《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案(10頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第4講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),常涉及的問題有:討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根、求參數(shù)的范圍、證明不等式等,涉及的數(shù)學(xué)思想有:函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等2. 研究函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)就是研究函數(shù)的極值的正負(fù),其主要考查方式有:(1) 確定函數(shù)的零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2) 由函數(shù)的零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)的情況求參數(shù)的取值范圍1. 若a1,則函數(shù)f(x)x3ax21在(0,2)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_答案:1解析:f(x)x22ax,由a1可知,f(x)在x(0,2)時(shí)恒為負(fù),即f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減又
2、f(0)10,f(2)4a10,所以f(x)在(0,2)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)2. (2018南通中學(xué))已知函數(shù)f(x)x32x23m,x0,)若f(x)50恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案:解析:f(x)x24x,由f(x)0,得x4或x0,且b1,函數(shù)f(x)exbx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)(1) 對滿足b0,且b1的任意實(shí)數(shù)b,證明函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過唯一定點(diǎn);(2) 如果關(guān)于x的方程f(x)2有且只有一個(gè)解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍解:(1)假設(shè)yf(x)過定點(diǎn)(x0,y0),則y0ex0bx0對任意b0,且b1恒成立令b2得y0ex02x0;令b3得y0ex03x0,所以2x03x0,即 1
3、,解得唯一解x00,所以y02,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x0時(shí),f(0)2,所以函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過唯一定點(diǎn)(0,2)(2)令g(x)f(x)2exbx2為R上連續(xù)函數(shù),且g(0)0,則方程g(x)0存在一個(gè)解 當(dāng)b1時(shí),g(x)為增函數(shù),此時(shí)g(x)0只有一解 當(dāng)0b0,01,ln b0,令h(x)1 ln b,h(x)為增函數(shù),所以當(dāng)x(,x0)時(shí),h(x)0,所以g(x)0,所以g(x)0,g(x)為增函數(shù)所以g(x)極小值g(x0)又g(x)的定義域?yàn)镽,所以g(x)ming(x0) 若x00,g(x)在(,x0)上為減函數(shù),g(x0)0.所以x(x0,ln 2)時(shí),g(x)至少存在另外一個(gè)零點(diǎn),
4、矛盾 若x00,g(x)在(x0,)上為增函數(shù),g(x0)0,所以g(x)在(logb2,x0)上存在另一個(gè)解,矛盾 當(dāng)x0log(ln b)0時(shí),ln b1,解得b,此時(shí)方程為g(x)ex20,由(1)得只有唯一解x00,滿足條件綜上,當(dāng)b1或b時(shí),方程f(x)2有且只有一個(gè)解(2018揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)ex,g(x)axb,a,bR. (1) 若不等式f(x)x2m對任意x(0,)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2) 若對任意實(shí)數(shù)a,函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(0,)上總有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍解: (1) 由題意得mexx2,x(0,)恒成立令h(x)exx2,x(0,),則
5、h(x)ex2x,再令n(x)h(x)ex2x,則n(x)ex2,故當(dāng)x(0,ln 2)時(shí),n(x)0,n(x)單調(diào)遞增,從而n(x)在(0,)上有最小值n(ln 2)22ln 20,即有h(x)0在(0,)上恒成立,所以h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,故h(x)h(0)e0021,所以m1. (2) 若a0,F(xiàn)(x)f(x)g(x)exaxb在(0,)上單調(diào)遞增,故F(x)f(x)g(x)在(0,)上總有零點(diǎn)的必要條件是F(0)1.以下證明當(dāng)b1時(shí),F(xiàn)(x)f(x)g(x)在(0,)上總有零點(diǎn) 若a0.由于F(0)1b0,且F(x)在(0,)上連續(xù)由零點(diǎn)存在定理可知F(x)在上必有零點(diǎn) 若a0
6、.由exx21x2在x(0,)上恒成立取x0ab,則F(x0)F(ab)eaba(ab)b(ab)2a2abbabb(b1)0.由于F(0)1b0,且F(x)在(0,)上連續(xù)由零點(diǎn)存在定理可知F(x)在(0,ab)上必有零點(diǎn)綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍是(1,),二) 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題,2) (2018貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)1,g(x)xln x求證:(1) g(x)1;(2) (xln x)f(x)1.證明:(1) g(x),當(dāng)0x1時(shí),g(x)1時(shí),g(x)0,即g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,)上為增函數(shù)所以g(x)g(1)1,得證(2) f(x)1,f(x),所以當(dāng)0x2時(shí)
7、,f(x)2時(shí),f(x)0,即f(x)在(0,2)上為減函數(shù),在(2,)上為增函數(shù),所以f(x)f(2)1.又xln x1,且等號不同時(shí)取得,所以(xln x)f(x)1.(2018蘇州暑假測試)已知函數(shù)f(x)(ax2x)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),aR.(1) 若f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)a0時(shí),解關(guān)于x的不等式f(x)ex;(2) 若f(x)在1,1上是單調(diào)遞增函數(shù),求a的取值范圍解: (1) f(x)ax2(2a1)x1ex.不等式f(x)ex可化為ax2(2a1)xex0.因?yàn)閑x0,故有ax2(2a1)x0.當(dāng)a0時(shí),不等式f(x)ex的解集是(,)(0,)(2) 由(1
8、)得f(x)ax2(2a1)x1ex, 當(dāng)a0時(shí),f(x)(x1)ex,f(x)0在1,1上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號,故a0符合要求; 當(dāng)a0時(shí),令g(x)ax2(2a1)x1,因?yàn)?2a1)24a4a210,所以g(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,不妨設(shè)x1x2,因此f(x)有極大值又有極小值若a0,因?yàn)間(1)g(0)a0,所以f(x)在(1,1)內(nèi)有極值點(diǎn),故f(x)在1,1上不單調(diào)若a0x2,g(0)10,因?yàn)間(x)的圖象開口向下,要使f(x)在1,1上單調(diào),必須滿足即所以a0,則f(x)f(0)0;若x0,則f(x)0,則f(x)f(0)0;若xf(0)0,所以f(x)的
9、單調(diào)減區(qū)間是(0,),單調(diào)增區(qū)間是(,0),所以f(x)在x0處取得極大值,不符合題意 當(dāng)a2a,即g(x)0,所以函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,所以f(x)0), 若a0,注意到ln xx,則ln xx,即ln x()2時(shí),h(x)2axsin x1ln x2ax222a()()0,所以m()2,函數(shù)h(x)在(m,)上單調(diào)遞增 若a0,當(dāng)x1時(shí),h(x)2axsin x1ln xsin x1ln x0恒成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由(1) 證明:設(shè)h(x)f(x)g(x)ln x,則h(x).令h(x)0,得x(負(fù)值舍去),列表如下:x(0,)(,)h(x)0h
10、(x)極小值所以函數(shù)h(x)的最小值為h()0,所以h(x)ln x0,即f(x)g(x)(2) 解:假設(shè)存在常數(shù)a,b使得f(x)axbg(x)對任意的x0恒成立,即2axbln x對任意的x0恒成立而當(dāng)x時(shí),ln x,所以2ab,所以2ab,則b2a,所以2axb2ax2a0(*)恒成立, 當(dāng)a0時(shí),2a0時(shí),則4a2(2a)0,即(2a)20,所以a,則b.令(x)ln xx,則(x),令(x)0,得x,當(dāng)0x0,(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當(dāng)x時(shí),(x)1時(shí),f(x)0得解得0x.故f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,)(2) 證明:令F(x)f(x)(x1),x(1,)則有F(x).當(dāng)x(1
11、,)時(shí),F(xiàn)(x)1時(shí),F(xiàn)(x)1時(shí),f(x)x1.3. 若函數(shù)f(x)ax3bx4,當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)有極值.(1) 求函數(shù)f(x)的解析式;(2) 若方程f(x)k有3個(gè)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍解:(1) 對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f(x)3ax2b,由題意得解得經(jīng)檢驗(yàn)a,b4符合題意,所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x34x4.(2) 由(1)可得f(x)x24(x2)(x2),令f(x)0,得x2或x2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)因此,當(dāng)x2時(shí),f(x)有極大值;當(dāng)x2時(shí),f(x)有極小值.所以函數(shù)f(x)x34x4的圖象大致如圖所示因?yàn)榉匠蘤(x)k的解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)yk與函數(shù)yf(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(,)10