2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第12節(jié) 定積分與微積分基本定理教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第十二節(jié)定積分與微積分基本定理考綱傳真1.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義1定積分的概念與幾何意義(1)定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.當(dāng)每個(gè)小區(qū)間的長度x趨于0時(shí)，s的值趨于一個(gè)常數(shù)A.我們稱常數(shù)A叫作函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dxA.在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式(2)定積分的幾何意義圖形陰影部分面積Sf(x)dxSf(x)dxSf(x)dxf(x)dxSf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx2定積分的性質(zhì)(1)1dxba；(2)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；(3)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx；(4)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)3微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f(x)F(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓­萊布尼茨公式通常稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)為了方便，常把F(b)F(a)記作F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，a上連續(xù)，則有(1)若f(x)為偶函數(shù)，則af(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)為奇函數(shù)，則af(x)dx0.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則f(x)dxf(t)dt.()(2)定積分一定是曲邊梯形的面積()(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)的圖像，直線xa，直線xb以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方()答案(1)(2)×(3)×2.exdx的值等于()AeB1eCe1 D(e1)Cexdxexe1.3(教材改編)已知質(zhì)點(diǎn)的速率v10t，則從t0到tt0質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程是()A10tB5tC.tDtBSt00vdtt0010tdt5t2|t005t.4(教材改編)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_如圖，陰影部分的面積即為所求由得A(1,1)故所求面積為S(xx2)dx.5.dx_.dx表示曲線y與直線x1，x1及x軸圍成的曲邊梯形的面積，故dx.定積分的計(jì)算1(2019·玉溪模擬)計(jì)算dx的值為()A.Bln 2C.ln 2 D3ln 2Bdx2ln 2ln 2.故選B2(2018·吉林三模)|x1|dx()A1 B2C3 DD|x1|dx(1x)dx1.3設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A. BC. D不存在C如圖，f(x)dxx2dx(2x)dxx3.4.(sin xcos x)dx_.2(sin xcos x)dx(-cos x-sin x)|1+12.規(guī)律方法1.運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí)要注意以下幾點(diǎn)(1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值符號，再求積分(4)注意用“F(x)f(x)”檢驗(yàn)積分的對錯(cuò)2根據(jù)定積分的幾何意義，可利用面積求定積分定積分的幾何意義【例1】(1)(2019·皖南八校聯(lián)考)用mina，b表示a，b兩個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)f(x)min，則由函數(shù)f(x)的圖像，x軸與直線x和直線x2所圍成的封閉圖形的面積為_(2)(2019·黃山模擬)已知曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k_.(1)ln 2(2)2(1)由題意，圍成的封閉圖形如圖中陰影部分，由題意，Sdxdxx1ln xln 2ln 2，故答案為ln 2.(2)由得或則曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kxx2)dx|k3，即k38，所以k2.規(guī)律方法利用定積分求平面圖形面積的步驟(1)根據(jù)題意畫出圖形.(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限.(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和.(4)計(jì)算定積分，寫出答案.易錯(cuò)警示：利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù).當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論. (1)曲線yx2，y與x軸所圍成的面積為_(2)如圖所示，由拋物線yx24x3及其在點(diǎn)A(0，3)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積為_(1)(2)(1)如圖所示，由y及yx2可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1.由定積分的幾何意義可知，由y，yx2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為dx(x2)dxx|.(2)由yx24x3，得y2x4，y|x04，y|x32，拋物線在A點(diǎn)處的切線方程為y4x3，在B點(diǎn)處的切線方程為y2x6，聯(lián)立方程解得兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，定積分在物理中的應(yīng)用【例2】(1)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5B825lnC425ln 5 D450ln 2(2)(2019·渭南模擬)一物體在變力F(x)5x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向作直線運(yùn)動，則由x1運(yùn)動到x2時(shí)，F(xiàn)(x)做的功為()A. J B JC. J D2 J(1)C(2)C(1)由v(t)73t0，可得t4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為v(t)dtdt |425ln 5.(2)變力F在位移方向上的分力為Fcos 30°，故F(x)做的功為W(5x2)cos 30°dx(5x2)dx5xx3.規(guī)律方法定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)求物體變速直線運(yùn)動的路程，如果變速直線運(yùn)動物體的速度為vv(t)，那么從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過的路程sv(t)dt.(2)變力做功，一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從xa運(yùn)動到xb時(shí)，力F(x)所做的功是WF(x)dx. 物體A以速度v3t21(t的單位：s，v的單位：m/s)在一直線上運(yùn)動，在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正前方5 m處以v10t(t的單位：s，v的單位：m/s)的速度與A同向運(yùn)動，當(dāng)兩物體相遇時(shí)，相遇地與物體A的出發(fā)地的距離是_m.130設(shè)A追上B時(shí)，所用的時(shí)間為t0，則SASB5，即t00(3t21)dtt00(10t)dt5，(t3t)t005t5tt05(t1)即t05，SA5t55×525130(m)- 7 -