2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題二 1 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案
《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題二 1 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 專題二 1 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案(20頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 年份 卷別 考查內(nèi)容及考題位置 命題分析 2018 卷Ⅰ 三角函數(shù)的最值·T16 高考對此部分內(nèi)容主要以選擇、填空題的形式考查,難度為中等偏下,大多出現(xiàn)在第6~12題或第14、15題位置上,命題的熱點(diǎn)主要集中在三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì),主要考查圖象的變換,函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值,并常與三角恒等變換交匯命題. 卷Ⅱ 三角函數(shù)的單調(diào)性·T10 卷Ⅲ 三角函數(shù)圖象的應(yīng)用·T15 2017 卷Ⅰ 三角函數(shù)的圖象變換·T9 卷Ⅱ 三角函數(shù)的最值·T14 卷Ⅲ 余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)·T6 2016 卷Ⅱ
2、 三角函數(shù)的圖象變換與性質(zhì)·T7 卷Ⅲ 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系·T5 三角函數(shù)的圖象變換·T14 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系(基礎(chǔ)型) 三角函數(shù)的定義 若角α的終邊過點(diǎn)P(x,y),則sin α=,cos α=, tan α=(其中r=). 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值的步驟 利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟:去負(fù)—脫周—化銳.特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定. [注意] “奇變偶不變,符號(hào)看象限”. 基本關(guān)系 sin2x+cos2x=1,tan x=. [考法全練] 1.若sin=-,且α∈,則tan(π-α)=( ) A.
3、 B. C.- D.- 解析:選A.由sin=cos α=-,且α∈, 得sin α==, 所以tan(π-α)=-tan α =-=-=. 2.(2018·唐山模擬)已知α是第三象限的角,且tan α=2,則sin=( ) A.- B. C.- D. 解析:選C.因?yàn)棣潦堑谌笙薜慕?,tan α=2,則所以cos α=-=-,sin α=-,則sin=sin αcos+cos αsin=-×-×=-,故選C. 3.已知θ∈,則 =____________. 解析:因?yàn)?===|sin θ-cos θ|,又θ∈,所以原式=sin θ-cos
4、 θ. 答案:sin θ-cos θ 4.已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊上一點(diǎn)P(-4,3),則的值為________. 解析:因?yàn)閠an α==-, 所以 = =tan α=-. 答案:- 5.(2018·武漢調(diào)研)若tan α=cos α,則+cos4α=____________. 解析:tan α=cos α?=cos α?sin α=cos2α,故+cos4α=+cos4α=sin α++cos4α=sin α++sin2α=sin2α+sin α+1=sin2α+cos2α+1=1+1=2. 答案:2 三角函數(shù)的圖象與解析式(綜合型)
5、 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 (1)“五點(diǎn)法”作圖 設(shè)z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值與相應(yīng)的y的值,描點(diǎn)、連線可得. (2)圖象變換 y=sin x的圖象y=sin(x+φ)的圖象y=sin(ωx+φ)的圖象y=Asin(ωx+φ)的圖象. [典型例題] 命題角度一 由“圖”定“式” (一題多解)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ), 的圖象如圖所示,若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,則f(x1+x2)的值為( ) A.0 B.1 C. D. 【解析】 法一:由f(x)=2sin(ωx+φ),x∈的圖象
6、,得最小正周期T===π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),將點(diǎn)代入,得sin=-1,又φ∈,解得φ=,所以f(x)=2sin,由f(x1)=f(x2)得sin =sin,因?yàn)閤∈,所以0≤2x+≤,所以2x1++2x2+=π,所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=2sin =1,故選B. 法二:由f(x)=2sin,x∈的圖象,得最小正周期T===π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),將點(diǎn)代入,得sin=-1,又φ∈,解得φ=,所以f(x)=2sin(2x+),因?yàn)閒(x1)=f(x2)且x1≠x2,由圖象得x1+x2=,所以f(x1+x2)=2sin=1,故
7、選B. 【答案】 B 由“圖”定“式”找“對應(yīng)” 由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中參數(shù)的值,關(guān)鍵是把握函數(shù)圖象的特征與參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,其基本依據(jù)就是“五點(diǎn)法”作圖. (1)最值定A,B:根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值,設(shè)最大值為M,最小值為m,則M=A+B,m=-A+B,解得B=,A=. (2)T定ω:由周期的求解公式T=,可得ω=.記住三角函數(shù)的周期T的相關(guān)結(jié)論: ①兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離等于. ②兩條相鄰對稱軸之間的距離等于. ③對稱中心與相鄰對稱軸的距離等于. (3)點(diǎn)坐標(biāo)定φ:一般運(yùn)用代入法求解φ值,在求解過程中,可以代
8、入圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)(此時(shí)A,ω,B已知),也可代入圖象與直線y=B的交點(diǎn)(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).注意在確定φ值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口,即“峰點(diǎn)”“谷點(diǎn)”與三個(gè)“中心點(diǎn)”,利用“中心點(diǎn)”時(shí)要注意其所在單調(diào)區(qū)間的單調(diào)性,避免產(chǎn)生增解. 命題角度二 圖象變換 (1)(一題多解)(2018·南昌調(diào)研)函數(shù)y=sin的圖象可以由函數(shù)y=cos 的圖象( ) A.向右平移個(gè)單位長度得到 B.向右平移個(gè)單位長度得到 C.向左平移個(gè)單位長度得到 D.向左平移個(gè)單位長度得到 (2)(2018·石家莊質(zhì)量檢測(一))若ω>0,函數(shù)y=cos的圖
9、象向右平移個(gè)單位長度后與函數(shù)y=sin ωx的圖象重合,則ω的最小值為( ) A. B. C. D. 【解析】 (1)法一:由y=cos =sin,y=sin=sin,知函數(shù)y=sin的圖象可以由y=cos的圖象向右平移個(gè)單位長度得到. 法二:在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的部分圖象如圖所示,易知選B. (2)函數(shù)y=cos的圖象向右平移個(gè)單位長度后,所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為y=cos=cos,其圖象與函數(shù)y=sin ωx=cos,k∈Z的圖象重合,所以-+2kπ=-+,k∈Z,所以ω=-6k+,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值為,故選B. 【答案】 (1)B (2)B
10、 (1)平移規(guī)律 由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種方法. (2)圖象變換的實(shí)質(zhì) 圖象變換的實(shí)質(zhì)——點(diǎn)的坐標(biāo)的變換,三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換,可以利用兩個(gè)函數(shù)圖象上的兩個(gè)特征點(diǎn)之間的對應(yīng)確定變換的方式,一般選取與y軸最近的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),當(dāng)然也可以選取在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)中心點(diǎn),根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)即可確定變換的方式、平移的長度與方向等. 命題角度三 圖象的應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)=4sincos x+,若函數(shù)g(x)=f(x)-m在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________. 【解析】 方程g(x)
11、=0同解于f(x)=m,在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=2sin在上的圖象,如圖所示,由圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)m∈[,2)時(shí),方程f(x)=m有兩個(gè)不同的解. 【答案】 [,2) 巧用圖象解決三角方程或不等式問題 解決與三角函數(shù)相關(guān)的方程以及不等式問題,最基本的方法就是作出對應(yīng)函數(shù)的圖象,然后結(jié)合函數(shù)的圖象的特征確定方程的解或不等式的解集.準(zhǔn)確作出對應(yīng)函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵,尤其是作出函數(shù)在指定區(qū)間上的圖象,需要準(zhǔn)確把握函數(shù)圖象的端點(diǎn)值以及最值. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·開封模擬)如果存在正整數(shù)ω和實(shí)數(shù)φ使得函數(shù)f(x)=sin2(ωx+φ)的圖象如圖所示(圖象經(jīng)
12、過點(diǎn)(1,0)),那么ω的值為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選B.由f(x)=sin2(ωx+φ)=及其圖象知,<×<1,即<ω<π,所以正整數(shù)ω=2或3.由函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),得f(1)==0,得2ω+2φ=2kπ(k∈Z),即2φ=2kπ-2ω(k∈Z).由圖象知f(0)>,即=>,得cos 2ω<0,所以ω=2,故選B. 2.(2018·廣州調(diào)研)將函數(shù)y=2sinsin的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)恰為奇函數(shù),則φ的最小值為( ) A. B. C. D. 解析:選A.由y=2sinsin可得y=
13、2sincos=sin,該函數(shù)的圖象向左平移φ個(gè)單位長度后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin=sin,因?yàn)間(x)=sin為奇函數(shù),所以2φ+=kπ(k∈Z),φ=-(k∈Z),又φ>0,故φ的最小值為,選A. 三角函數(shù)的性質(zhì)(綜合型) 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z). (2)y=cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z). (3)y=tan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z). 三角函數(shù)的奇偶性、對稱軸方程 (1)y=Asin(ωx+φ),當(dāng)
14、φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù); 當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù); 對稱軸方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得. (2)y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù); 當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù);對稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. (3)y=Atan(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù). [典型例題] (1)(2018·柳州模擬)下列函數(shù)中同時(shí)具有以下性質(zhì)的是( ) ①最小正周期是π;②圖象關(guān)于直線x=對稱;③在 上是增函數(shù);④圖象的一個(gè)對稱中心為. A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin (
15、2)(2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)若將函數(shù)f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)圖象上的每一個(gè)點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度,得到g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z) 【解析】 (1)因?yàn)樽钚≌芷谑铅?,所以ω?,排除A選項(xiàng);當(dāng)x=時(shí),對于B,y=sin=0,對于D,y=sin=,又圖象關(guān)于直線x=對稱,從而排除B,D選項(xiàng),因此選C. (2)由題意知g(x)=3sin=3sin,因?yàn)間(x)是奇函數(shù),所以+φ=kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),又0<φ<π,所
16、以φ=,所以g(x)=3sin(2x+π)=-3sin 2x,由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).故選B. 【答案】 (1)C (2)B (1)討論三角函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性,都必須首先利用輔助角公式,將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù). (2)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間,是將ωx+φ作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間),求出的區(qū)間即為y=Asin(ωx+φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間),但是當(dāng)A>0,ω<0時(shí),需先利用誘導(dǎo)公式變形為y=-Asin(-ωx
17、-φ),則y=Asin(-ωx-φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間,減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=時(shí)取得最小值,則f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A.[,π] B.[,] C.[0,] D.[,π] 解析:選A.因?yàn)?<θ<π,所以<+θ<,又f(x)=cos(x+θ)在x=時(shí)取得最小值,所以+θ=π,θ=,所以f(x)=cos.由0≤x≤π,得≤x+≤.由π≤x+≤,得≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是,故選A. 2.(一題多解)(2018·高
18、考全國卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x 在[-a,a]是減函數(shù),則a的最大值是( ) A. B. C. D.π 解析:選A.法一:f(x)=cos x-sin x=cos,且函數(shù)y=cos x在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減,則由0≤x+≤π,得-≤x≤.因?yàn)閒(x)在[-a,a]上是減函數(shù),所以解得a≤,所以0
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