2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考系列 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考定位高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識.真 題 感 悟1.(2018全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率.解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos 0時，l的直角坐標(biāo)方程為ytan x2tan ，當(dāng)cos 0時，l的直角坐標(biāo)方程為x1.

2、(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24 (2cos sin )t80.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.2.(2018全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)，求C1的方程.解(1)由xcos ，ysin ，得C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22x30，即(x

3、1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1，0)，半徑為2的圓.由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0，2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)等價于l1與C2只有一個公共點(diǎn)且l2與C2有兩個公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個公共點(diǎn)且l1與C2有兩個公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2只有一個公共點(diǎn)時，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時，l1與C2只有一個公共點(diǎn)，l2與C2有兩個公共點(diǎn).當(dāng)l2與C2只有一個公共點(diǎn)時，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k

4、0時，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時，l2與C2沒有公共點(diǎn).綜上，所求C1的方程為y|x|2.考 點(diǎn) 整 合1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(，)，則2.直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為sin()0sin(0).幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過極點(diǎn)：；(2)直線過點(diǎn)M(a，0)(a0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.3.圓的極坐標(biāo)方程幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心

5、位于極點(diǎn)，半徑為r：r；(2)當(dāng)圓心位于M(r，0)，半徑為r：2rcos ；(3)當(dāng)圓心位于M，半徑為r：2rsin .4.直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).設(shè)P是直線上的任一點(diǎn)，則t表示有向線段的數(shù)量.5.圓、橢圓的參數(shù)方程(1)圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02).(2)橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).熱點(diǎn)一曲線的極坐標(biāo)方程【例1】 (2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)設(shè)點(diǎn)M為曲線C1上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且|OM|O

6、P|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值.解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10).由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程為4cos (0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0).由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|BsinAOB4cos 22.當(dāng)時，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.探究提高1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan

7、(x0)，要注意，的取值范圍及其影響，靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧.2.由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.【訓(xùn)練1】 (2018江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為sin2，曲線C的方程為4cos ，求直線l被曲線C截得的弦長.解因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為4cos ，所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓.因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為sin2，則直線l過A(4，0)，傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個交點(diǎn).設(shè)另一個交點(diǎn)為B，則OAB.連接OB.因?yàn)镺A為直徑，從而OBA，所以ABOAcosOAB4cos 2.因此，直線l被曲線

8、C截得的弦長為2.熱點(diǎn)二參數(shù)方程及其應(yīng)用【例2】 (2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a.解(1)a1時，直線l的普通方程為x4y30.曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21，聯(lián)立方程解得或則C與l交點(diǎn)坐標(biāo)是(3，0)和.(2)直線l的普通方程是x4y4a0.設(shè)曲線C上點(diǎn)P(3cos ，sin ).則P到l距離d，其中tan .又點(diǎn)C到直線l距離的最大值為.|5sin()4a|的最大值為17.若a0，則54a17，a8.若a0，則54a17，a16.綜上，實(shí)數(shù)a的值為a1

9、6或a8.探究提高1.將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.2.在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.【訓(xùn)練2】 (2018石家莊調(diào)研)已知在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C是線段AB的中點(diǎn).以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).(1)求點(diǎn)C的直角坐標(biāo)，并求曲線的普通方程；(2)設(shè)直線l過點(diǎn)C交曲

10、線于P，Q兩點(diǎn)，求的值.解(1)將點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，得A(，1)和B(，3).所以點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(0，2).將消去參數(shù)，得x2(y2)24，曲線的普通方程為x2(y2)24.(2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為直線l的傾斜角)，代入x2(y2)24，整理得：t28tsin 120.設(shè)點(diǎn)P，Q對應(yīng)的參數(shù)值分別為t1，t2，則t1t212，|t1t2|12.熱點(diǎn)三極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【例3】 (2018菏澤模擬)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，00).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4

11、cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓.將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20. (2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)，a1.a1時，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上.所

12、以a1.6.(2018全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(diǎn)(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.解(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時，l與O交于兩點(diǎn).當(dāng)時，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)1，解得k1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，).設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 (為參數(shù)，0，則|sin cos |.又sin cos sin，所以|sin cos |.所以|sin cos |.所以.13