2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題二 1 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案

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2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題二 1 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案_第1頁
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1、第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 年份 卷別 考查內(nèi)容及考題位置 命題分析 2018 卷Ⅰ 三角函數(shù)的最值·T16   高考對此部分內(nèi)容主要以選擇、填空題的形式考查,難度為中等偏下,大多出現(xiàn)在第6~12題或第14、15題位置上,命題的熱點(diǎn)主要集中在三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì),主要考查圖象的變換,函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值,并常與三角恒等變換交匯命題. 卷Ⅱ 三角函數(shù)的單調(diào)性·T10 卷Ⅲ 三角函數(shù)圖象的應(yīng)用·T15 2017 卷Ⅰ 三角函數(shù)的圖象變換·T9 卷Ⅱ 三角函數(shù)的最值·T14 卷Ⅲ 余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)·T6 2016 卷Ⅱ

2、 三角函數(shù)的圖象變換與性質(zhì)·T7 卷Ⅲ 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系·T5 三角函數(shù)的圖象變換·T14 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系(基礎(chǔ)型) 三角函數(shù)的定義 若角α的終邊過點(diǎn)P(x,y),則sin α=,cos α=, tan α=(其中r=). 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值的步驟 利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟:去負(fù)—脫周—化銳.特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定. [注意] “奇變偶不變,符號(hào)看象限”. 基本關(guān)系 sin2x+cos2x=1,tan x=. [考法全練] 1.若sin=-,且α∈,則tan(π-α)=(  ) A.  

3、          B. C.- D.- 解析:選A.由sin=cos α=-,且α∈, 得sin α==, 所以tan(π-α)=-tan α =-=-=. 2.(2018·唐山模擬)已知α是第三象限的角,且tan α=2,則sin=(  ) A.- B. C.- D. 解析:選C.因?yàn)棣潦堑谌笙薜慕?,tan α=2,則所以cos α=-=-,sin α=-,則sin=sin αcos+cos αsin=-×-×=-,故選C. 3.已知θ∈,則 =____________. 解析:因?yàn)?===|sin θ-cos θ|,又θ∈,所以原式=sin θ-cos

4、 θ. 答案:sin θ-cos θ 4.已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊上一點(diǎn)P(-4,3),則的值為________. 解析:因?yàn)閠an α==-, 所以 = =tan α=-. 答案:- 5.(2018·武漢調(diào)研)若tan α=cos α,則+cos4α=____________. 解析:tan α=cos α?=cos α?sin α=cos2α,故+cos4α=+cos4α=sin α++cos4α=sin α++sin2α=sin2α+sin α+1=sin2α+cos2α+1=1+1=2. 答案:2 三角函數(shù)的圖象與解析式(綜合型)

5、 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 (1)“五點(diǎn)法”作圖 設(shè)z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值與相應(yīng)的y的值,描點(diǎn)、連線可得. (2)圖象變換 y=sin x的圖象y=sin(x+φ)的圖象y=sin(ωx+φ)的圖象y=Asin(ωx+φ)的圖象. [典型例題] 命題角度一 由“圖”定“式” (一題多解)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ), 的圖象如圖所示,若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,則f(x1+x2)的值為(  ) A.0        B.1 C.         D. 【解析】 法一:由f(x)=2sin(ωx+φ),x∈的圖象

6、,得最小正周期T===π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),將點(diǎn)代入,得sin=-1,又φ∈,解得φ=,所以f(x)=2sin,由f(x1)=f(x2)得sin =sin,因?yàn)閤∈,所以0≤2x+≤,所以2x1++2x2+=π,所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=2sin =1,故選B. 法二:由f(x)=2sin,x∈的圖象,得最小正周期T===π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),將點(diǎn)代入,得sin=-1,又φ∈,解得φ=,所以f(x)=2sin(2x+),因?yàn)閒(x1)=f(x2)且x1≠x2,由圖象得x1+x2=,所以f(x1+x2)=2sin=1,故

7、選B. 【答案】 B 由“圖”定“式”找“對應(yīng)” 由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中參數(shù)的值,關(guān)鍵是把握函數(shù)圖象的特征與參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,其基本依據(jù)就是“五點(diǎn)法”作圖. (1)最值定A,B:根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值,設(shè)最大值為M,最小值為m,則M=A+B,m=-A+B,解得B=,A=. (2)T定ω:由周期的求解公式T=,可得ω=.記住三角函數(shù)的周期T的相關(guān)結(jié)論: ①兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離等于. ②兩條相鄰對稱軸之間的距離等于. ③對稱中心與相鄰對稱軸的距離等于. (3)點(diǎn)坐標(biāo)定φ:一般運(yùn)用代入法求解φ值,在求解過程中,可以代

8、入圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)(此時(shí)A,ω,B已知),也可代入圖象與直線y=B的交點(diǎn)(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).注意在確定φ值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口,即“峰點(diǎn)”“谷點(diǎn)”與三個(gè)“中心點(diǎn)”,利用“中心點(diǎn)”時(shí)要注意其所在單調(diào)區(qū)間的單調(diào)性,避免產(chǎn)生增解.  命題角度二 圖象變換 (1)(一題多解)(2018·南昌調(diào)研)函數(shù)y=sin的圖象可以由函數(shù)y=cos 的圖象(  ) A.向右平移個(gè)單位長度得到 B.向右平移個(gè)單位長度得到 C.向左平移個(gè)單位長度得到 D.向左平移個(gè)單位長度得到 (2)(2018·石家莊質(zhì)量檢測(一))若ω>0,函數(shù)y=cos的圖

9、象向右平移個(gè)單位長度后與函數(shù)y=sin ωx的圖象重合,則ω的最小值為(  ) A. B. C. D. 【解析】 (1)法一:由y=cos =sin,y=sin=sin,知函數(shù)y=sin的圖象可以由y=cos的圖象向右平移個(gè)單位長度得到. 法二:在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的部分圖象如圖所示,易知選B. (2)函數(shù)y=cos的圖象向右平移個(gè)單位長度后,所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為y=cos=cos,其圖象與函數(shù)y=sin ωx=cos,k∈Z的圖象重合,所以-+2kπ=-+,k∈Z,所以ω=-6k+,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值為,故選B. 【答案】 (1)B (2)B

10、 (1)平移規(guī)律 由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種方法. (2)圖象變換的實(shí)質(zhì) 圖象變換的實(shí)質(zhì)——點(diǎn)的坐標(biāo)的變換,三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換,可以利用兩個(gè)函數(shù)圖象上的兩個(gè)特征點(diǎn)之間的對應(yīng)確定變換的方式,一般選取與y軸最近的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),當(dāng)然也可以選取在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)中心點(diǎn),根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)即可確定變換的方式、平移的長度與方向等. 命題角度三 圖象的應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)=4sincos x+,若函數(shù)g(x)=f(x)-m在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________. 【解析】 方程g(x)

11、=0同解于f(x)=m,在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=2sin在上的圖象,如圖所示,由圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)m∈[,2)時(shí),方程f(x)=m有兩個(gè)不同的解. 【答案】 [,2) 巧用圖象解決三角方程或不等式問題 解決與三角函數(shù)相關(guān)的方程以及不等式問題,最基本的方法就是作出對應(yīng)函數(shù)的圖象,然后結(jié)合函數(shù)的圖象的特征確定方程的解或不等式的解集.準(zhǔn)確作出對應(yīng)函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵,尤其是作出函數(shù)在指定區(qū)間上的圖象,需要準(zhǔn)確把握函數(shù)圖象的端點(diǎn)值以及最值.  [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·開封模擬)如果存在正整數(shù)ω和實(shí)數(shù)φ使得函數(shù)f(x)=sin2(ωx+φ)的圖象如圖所示(圖象經(jīng)

12、過點(diǎn)(1,0)),那么ω的值為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選B.由f(x)=sin2(ωx+φ)=及其圖象知,<×<1,即<ω<π,所以正整數(shù)ω=2或3.由函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),得f(1)==0,得2ω+2φ=2kπ(k∈Z),即2φ=2kπ-2ω(k∈Z).由圖象知f(0)>,即=>,得cos 2ω<0,所以ω=2,故選B. 2.(2018·廣州調(diào)研)將函數(shù)y=2sinsin的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)恰為奇函數(shù),則φ的最小值為(  ) A. B. C. D. 解析:選A.由y=2sinsin可得y=

13、2sincos=sin,該函數(shù)的圖象向左平移φ個(gè)單位長度后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin=sin,因?yàn)間(x)=sin為奇函數(shù),所以2φ+=kπ(k∈Z),φ=-(k∈Z),又φ>0,故φ的最小值為,選A. 三角函數(shù)的性質(zhì)(綜合型) 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z). (2)y=cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z). (3)y=tan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z). 三角函數(shù)的奇偶性、對稱軸方程 (1)y=Asin(ωx+φ),當(dāng)

14、φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù); 當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù); 對稱軸方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得. (2)y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù); 當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù);對稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. (3)y=Atan(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù). [典型例題] (1)(2018·柳州模擬)下列函數(shù)中同時(shí)具有以下性質(zhì)的是(  ) ①最小正周期是π;②圖象關(guān)于直線x=對稱;③在 上是增函數(shù);④圖象的一個(gè)對稱中心為. A.y=sin      B.y=sin C.y=sin D.y=sin (

15、2)(2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)若將函數(shù)f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)圖象上的每一個(gè)點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度,得到g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(  ) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z) 【解析】 (1)因?yàn)樽钚≌芷谑铅?,所以ω?,排除A選項(xiàng);當(dāng)x=時(shí),對于B,y=sin=0,對于D,y=sin=,又圖象關(guān)于直線x=對稱,從而排除B,D選項(xiàng),因此選C. (2)由題意知g(x)=3sin=3sin,因?yàn)間(x)是奇函數(shù),所以+φ=kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),又0<φ<π,所

16、以φ=,所以g(x)=3sin(2x+π)=-3sin 2x,由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).故選B. 【答案】 (1)C (2)B (1)討論三角函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性,都必須首先利用輔助角公式,將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù). (2)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間,是將ωx+φ作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間),求出的區(qū)間即為y=Asin(ωx+φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間),但是當(dāng)A>0,ω<0時(shí),需先利用誘導(dǎo)公式變形為y=-Asin(-ωx

17、-φ),則y=Asin(-ωx-φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間,減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間.  [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=時(shí)取得最小值,則f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.[,π] B.[,] C.[0,] D.[,π] 解析:選A.因?yàn)?<θ<π,所以<+θ<,又f(x)=cos(x+θ)在x=時(shí)取得最小值,所以+θ=π,θ=,所以f(x)=cos.由0≤x≤π,得≤x+≤.由π≤x+≤,得≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是,故選A. 2.(一題多解)(2018·高

18、考全國卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x 在[-a,a]是減函數(shù),則a的最大值是(  ) A.    B.    C.    D.π 解析:選A.法一:f(x)=cos x-sin x=cos,且函數(shù)y=cos x在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減,則由0≤x+≤π,得-≤x≤.因?yàn)閒(x)在[-a,a]上是減函數(shù),所以解得a≤,所以0

19、成立,結(jié)合函數(shù)y=sin的圖象可知有解得a≤,所以0

20、 2x+sin 2x =2sin, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T==π. (2)由(1)知f(x)=2sin,先將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)y=2sin的圖象,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)=2sin的圖象. 令t=x+, 則函數(shù)g(x)可轉(zhuǎn)化為y=2sin t. 因?yàn)椤躼≤2π,所以≤t≤, 所以當(dāng)t=,即x=時(shí),ymax=g=2; 當(dāng)t=,即x=2π時(shí),ymin=g(2π)=-1. 所以函數(shù)y=g(x)在上的值域?yàn)閇-1,2]. 求解三角函數(shù)的最值或值域,最基本的方法就是換元法,通常有兩種類型: (

21、1)“一角一函數(shù)”型:通過三角恒等變換,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的最值或值域問題,可利用t=ωx+φ換元轉(zhuǎn)化為基本的三角函數(shù)y=Asin t(或y=Acos t)的最值或值域問題求解. (2)“二次函數(shù)”型:將問題轉(zhuǎn)化為y=asin2(ωx+φ)+bsin(ωx+φ)+c的最值或值域問題,可通過t=sin(ωx+φ)換元轉(zhuǎn)化為y=at2+bt+c的最值或值域問題求解.求解函數(shù)在指定區(qū)間上的最值或值域,要注意換元后“元”的取值范圍.  [對點(diǎn)訓(xùn)練] 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為,且在x=時(shí)取得最大

22、值1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)當(dāng)x∈時(shí),若方程f(x)=a恰好有三個(gè)根,分別為x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范圍. 解:(1)=?T=π?=π?ω=2, 所以sin=sin=1, 所以+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z, 因?yàn)?≤φ≤,所以φ=,所以f(x)=sin. (2)畫出該函數(shù)的圖象如圖,當(dāng)≤a<1時(shí),方程f(x)=a恰好有三個(gè)根,且點(diǎn)(x1,a)和(x2,a)關(guān)于直線x=對稱,點(diǎn)(x2,a)和(x3,a)關(guān)于直線x=對稱,所以x1+x2=,π≤x3<,所以≤x1+x2+x3<. 一、選擇題 1.(2018·南寧模擬)如圖

23、,函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)的圖象過點(diǎn)(0,),則函數(shù)f(x)的解析式為(  ) A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin 解析:選B.由函數(shù)圖象可知,A=2,又函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,),所以2sin φ=,即sin φ=,由于|φ|<,所以φ=,于是f(x)=2sin,故選B. 2.(2018·鄭州質(zhì)量檢測(二))已知函數(shù)f(x)=cos-cos 2x,若要得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象,則可以將函數(shù)f(x)的圖象(  ) A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度 C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單

24、位長度 解析:選C.f(x)=cos-cos 2x=cos-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin=2sin,所以將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得到奇函數(shù)y=2sin 2x的圖象.故選C. 3.(2018·廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍為(  ) A.        B. C. D. 解析:選B.因?yàn)閤∈,所以ωx+∈,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以又ω>0,所以0<ω≤,選B. 4.(2018·石家莊質(zhì)量檢測(二))已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如

25、圖所示,已知點(diǎn)A(0,),B,若將它的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸方程為(  ) A.x= B.x= C.x= D.x= 解析:選A.因?yàn)閒(0)=2sin φ=,所以sin φ=,又|φ|<π,所以φ=或,又f=2sin=0,所以+φ=kπ(k∈Z),所以ω=×=6k-2(k∈Z),或ω=×=6k-4(k∈Z),又ω>0,且==>,所以ω<3,所以ω=2,φ=,所以f(x)=2sin,將其圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,所以g(x)=2sin=2sin,g(x)圖象的對稱軸方程滿足2x+=kπ+(k∈Z),所以x

26、=+(k∈Z),故選A. 5.(2018·惠州第二次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+θ)(|θ|≤,A>0)的部分圖象如圖所示,且f(a)=f(b)=0,對不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),有f(x1+x2)=,則(  ) A.f(x)在上是減函數(shù) B.f(x)在上是增函數(shù) C.f(x)在上是減函數(shù) D.f(x)在上是增函數(shù) 解析:選B.由題圖知A=2,設(shè)m∈[a,b],且f(0)=f(m),則f(0+m)=f(m)=f(0)=,所以2sin θ=,sin θ=,又|θ|≤,所以θ=,所以f(x)=2sin,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得

27、-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增.所以選項(xiàng)B正確. 6.(2018·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)已知函數(shù)f(x)=1+2cos xcos(x+3φ)是偶函數(shù),其中φ∈,則下列關(guān)于函數(shù)g(x)=cos(2x-φ)的正確描述是(  ) A.g(x)在區(qū)間上的最小值為-1 B.g(x)的圖象可由函數(shù)f(x)的圖象向上平移2個(gè)單位長度,向右平移個(gè)單位長度得到 C.g(x)的圖象的一個(gè)對稱中心是 D.g(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是 解析:選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1+2cos xcos(x+3φ)是偶函數(shù),y=1,y=2cos x都是偶函數(shù),所以y=cos(x+3φ)是偶函數(shù),

28、所以3φ=kπ,k∈Z,所以φ=,k∈Z,又0<φ<,所以φ=,所以g(x)=cos.當(dāng)-≤x≤時(shí),-≤2x-≤,cos∈[0,1],故A錯(cuò)誤;f(x)=1+2cos xcos(x+π)=1-2cos2 x=-cos 2x,顯然B錯(cuò)誤;當(dāng)x=-時(shí),g(x)=cos=0,故C正確;當(dāng)0≤x≤時(shí),-≤2x-≤,g(x)=cos有增有減,故D錯(cuò)誤.故選C. 二、填空題 7.(2018·遼寧五校聯(lián)合體模擬)已知函數(shù)f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),A(a,0),B(b,0)是其圖象上兩點(diǎn),若|a-b|的最小值是1,則f=________. 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4c

29、os(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),所以cos φ=0(0<φ<π),所以φ=,所以f(x)=-4sin ωx,又A(a,0),B(b,0)是其圖象上兩點(diǎn),且|a-b|的最小值是1,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2,所以ω=π,所以f(x)=-4sin πx,所以f=-4sin =-2. 答案:-2 8.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<),f(0)=-f,若將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則φ=________. 解析:因?yàn)閒(0)=-f,則sin φ=-sin,所以ω=4k+2,k∈Z,將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度

30、后所得函數(shù)y=sin的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則+φ=kπ,k∈Z,由ω>0,0<φ<得ω=10,φ=. 答案: 9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+acos(2x+φ)(0<φ<π)的最大值為2,且滿足f(x)=f,則φ=________. 解析:因?yàn)閒(x)=f,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,由函數(shù)的解析式可得=2,即a2=3. 若a=,則f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin, 由函數(shù)圖象的對稱性可得2×+φ+=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z),因?yàn)?<φ<π,所以φ=; 若a=-,則f(x)=sin(2x+φ)-cos(2x+φ)=2

31、sin, 由函數(shù)圖象的對稱性可得2×+φ-=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z),因?yàn)?<φ<π,所以φ=. 綜上可得φ=或. 答案:或 三、解答題 10.已知函數(shù)f(x)=sin4x+cos4x+sin 2xcos 2x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)當(dāng)x∈時(shí),求f(x)的最值. 解:f(x)=sin4x+cos4x+sin 2xcos 2x =(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+sin 4x =1-sin2 2x+sin 4x =1-·+sin 4x =sin 4x+cos 4x+ =sin+. (1)T==. (2)當(dāng)x∈時(shí)

32、, 4x+∈,sin∈,則當(dāng)4x+=,即x=時(shí),函數(shù)f(x)取最大值;當(dāng)4x+=,即x=時(shí),函數(shù)f(x)取最小值.所以,當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)f(x)的最大值是,最小值是. 11.已知函數(shù)f(x)=sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<ω<1),若點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對稱中心. (1)求f(x)的解析式,并求距y軸最近的一條對稱軸的方程; (2)先列表,再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象. 解:(1)f(x)=sin 2ωx+(cos2ωx-sin2ωx)(cos2ωx+sin2ωx)+1 =sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin+1. 因

33、為點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對稱中心, 所以-+=kπ,k∈Z, 所以ω=-3k+,k∈Z. 因?yàn)?<ω<1, 所以k=0,ω=, 所以f(x)=2sin+1. 由x+=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z, 令k=0,得距y軸最近的一條對稱軸方程為x=. (2)由(1)知,f(x)=2sin+1,當(dāng)x∈[-π,π]時(shí),列表如下: x+ - - 0 π x -π - - π f(x) 0 -1 1 3 1 0 則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象如圖所示. 12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin ωx·cos ωx-cos2ω

34、x+(ω>0)的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為. (1)求ω的值; (2)若函數(shù)y=f(x+φ)(0<φ<)是奇函數(shù),求函數(shù)g(x)=cos(2x-φ)在[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間. 解:(1)f(x)=sin ωx·cos ωx-cos2ωx+ =sin 2ωx-+ =sin 2ωx-cos 2ωx =sin, 設(shè)T為f(x)的最小正周期,由f(x)的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為,得 +[2f(x)max]2=π2+4, 因?yàn)閒(x)max=1,所以+4=π2+4, 整理得T=2π. 又ω>0,T==2π,所以ω=. (2)由(1)可知f(x)=sin, 所以f(x+φ)=sin. 因?yàn)閥=f(x+φ)是奇函數(shù),則sin=0. 又0<φ<,所以φ=, 所以g(x)=cos(2x-φ)=cos. 令2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z, 則kπ+≤x≤kπ+,k∈Z, 所以單調(diào)遞減區(qū)間是,k∈Z, 又因?yàn)閤∈[0,2π], 所以當(dāng)k=0時(shí),遞減區(qū)間是; 當(dāng)k=1時(shí),遞減區(qū)間是. 所以函數(shù)g(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間是,. 20

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