2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性 第1課時(shí) 單調(diào)性的定義與證明學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)

《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性 第1課時(shí) 單調(diào)性的定義與證明學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性 第1課時(shí) 單調(diào)性的定義與證明學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時(shí)單調(diào)性的定義與證明(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：借助函數(shù)圖像，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的證明教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的證明.【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容)下圖是某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖，從圖中你能發(fā)現(xiàn)什么？提示：從圖像上可以看出04時(shí)氣溫下降，414時(shí)氣溫逐漸上升，1424時(shí)氣溫又逐漸下降學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容函數(shù)的單調(diào)性，可以使我們更好地認(rèn)識(shí)圖形，并用圖形中所揭示的規(guī)律與趨勢(shì)來(lái)指導(dǎo)我們的生活與工作【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一增函數(shù)與減函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈，且ID：(1)如果對(duì)任意x1，x

2、2I，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，則稱yf(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增)(2)如果對(duì)任意x1，x2I，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，則稱yf(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減)知識(shí)點(diǎn)二 函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在I上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在I上具有單調(diào)性(當(dāng)I為區(qū)間時(shí)，稱I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間)知識(shí)點(diǎn)三 函數(shù)的最大值和最小值一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，且x0D：如果對(duì)任意xD，都有f(x)f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點(diǎn)；如果對(duì)任意xD，都有f(x)

3、f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點(diǎn)最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn)【新知拓展】1當(dāng)函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A，B上都是增(減)函數(shù)時(shí)，不能說(shuō)f(x)在AB上是增(減)函數(shù)，如f(x)在(，0)上是減函數(shù)，在(0，)上是減函數(shù)，不能說(shuō)f(x)在定義域(，0)(0，)上是減函數(shù)，事實(shí)上，取x111x2，有f(1)11f(1)，不符合減函數(shù)的定義2函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)(1)這個(gè)區(qū)間可以是整個(gè)定義域例如，yx在整個(gè)定義域(，)上是增函數(shù)，yx在整個(gè)定義域(，)上是減函數(shù)(2)這個(gè)區(qū)間也可以是定義域的真子集例如，y

4、x2在定義域(，)上不具有單調(diào)性，但在(，0上是減函數(shù)，在0，)上是增函數(shù)(3)有的函數(shù)不具有單調(diào)性例如，函數(shù)y它的定義域?yàn)镽，但不具有單調(diào)性；yx1，xZ，它的定義域不是區(qū)間，也不能說(shuō)它在定義域上具有單調(diào)性3區(qū)間端點(diǎn)的寫法對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，因?yàn)樗暮瘮?shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問(wèn)題，因此在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)，但對(duì)于某些無(wú)意義的點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間就一定不包括這些點(diǎn)例如，yx2的單調(diào)遞增區(qū)間是0，)，也可以記為(0，)，但函數(shù)y在(0，)上是減函數(shù)，就不能寫成y在0，)上為減函數(shù)4對(duì)最大(小)值定義的理解(1)最值首先是一個(gè)函數(shù)值，即存在一個(gè)自變量x0，

5、使f(x0)等于最值，如f(x)x2(xR)的最大值為0，有f(0)0.(2)對(duì)于定義域內(nèi)的任意元素x，都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)，“任意”兩字不可省(3)使函數(shù)f(x)取得最大(小)值的自變量的值有時(shí)可能不止一個(gè)(4)函數(shù)f(x)在其定義域(某個(gè)區(qū)間)內(nèi)的最大值的幾何意義是其圖像上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是其圖像上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性()(2)定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得x1x2時(shí)，有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)f(x)在(a，b)上為增函數(shù)()(3)若函數(shù)f

6、(x)在區(qū)間A上為減函數(shù)，在區(qū)間B上也為減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間AB上也為減函數(shù)()(4)若函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)，則有f(1)f(4)()(5)任何函數(shù)都有最大值或最小值()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)已知函數(shù)f(x)x的圖像如圖1所示，從左至右圖像是上升的還是下降的：_.在區(qū)間_上，隨著x的增大，f(x)的值_，在此區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：_.(2)已知函數(shù)f(x)2x1的圖像如圖2所示，從左至右圖像是上升的還是下降的：_.在區(qū)間_上，隨著x的增大，f(x)的值_，在此區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：_.(3)函數(shù)yx2的單

7、調(diào)遞增區(qū)間為_，單調(diào)遞減區(qū)間為_(4)函數(shù)f(x)x2在0,1上的最大值是_答案(1)上升的(，)增大增函數(shù)(2)下降的(，)減小減函數(shù)(3)(，00，)(4)1題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例1用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：(1)函數(shù)f(x)2x23x3在上是增函數(shù)；(2)函數(shù)f(x)在(3，)上是減函數(shù)證明(1)設(shè)x1，x2是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x10，f(x2)f(x1)(2x3x23)(2x3x13)2x2x3x23x12(x1x2)(x1x2)3(x1x2)2(x1x2)3(x1x2)因?yàn)閤1x2，所以x1x20，由x1，x2，得x1，x2，則x1x2，所以2(x1x2)3，則2(x1x2

8、)3f(x1)，所以函數(shù)f(x)2x23x3在上是增函數(shù)(2)設(shè)x1，x2是(3，)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x10，f(x2)f(x1).因?yàn)閤2x10，所以(x2x1)3，x23，即x130，x230，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在(3，)上是減函數(shù)條件探究若把本例(2)中的(3，)改為(，3)，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性解設(shè)x1，x2是(，3)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x10，f(x2)f(x1).因?yàn)閤2x10，所以(x2x1)0，由x1，x2(，3)，得x13，x23，即x130，x230，所以f(x2)f(x1)，所以函數(shù)f(x)在(，3)上是減函數(shù)金版點(diǎn)睛函數(shù)單調(diào)性的判斷判斷函數(shù)f

9、(x)的單調(diào)性通常有定義法和圖像法兩種而證明單調(diào)性一般要用定義法，其一般步驟為：(1)設(shè)元：設(shè)x1，x2為區(qū)間上的任意兩個(gè)變量，且x1x2；(2)作差：計(jì)算f(x1)f(x2)；(3)變形：將差式變形整理(配方、通分、因式分解)；(4)判號(hào)：結(jié)合題設(shè)判定差的符號(hào)；(5)定論：結(jié)合單調(diào)性的定義下結(jié)論利用定義判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性解任取x1，x2(0，)且x10，f(x2)f(x1).x10，x120，x220，f(x2)f(x1)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是增函數(shù).題型二 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2畫出函數(shù)yx22|x|3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解當(dāng)x0時(shí)，yx22x3(x1

10、)24，當(dāng)xf(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)f(a2)答案D解析當(dāng)a2a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(，)上為減函數(shù)，所以f(a)f(2a)，故A不正確當(dāng)0a1時(shí)，a2f(a)，故B不正確當(dāng)a0時(shí)，a2aa0，所以f(a2a)f(a)，故C不正確因?yàn)閍21a2，函數(shù)f(x)在(，)上為減函數(shù)，所以f(a21)f(a2)，故D正確.題型四 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式例4已知函數(shù)f(x)是定義在1,1上的增函數(shù)，且f(x2)f(1x)，求x的取值范圍解函數(shù)f(x)是定義在1,1上的增函數(shù)，解得1x2，又f(x2)f(1x)，x21x，即x.由可得1x，即自變量x的取值范

11、圍為.金版點(diǎn)睛 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的注意點(diǎn)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的實(shí)質(zhì)是單調(diào)性的逆用，如果f(x1)g(12t)，求t的取值范圍解函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，且g(t)g(12t)，t12t.t，即t的取值范圍為.題型五 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例5已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上是遞減的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解f(x)x22(a1)x2x(a1)2(a1)22，此二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x1a.f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，1af(x)在(，4上是減函數(shù)，對(duì)稱軸x1a必須在直線x4的右側(cè)或與其重合1a4，解得a3.金版點(diǎn)睛利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)的單調(diào)

12、性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)若函數(shù)f(x)4x2mx5m在2，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_答案16，)解析由題意可知，二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線x，若函數(shù)f(x)在2，)上是增函數(shù)，則需滿足2，即m16.題型六 利用函數(shù)的單調(diào)性求最大(小)值例6求函數(shù)f(x)在區(qū)間2,6上的最大值和最小值解任取x1，x22,6，且x1x2，則f(x1)f(x2)，因?yàn)?x1x26，所以x1x20.于是0，即f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,6上是遞增的，所以函數(shù)f(x)在區(qū)

13、間2,6的左、右端點(diǎn)處分別取得最小值和最大值，即f(x)maxf(6)，f(x)minf(2).金版點(diǎn)睛利用函數(shù)的單調(diào)性求最值(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法，特別是當(dāng)函數(shù)的圖像不易作出時(shí)，單調(diào)性幾乎成為首選方法(2)注意對(duì)問(wèn)題中求最值的區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系進(jìn)行辨析；注意對(duì)問(wèn)題中求最值的區(qū)間的端點(diǎn)值的取舍求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的最大值和最小值解任取x1，x2，使1x1x22，則f(x1)f(x2)，因?yàn)?x1x22，所以2x1x24，即63(x1x2)12，又1x1x20，故f(x1)f(x2)0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，所以f(x)maxf(

14、1)，f(x)minf(2)4.1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，且對(duì)其內(nèi)任意實(shí)數(shù)x1，x2均有(x1x2)f(x1)f(x2)0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上是()A增函數(shù) B減函數(shù)C不增不減函數(shù) D既增又減函數(shù)答案B解析(x1x2)f(x1)f(x2)0或即當(dāng)x1f(x2)或當(dāng)x1x2時(shí)，f(x1)f(x2)不論哪種情況，都說(shuō)明函數(shù)f(x)在(a，b)上為減函數(shù)2下圖中是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)yf(x)的圖像，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()Af(x)在區(qū)間5，3上單調(diào)遞增Bf(x)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增Cf(x)在區(qū)間3,14,5上單調(diào)遞減Df(x)在區(qū)間5,5上沒有單調(diào)性答

15、案C解析若一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“”連接故選C.3函數(shù)y在2,3上的最小值為()A2 B. C. D答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)y在2,3上為減函數(shù)，所以函數(shù)y在2,3上的最小值為ymin.故選B.4若二次函數(shù)f(x)x22axm在(，2上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_答案2，)解析題中二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為xa，由二次函數(shù)的圖像，知函數(shù)在(，a上單調(diào)遞減，a2.5用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f(x)x在1，)上是增函數(shù)證明設(shè)x1，x21，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)x1(x1x2)(x1x2)，1x1x2，x1x21,10.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函數(shù)f(x)x在1，)上是增函數(shù) 11