2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第20講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案

第20講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考綱要求考情分析命題趨勢1.能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性2理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性3了解函數(shù)yAsin(x)的物理意義；能畫出yAsin(x)的圖象，了解參數(shù)A，對函數(shù)圖象變化的影響4了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題2017·全國卷，92017·全國卷，142017·全國卷，62017·山東卷，162017·天津卷，72017·浙江卷，181.三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的必考內(nèi)容，常與三角函數(shù)的圖象結(jié)合，主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性2高考中常以選擇、填空題的形式考查三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的奇偶性及對稱性，屬于中低檔題3以解答題的形式考查三角函數(shù)的單調(diào)性、最值，常與平面向量、解三角形及三角恒等變換相結(jié)合分值：512分1“五點法”作圖的原理在確定正弦函數(shù)ysin x在0,2上的圖象形狀時，起關(guān)鍵作用的五個點是_(0,0)_，！#，_(，0)_，_(2，0)_2三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì) ysin xycos xytan x定義域RR！(kZ)#一個周期的圖象值域_1,1_1,1_！R#對稱性對稱軸：！xk(kZ)#；對稱中心：(k，0)(kZ)對稱軸：xk(kZ)；對稱中心：！(kZ)#對稱中心：(kZ)函數(shù)性質(zhì) ysin xycos xytan x周期_2_2_單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間：！#(kZ)；單調(diào)減區(qū)間：！(kZ) #單調(diào)增區(qū)間：！(2k，2k)(kZ)#；單調(diào)減區(qū)間：！(2k，2k)(kZ)#單調(diào)增區(qū)間：！(kZ) #奇偶性_奇函數(shù)_偶函數(shù)_奇函數(shù)_3用五點畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖用五點畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示.x！#！#！#！#！#x_0_！#_！#_2_yAsin(x)0A0A04函數(shù)ysin x與yAsin(x)的圖象間的變換關(guān)系5函數(shù)yAsin(x)的有關(guān)概念及物理量yAsin(x)(A>0，>0，x0，)表示一個振動量時)振幅周期頻率相位初相_A_T！#f！#_x_1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)把ysin x的圖象上各點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為ysin x.(×)(2)正弦函數(shù)ysin x的圖象在0,2上的五個關(guān)鍵點是(0,0)，(，0)，(2，0)()(3)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致(×)(4)由圖象求解析式時，振幅A的大小是由一個周期內(nèi)的圖象中的最高點的值與最低點的值確定的()解析(1)錯誤橫坐標(biāo)縮短，周期變小，變大，故變換后，所得圖象的解析式為ysin 2x.(2)正確由正弦函數(shù)ysin x的圖象易知(3)錯誤“先平移，后伸縮”的平移單位長度為 |，而“先伸縮，后平移”的平移單位長度為(>0)故當(dāng)1時平移的長度不相等(4)正確振幅A的值是由最大值M與最小值m確定的， 其中A. 2函數(shù)ycos x(xR)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，則g(x)的解析式應(yīng)為g(x)(A)Asin xBsin xCcos xDcos x解析ycos xycossin x.3將函數(shù)ysin的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象的對稱軸是(B)Ax，kZBx，kZCx，kZDxk，kZ解析ysin的圖象向右平移個單位長度，得ysinsin.令2xk，kZ，得x，kZ.4已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0)的圖象如圖所示，則！#.解析由圖知，T.即，故.5(2017·全國卷)函數(shù)f(x)sin2xcos x的最大值是_1_.解析依題意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x21，因為x，所以cos x0,1，因此當(dāng)cos x時，f(x)max1.一三角函數(shù)圖象的變換三角函數(shù)圖象的幾種變換(1)平移變換：沿x軸平移：由yf(x)變?yōu)閥f(x)時，“左加右減”，即>0，左移；<0，右移沿y軸平移：由yf(x)變?yōu)閥f(x)k時，“上加下減”，即k>0，上移；k<0，下移(2)伸縮變換：沿x軸伸縮：由yf(x)變?yōu)閥f(x)時，點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋堆貀軸伸縮：由yf(x)變?yōu)閥Af(x)時，點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢A|倍【例1】 (1)(2017·全國卷)已知曲線C1：ycos x，C2：ysin，則下面結(jié)論正確的是(D)A把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2(2)將函數(shù)f(x)sin(x)圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度得到y(tǒng)sin x的圖象，則f！#.解析(1)易知C1：ycos xsin，把曲線C1上的各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)ysin 的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)ysinsin的圖象，即曲線C2，故選D(2)把函數(shù)ysin x的圖象向左平移個單位長度得到y(tǒng)sin的圖象，再把函數(shù)ysin圖象上每一點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)f(x)sin的圖象，所以fsinsin.二由圖象確定yAsin(x)的解析式求常用的方法(1)代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，已知)或代入圖象與直線yb的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)(2)五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口，具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時x0；“第二點”(即圖象的“峰點”)時x；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)時x；“第四點”(即圖象的“谷點”)時x；“第五點”時x2.【例2】 (1)函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是(A)A2，B2，C4，D4，(2)如圖是函數(shù)yAsin(x)2(A>0，>0)的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(C)AA3，T，BA1，T，CA1，T，DA1，T，解析(1)因為，所以T.又T(>0)，所以，所以2.又2×2k(kZ)，且<<，故.(2)由圖象知，A1，則T，.由×2k，kZ，得2k，kZ，令k0，得.三三角函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)單調(diào)性問題的常見類型及解題策略(1)已知三角函數(shù)的解析式求單調(diào)區(qū)間：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解但如果<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解【例3】 已知>0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是(A)ABCD0,2解析由<x<，>0得，<x<.又ysin x在上遞減，所以解得，故選A【例4】 (2017·浙江卷)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解析(1)由sin ，cos ，f222××，得f2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)四三角函數(shù)的值域及最值(1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)，可先化為yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)注意：(2)(3)中換元后t的取值范圍要標(biāo)出【例5】 (2017·山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)sinsin，其中0<<3.已知f0.(1)求；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的最小值解析(1)f(x)sinsinsin xcos xcos xsin xcos xsin.由題設(shè)知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又0<<3，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因此x，所以x，當(dāng)x，即x時，g(x)取得最小值.五三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的處理方法(1)若f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則k(kZ)，同時當(dāng)x0時，f(x)取得最大或最小值若f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則k(kZ)，同時當(dāng)x0時，f(x)0.(2)求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan (x)的形式，再分別應(yīng)用公式T，T，T求解(3)對于函數(shù)yAsin(x)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線xx0或點(x0,0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷【例6】 (1)已知函數(shù)f(x)Acos(x)(A>0，>0，R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“”的(B)A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件(2)函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對稱軸是(C)AxBxCxDx(3)設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，是常數(shù)，A>0，>0)若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且fff，則f(x)的最小正周期為_.解析(1)f(x)是奇函數(shù)時，k(kZ)；時，f(x)AcosAsin x，為奇函數(shù)，所以“f(x)是奇函數(shù)”是“”的必要不充分條件(2)正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，則x.(3)記f(x)的最小正周期為T.由題意知.又fff，且.可作出示意圖如圖所示(一種情況)x1×，x2×，x2x1.T.1(2017·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯誤的是(D)Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在單調(diào)遞減解析根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期為2，所以函數(shù)一個周期為2，A項正確；當(dāng)x時，x3，所以cos1，所以B項正確；f(x)cos cos，當(dāng)x時，x，所以f(x)0，所以C項正確；函數(shù)f(x)cos在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D項不正確，故選D2(2017·湖南岳陽一中月考)已知函數(shù)ysin xcos x，y2sin xcos x，則下列結(jié)論正確的是(C)A兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點中心對稱B兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x對稱C兩個函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)遞增函數(shù)D將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象解析函數(shù)ysin xcos xsin，y2·sin xcos xsin 2x，由于的圖象關(guān)于點中心對稱，的圖象不關(guān)于點中心對稱，故A項不正確；由于函數(shù)的圖象不可能關(guān)于直線x對稱，故B項不正確；由于這兩個函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)遞增函數(shù)，故C項正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)ysin的圖象，而ysinsin，故D項不正確，故選C3若函數(shù)y2sin(x)的一段圖象如圖所示，則_2_，！#.解析T，2.由圖象得2×2k(kZ)，2k，kZ.|，k1時，.4(2017·山西四校模擬)設(shè)x，函數(shù)y4sin2x12sin x1的最大值為a，最小值為b，則ab_3_.解析令tsin x，由于x，故t.則y4t212t14210.當(dāng)t時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)t，即x時，y取得最大值，ymax6；當(dāng)t1，即x時，y取得最小值，ymin9.a6，b9，ab3.易錯點1單調(diào)性判斷出錯錯因分析：正弦型、余弦型函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時，要看清A，的正負(fù)【例1】 函數(shù)ycos的單調(diào)減區(qū)間為_.解析ycos，由2k2x2k得kxk，kZ，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，kZ.答案，kZ【跟蹤訓(xùn)練1】 函數(shù)y2sin(x0，)的遞增區(qū)間是(A)ABCD解析原函數(shù)化為y2sin(x0，)，所以原函數(shù)的增區(qū)間就是函數(shù)ysin(0x)的減區(qū)間，由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以k0時得，故選A易錯點2忽略正、余弦函數(shù)的有界性錯因分析：sin ，cos 的值必須在1,1內(nèi)【例2】 已知sin xsin y，求sin xcos2y的最大值、最小值解析令tsin xcos2y，sin xsin y，tsin y1sin2y2.sin y1，于是，當(dāng)sin y時，tmin；當(dāng)sin y時，tmax.【跟蹤訓(xùn)練2】 已知y3sin x2cos2x，x，求y的最大值與最小值之和解析x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)22，當(dāng)sin x時，ymin；當(dāng)sin x或sin x1時，ymax2.故函數(shù)的最大值與最小值的和為2.課時達標(biāo)第20講解密考綱本考點考查三角函數(shù)的圖象以及圖象的平移、伸縮變換，三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值與值域等一般以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，以解答題出現(xiàn)時，排在解答題靠前位置，難度中等一、選擇題1函數(shù)y的定義域為(C)ABkxk，kZC2kx2k，kZDR解析cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.2(2018·浙江溫州模擬)為了得到函數(shù)ysin 3xcos 3x的圖象，可以將函數(shù)ycos 3x的圖象(A)A向右平移個單位B向右平移個單位C向左平移 個單位D向左平移個單位解析因為ysin 3xcos 3xcos，所以將ycos 3x的圖象向右平移個單位后可得到y(tǒng)cos的圖象.3(2018·遼寧營口模擬)將函數(shù)y3sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(B)A在區(qū)間上單調(diào)遞減B在區(qū)間上單調(diào)遞增C在區(qū)間上單調(diào)遞減D在區(qū)間上單調(diào)遞增解析由題可得平移后的函數(shù)為y3sin3sin，令2k2x2k，解得kxk，故該函數(shù)在(kZ)上單調(diào)遞增，當(dāng)k0時，選項B滿足條件，故選B4函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)(D)A1BCD解析觀察圖象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x).將代入上式得sin0.由|<，得，則f(x)sin.函數(shù)圖象的對稱軸為x.又x1，x2，且f(x1)f(x2)，x1x2，f(x1x2)sin，故選D5(2018·河南鄭州模擬)如果函數(shù)y3sin(2x)的圖象關(guān)于直線x對稱，則|的最小值為(A)ABCD解析由題意，得sin±1所以k，即k(kZ)，故|min.6(2017·天津卷)設(shè)函數(shù)f(x)2sin(x)，xR，其中>0，|<，若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，則(A)A，B，C，D，解析由f2，得2k(kZ)，由f0，得k(kZ)，由得(k2k)，又最小正周期T>2，所以0<<1，所以，又|<，將代入得，A項符合.二、填空題7(2018·天津模擬)函數(shù)f(x)sin，x的最大值是！#.解析因為x，所以2x.根據(jù)正弦曲線，得當(dāng)2x時，sin取得最小值為.故f(x)sin的最大值為.8函數(shù)f(x)sin(x2)2sin cos (x)的最大值為！1#.解析f(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，因為xR，所以f(x)的最大值為19把函數(shù)f(x)sin xcos xcos 2x圖象上各點向右平移(>0)個單位，得到函數(shù)g(x)sin 2x的圖象，則的最小值為！#.解析把函數(shù)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin圖象上各點向右平移(>0)個單位，得到函數(shù)g(x)sinsinsin 2x的圖象，則的最小值為.三、解答題10已知函數(shù)f(x)2sin(>0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.解析(1)因為f(x)2sin的最小正周期為，且>0.從而有，故1(2)因為f(x)2sin.若0x，則2x.當(dāng)2x，即0x時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)<2x，即<x時，f(x)單調(diào)遞減.綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.11設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(<<0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解析(1)令2×k，kZ，所以k，又<<0，所以k1，則.(2)由(1)得，f(x)sin，令2k2x2k，kZ.可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.12已知函數(shù)f(x)sin(x)(0<<1,0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M對稱.(1)求，的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若x，求f(x)的最大值與最小值，解析(1)因為f(x)sin(x)是R上的偶函數(shù)，所以k，kZ，且0，則，即f(x)cos x.因為圖象關(guān)于點M對稱，所以×m，mZ，又0<<1，所以.(2)由(1)得f(x)cos x，由2kx2k，且 kZ得，3kx3k，kZ，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，kZ.(3)因為x，所以x，當(dāng)x0時，即x0，函數(shù)f(x)的最大值為1，當(dāng)x時，即x，函數(shù)f(x)的最小值為0.19