1)根據(jù)題意畫出圖形.(2)借助圖形確定被積函數(shù),求交點坐標,確定積分的上、下限.(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和.(4)計算定積分,寫出答案.易錯警示:利
7、用定積分求曲邊圖形面積時,一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù).當圖形的邊界不同時,要分不同情況討論. (1)曲線yx2,y與x軸所圍成的面積為_(2)如圖所示,由拋物線yx24x3及其在點A(0,3)和點B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積為_(1)(2)(1)如圖所示,由y及yx2可得交點橫坐標為x1.由定積分的幾何意義可知,由y,yx2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為dx(x2)dxx|.(2)由yx24x3,得y2x4,y|x04,y|x32,拋物線在A點處的切線方程為y4x3,在B點處的切線方程為y2x6,聯(lián)立方程解得兩切線交點的橫坐標為,定積分在物理中的應(yīng)用【例2】(1)一輛汽車在高速
8、公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度v(t)73t(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位:m)是()A125ln 5B825lnC425ln 5 D450ln 2(2)(2019渭南模擬)一物體在變力F(x)5x2(力單位:N,位移單位:m)作用下,沿與F(x)成30方向作直線運動,則由x1運動到x2時,F(xiàn)(x)做的功為()A. J B JC. J D2 J(1)C(2)C(1)由v(t)73t0,可得t4,因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s,此期間行駛的距離為v(t)dtdt |425ln 5.(2)變力F在位移方向上的分力為Fcos 30,故F
9、(x)做的功為W(5x2)cos 30dx(5x2)dx5xx3.規(guī)律方法定積分在物理中的兩個應(yīng)用(1)求物體變速直線運動的路程,如果變速直線運動物體的速度為vv(t),那么從時刻ta到tb所經(jīng)過的路程sv(t)dt.(2)變力做功,一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同方向從xa運動到xb時,力F(x)所做的功是WF(x)dx. 物體A以速度v3t21(t的單位:s,v的單位:m/s)在一直線上運動,在此直線上與物體A出發(fā)的同時,物體B在物體A的正前方5 m處以v10t(t的單位:s,v的單位:m/s)的速度與A同向運動,當兩物體相遇時,相遇地與物體A的出發(fā)地的距離是_m.130設(shè)A追上B時,所用的時間為t0,則SASB5,即t00(3t21)dtt00(10t)dt5,(t3t)t005t5tt05(t1)即t05,SA5t55525130(m)- 7 -