2019版高考數(shù)學一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第20講 三角函數(shù)的圖象與性質學案

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1、 第20講　三角函數(shù)的圖象與性質 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性． 2．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內的單調性． 3．了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響． 4．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題． 2017·全國卷Ⅰ，9 2017·全國卷Ⅱ，14 2017·全國卷Ⅲ，6

2、2017·山東卷，16 2017·天津卷，7 2017·浙江卷，18 1.三角函數(shù)的性質是高考的必考內容，常與三角函數(shù)的圖象結合，主要考查三角函數(shù)的周期性、單調性、最值、奇偶性、對稱性． 2．高考中常以選擇、填空題的形式考查三角函數(shù)關系式、三角函數(shù)誘導公式、三角函數(shù)的奇偶性及對稱性，屬于中低檔題． 3．以解答題的形式考查三角函數(shù)的單調性、最值，常與平面向量、解三角形及三角恒等變換相結合． 分值：5～12分 1．“五點法”作圖的原理 在確定正弦函數(shù)y＝sin x在[0,2π]上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是__(0,0)__，?。?！　　###，__(π，0)__，　　

3、，__(2π，0)__． 2．三角函數(shù)的圖象和性質 函數(shù) 性質 　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定義域 R R ?。?！　(k∈Z)　### 一個 周期的 圖象 值域 __[－1,1]__ __[－1,1]__ ?。。　　### 對稱性 對稱軸： ?。?！　x＝kπ＋(k∈Z)　###； 對稱中心： (kπ，0)(k∈Z) 對稱軸： x＝kπ(k∈Z)； 對稱中心： ！?。　?k∈Z)　### 對稱中心： (k∈Z) 函數(shù) 性質 　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 周期

4、__2π__ __2π__ __π__ 單調性 單調增區(qū)間： ！??！　　### (k∈Z)； 單調減區(qū)間： ?。?！　 (k∈Z) 　### 單調增區(qū)間： ?。?！　(－π＋2kπ，2kπ)(k∈Z)　###； 單調減區(qū)間： ?。?！　(2kπ，π＋2kπ)(k∈Z)　### 單調增區(qū)間： ！?。　? (k∈Z) 　### 奇偶性 __奇函數(shù)__ __偶函數(shù)__ __奇函數(shù)__ 3．用五點畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖 用五點畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示. x ?。?！?。?## ?。?！?。?/p>

5、　### ！??！　　### ?。?！?。?## ！?。　　?## ωx＋φ __0__ ?。。　　?## __π__ ?。?！　　### __2π__ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4．函數(shù)y＝sin x與y＝Asin(ωx＋φ)的圖象間的變換關系 5．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念及物理量 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時) 振幅 周期 頻率 相位 初相 ____A____ T＝?。?！　　### f＝！??！　　### __ωx＋φ__ __φ__ 1．思維辨

6、析(在括號內打“√”或“×”)． (1)把y＝sin x的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，所得圖象對應的函數(shù)解析式為y＝sin x.(　×　) (2)正弦函數(shù)y＝sin x的圖象在[0,2π]上的五個關鍵點是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(　√　) (3)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致．(　×　) (4)由圖象求解析式時，振幅A的大小是由一個周期內的圖象中的最高點的值與最低點的值確定的．(　√　) 解析　(1)錯誤．橫坐標縮短，周期變小，ω變大，故變換后，所得圖象的解析式為y＝sin 2x. (2)正確．由正弦函數(shù)y＝

7、sin x的圖象易知． (3)錯誤．“先平移，后伸縮”的平移單位長度為 |φ|，而“先伸縮，后平移”的平移單位長度為(ω>0)．故當ω≠1時平移的長度不相等． (4)正確．振幅A的值是由最大值M與最小值m確定的， 其中A＝. 2．函數(shù)y＝cos x(x∈R)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)的解析式應為g(x)＝(　A　) A．－sin x　　　 B．sin x C．－cos x　　　 D．cos x 解析　y＝cos xy＝cos＝－sin x. 3．將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象的對稱軸是(　B　) A．x＝＋，k

8、∈Z B．x＝＋，k∈Z C．x＝－，k∈Z D．x＝kπ－，k∈Z 解析　y＝sin的圖象向右平移個單位長度， 得y＝sin＝sin.令2x－＝ ＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z. 4．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象如圖所示，則ω＝！?。　　?##. 解析　由圖知，＝－＝，T＝.即＝，故ω＝. 5．(2017·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是__1__. 解析　依題意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，因為x∈，所以cos x∈[0,1]，因此當cos x＝時，f(x)max＝1.

9、 一　三角函數(shù)圖象的變換 三角函數(shù)圖象的幾種變換 (1)平移變換： ①沿x軸平移：由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x＋φ)時，“左加右減”，即φ>0，左移；φ<0，右移． ②沿y軸平移：由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x)＋k時，“上加下減”，即k>0，上移；k<0，下移． (2)伸縮變換： ①沿x軸伸縮：由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(ωx)時，點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮? ②沿y軸伸縮：由y＝f(x)變?yōu)閥＝Af(x)時，點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膢A|倍． 【例1】 (1)(2017·全國卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結論正確的是(　D

10、　) A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 (2)將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到y(tǒng)＝sin x的圖象，則f＝！?。　　?##. 解析　(1)易知

11、C1：y＝cos x＝sin，把曲線C1上的各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin 的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)y＝sin＝sin的圖象，即曲線C2，故選D． (2)把函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移個單位長度得到y(tǒng)＝sin的圖象，再把函數(shù)y＝sin圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)f(x)＝sin的圖象，所以f＝sin＝sin＝. 二　由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 求φ常用的方法 (1)代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，ω已知)或代入圖象與直線y＝b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還

12、是在下降區(qū)間上)． (2)五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口，具體如下： “第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)時ωx＋φ＝；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)時ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)時ωx＋φ＝；“第五點”時ωx＋φ＝2π. 【例2】 (1)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是(　A　) A．2，－　　　　　 B．2，－ C．4，－　　　　　 D．4， (2)如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)的圖象的一部分，它的振幅、周期

13、、初相各是(　C　) A．A＝3，T＝，φ＝－ B．A＝1，T＝，φ＝ C．A＝1，T＝，φ＝－ D．A＝1，T＝，φ＝－ 解析　(1)因為＝－， 所以T＝π.又T＝(ω>0)，所以＝π，所以ω＝2. 又2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，故φ＝－. (2)由圖象知，A＝＝1，＝－＝，則T＝， ω＝.由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 令k＝0，得φ＝－. 三　三角函數(shù)的單調性 三角函數(shù)單調性問題的常見類型及解題策略 (1)已知三角函數(shù)的解析式求單調區(qū)間： ①求函數(shù)的單調區(qū)間應遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復合函數(shù)單調性“同增異

14、減”的規(guī)律； ②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數(shù)，防止把單調性弄錯． (2)已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)，先求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解． 【例3】 已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是(　A　) A．　　　 B． C．　　　 D．[0,2] 解析　由0得，＋<ωx＋<ωπ＋.又y＝sin x在上遞減，所以 解得≤ω≤，故選A． 【例4】 (2017·浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝s

15、in2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間． 解析　(1)由sin ＝，cos ＝－， f＝2－2－2××，得f＝2. (2)由cos 2x＝cos2x－sin2x與sin 2x＝2sin xcos x得 f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)． 四　三角函數(shù)的值域及最值 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)，可先化

16、為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數(shù)，可先設t＝sin x±cos x，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)． 注意：(2)(3)中換元后t的取值范圍要標出． 【例5】 (2017·山東卷)設函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0. (1)求ω； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，

17、得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值． 解析　(1)f(x)＝sin＋sin ＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx ＝＝sin. 由題設知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因此x∈，所以x－∈， 當x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－. 五　三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性 三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的處理方法 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋(k∈Z)，同時當x

18、＝0時，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，同時當x＝0時，f(x)＝0. (2)求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan (ωx＋φ)的形式，再分別應用公式T＝，T＝，T＝求解． (3)對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x＝x0或點(x0,0)是否是函數(shù)的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷． 【例6】 (1)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0

19、，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的(　B　) A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件　　　　 D．既不充分也不必要條件 (2)函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一條對稱軸是(　C　) A．x＝　　　 B．x＝ C．x＝－　　　 D．x＝－ (3)設函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為__π__. 解析　(1)f(x)是奇函數(shù)時，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝時，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，為奇函數(shù)，所以“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的必要

20、不充分條件． (2)∵正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.取k＝－1，則x＝－. (3)記f(x)的最小正周期為T.由題意知≥－＝. 又f＝f＝－f，且－＝. 可作出示意圖如圖所示(一種情況)． ∴x1＝×＝，x2＝×＝， ∴＝x2－x1＝－＝.∴T＝π. 1．(2017·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝cos，則下列結論錯誤的是(　D　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在單調遞減 解析　根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正

21、周期為2π，所以函數(shù)一個周期為－2π，A項正確；當x＝時，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B項正確；f(x＋π)＝cos ＝cos，當x＝時，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C項正確；函數(shù)f(x)＝cos在上單調遞減，在上單調遞增，故D項不正確，故選D． 2．(2017·湖南岳陽一中月考)已知函數(shù)①y＝sin x＋cos x，②y＝2sin xcos x，則下列結論正確的是(　C　) A．兩個函數(shù)的圖象均關于點中心對稱 B．兩個函數(shù)的圖象均關于直線x＝－對稱 C．兩個函數(shù)在區(qū)間上都是單調遞增函數(shù) D．將函數(shù)②的圖象向左平移個單位得到函數(shù)①的圖象 解析　函數(shù)①y＝sin x＋co

22、s x＝sin，②y＝2·sin xcos x＝sin 2x，由于①的圖象關于點中心對稱，②的圖象不關于點中心對稱，故A項不正確；由于函數(shù)①的圖象不可能關于直線x＝－對稱，故B項不正確；由于這兩個函數(shù)在區(qū)間上都是單調遞增函數(shù)，故C項正確；將函數(shù)②的圖象向左平移個單位得到函數(shù)y＝sin的圖象，而y＝sin≠sin，故D項不正確，故選C． 3．若函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)的一段圖象如圖所示，則ω＝__2__，φ＝！?。　　?##. 解析　∵T＝－＝π，∴ω＝＝2.由圖象得 2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ－，k∈Z.∵|φ|≤， ∴k＝1時，φ＝. 4．(2017·山西四校

23、模擬)設x∈，函數(shù)y＝4sin2x－12sin x－1的最大值為a，最小值為b，則a＋b＝__－3__. 解析　令t＝sin x，由于x∈，故t∈. 則y＝4t2－12t－1＝42－10. ∵當t∈時，函數(shù)單調遞減， ∴當t＝－，即x＝－時，y取得最大值，ymax＝6； 當t＝1，即x＝時，y取得最小值，ymin＝－9. ∴a＝6，b＝－9，∴a＋b＝－3. 易錯點1　單調性判斷出錯 錯因分析：正弦型、余弦型函數(shù)求單調區(qū)間時，要看清A，ω的正負． 【例1】 函數(shù)y＝cos的單調減區(qū)間為________. 解析　∵y＝cos， ∴由2kπ≤2x－≤2kπ＋π得＋kπ

24、≤x≤π＋kπ，k∈Z， ∴函數(shù)的單調減區(qū)間為，k∈Z. 答案　，k∈Z 【跟蹤訓練1】 函數(shù)y＝2sin(x∈[0，π])的遞增區(qū)間是(　A　) A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　原函數(shù)化為y＝－2sin(x∈[0，π])， 所以原函數(shù)的增區(qū)間就是函數(shù)y＝sin(0≤x≤π)的減區(qū)間， 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以k＝0時得，故選A． 易錯點2　忽略正、余弦函數(shù)的有界性 錯因分析：sin θ，cos θ的值必須在[－1,1]內． 【例2】 已知sin x＋sin y＝，求sin x－cos2y的最大值、最小值． 解

25、析　令t＝sin x－cos2y，∵sin x＝－sin y， ∴t＝－sin y－1＋sin2y＝2－. ∵∴－≤sin y≤1， 于是，當sin y＝時，tmin＝－； 當sin y＝－時，tmax＝. 【跟蹤訓練2】 已知y＝3－sin x－2cos2x，x∈，求y的最大值與最小值之和． 解析　∵x∈，∴sin x∈. 又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x) ＝22＋， ∴當sin x＝時，ymin＝； 當sin x＝－或sin x＝1時，ymax＝2. 故函數(shù)的最大值與最小值的和為2＋＝. 課時達標　第20講 [解密考綱]本考

26、點考查三角函數(shù)的圖象以及圖象的平移、伸縮變換，三角函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、最值與值域等．一般以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，以解答題出現(xiàn)時，排在解答題靠前位置，難度中等． 一、選擇題 1．函數(shù)y＝的定義域為(　C　) A． B．kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z C．2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z D．R 解析　∵cos x－≥0，得cos x≥， ∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 2．(2018·浙江溫州模擬)為了得到函數(shù)y＝sin 3x＋cos 3x的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 3x的圖象(　A　) A．向右平移個單位　　　 B．向右平移個單位 C．向左平移 個單位　

27、　　 D．向左平移個單位 解析　因為y＝sin 3x＋cos 3x＝cos，所以將y＝cos 3x的圖象向右平移個單位后可得到y(tǒng)＝cos的圖象. 3．(2018·遼寧營口模擬)將函數(shù)y＝3sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)(　B　) A．在區(qū)間上單調遞減 B．在區(qū)間上單調遞增 C．在區(qū)間上單調遞減 D．在區(qū)間上單調遞增 解析　由題可得平移后的函數(shù)為y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ＋≤x≤kπ＋，故該函數(shù)在(k∈Z)上單調遞增，當k＝0時，選項B滿足條件，故選B． 4．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈，

28、且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝(　D　) A．1　　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析　觀察圖象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ). 將代入上式得sin＝0. 由|φ|<，得φ＝，則f(x)＝sin. 函數(shù)圖象的對稱軸為x＝＝. 又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝， ∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝，故選D． 5．(2018·河南鄭州模擬)如果函數(shù)y＝3sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，則|φ|的最小值為(　A　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析　由題意，得sin＝±1．

29、 所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ(k∈Z)，故|φ|min＝. 6．(2017·天津卷)設函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π，若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則(　A　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ 解析　由f＝2，得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，① 由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，② 由①②得ω＝－＋(k′－2k)，又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，所以ω＝，又|φ|<π，將ω＝代入①得φ＝，A項符合. 二、填空題 7．(2018·天津模擬)函數(shù)f(x)＝－sin，x∈的最大

30、值是！??！　　###. 解析　因為x∈，所以－≤2x－≤.根據(jù)正弦曲線，得當2x－＝－時，sin取得最小值為－. 故f(x)＝－sin的最大值為. 8．函數(shù)f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos (x＋φ)的最大值為?。?！　1　###. 解析　f(x)＝sin［(x＋φ)＋φ］－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x， 因為x∈R，所以f(x)的最大值為1． 9．把函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos 2x－圖象上各點向右平移φ(φ>0)個單位，得到函數(shù)g(x)＝sin 2x的圖象

31、，則φ的最小值為?。?！　　###. 解析　把函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin圖象上各點向右平移φ(φ>0)個單位，得到函數(shù)g(x)＝sin＝sin＝sin 2x的圖象，則φ的最小值為. 三、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期為π. (1)求ω的值； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性. 解析　(1)因為f(x)＝2sin的最小正周期為π，且ω>0.從而有＝π，故ω＝1． (2)因為f(x)＝2sin. 若0≤x≤，則≤2x＋≤. 當≤2x＋≤，即0≤x≤時，f(x)單調遞增； 當<2x＋≤，即<

32、x≤時，f(x)單調遞減. 綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調遞增， 在區(qū)間上單調遞減. 11．設函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝. (1)求φ； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調遞增區(qū)間. 解析　(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋， 又－π<φ<0，所以k＝－1，則φ＝－. (2)由(1)得，f(x)＝sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z. 可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 因此y＝f(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 12．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上

33、的偶函數(shù)，其圖象關于點M對稱. (1)求ω，φ的值； (2)求f(x)的單調遞增區(qū)間； (3)若x∈，求f(x)的最大值與最小值， 解析　(1)因為f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函數(shù)，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，則φ＝，即f(x)＝cos ωx. 因為圖象關于點M對稱， 所以ω×π＝＋mπ，m∈Z，ω＝＋， 又0<ω<1，所以ω＝. (2)由(1)得f(x)＝cos x，由－π＋2kπ≤x≤2kπ，且 k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z， 所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，k∈Z. (3)因為x∈，所以x∈， 當x＝0時，即x＝0，函數(shù)f(x)的最大值為1， 當x＝－時，即x＝－，函數(shù)f(x)的最小值為0. 19