2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性 第1課時 單調(diào)性的定義與證明學(xué)案 新人教B版必修第一冊

第1課時單調(diào)性的定義與證明(教師獨具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：借助函數(shù)圖像，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義教學(xué)重點：函數(shù)單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的證明教學(xué)難點：函數(shù)單調(diào)性的證明.【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨具內(nèi)容)下圖是某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖，從圖中你能發(fā)現(xiàn)什么？提示：從圖像上可以看出04時氣溫下降，414時氣溫逐漸上升，1424時氣溫又逐漸下降學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容函數(shù)的單調(diào)性，可以使我們更好地認識圖形，并用圖形中所揭示的規(guī)律與趨勢來指導(dǎo)我們的生活與工作【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一增函數(shù)與減函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，且ID：(1)如果對任意x1，x2I，當(dāng)x1>x2時，都有f(x1)>f(x2)，則稱yf(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增)(2)如果對任意x1，x2I，當(dāng)x1>x2時，都有f(x1)<f(x2)，則稱yf(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減)知識點二 函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間如果一個函數(shù)在I上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在I上具有單調(diào)性(當(dāng)I為區(qū)間時，稱I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間)知識點三 函數(shù)的最大值和最小值一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，且x0D：如果對任意xD，都有f(x)f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點；如果對任意xD，都有f(x)f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點【新知拓展】1當(dāng)函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A，B上都是增(減)函數(shù)時，不能說f(x)在AB上是增(減)函數(shù)，如f(x)在(，0)上是減函數(shù)，在(0，)上是減函數(shù)，不能說f(x)在定義域(，0)(0，)上是減函數(shù)，事實上，取x11<1x2，有f(1)1<1f(1)，不符合減函數(shù)的定義2函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)(1)這個區(qū)間可以是整個定義域例如，yx在整個定義域(，)上是增函數(shù)，yx在整個定義域(，)上是減函數(shù)(2)這個區(qū)間也可以是定義域的真子集例如，yx2在定義域(，)上不具有單調(diào)性，但在(，0上是減函數(shù)，在0，)上是增函數(shù)(3)有的函數(shù)不具有單調(diào)性例如，函數(shù)y它的定義域為R，但不具有單調(diào)性；yx1，xZ，它的定義域不是區(qū)間，也不能說它在定義域上具有單調(diào)性3區(qū)間端點的寫法對于單獨的一點，因為它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題，因此在寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對于某些無意義的點，單調(diào)區(qū)間就一定不包括這些點例如，yx2的單調(diào)遞增區(qū)間是0，)，也可以記為(0，)，但函數(shù)y在(0，)上是減函數(shù)，就不能寫成y在0，)上為減函數(shù)4對最大(小)值定義的理解(1)最值首先是一個函數(shù)值，即存在一個自變量x0，使f(x0)等于最值，如f(x)x2(xR)的最大值為0，有f(0)0.(2)對于定義域內(nèi)的任意元素x，都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)，“任意”兩字不可省(3)使函數(shù)f(x)取得最大(小)值的自變量的值有時可能不止一個(4)函數(shù)f(x)在其定義域(某個區(qū)間)內(nèi)的最大值的幾何意義是其圖像上最高點的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是其圖像上最低點的縱坐標(biāo)1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性()(2)定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得x1<x2時，有f(x1)<f(x2)，那么函數(shù)f(x)在(a，b)上為增函數(shù)()(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上為減函數(shù)，在區(qū)間B上也為減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間AB上也為減函數(shù)()(4)若函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上是增函數(shù)，則有f(1)<f(4)()(5)任何函數(shù)都有最大值或最小值()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)×2做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知函數(shù)f(x)x的圖像如圖1所示，從左至右圖像是上升的還是下降的：_.在區(qū)間_上，隨著x的增大，f(x)的值_，在此區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：_.(2)已知函數(shù)f(x)2x1的圖像如圖2所示，從左至右圖像是上升的還是下降的：_.在區(qū)間_上，隨著x的增大，f(x)的值_，在此區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：_.(3)函數(shù)yx2的單調(diào)遞增區(qū)間為_，單調(diào)遞減區(qū)間為_(4)函數(shù)f(x)x2在0,1上的最大值是_答案(1)上升的(，)增大增函數(shù)(2)下降的(，)減小減函數(shù)(3)(，00，)(4)1題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例1用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：(1)函數(shù)f(x)2x23x3在上是增函數(shù)；(2)函數(shù)f(x)在(3，)上是減函數(shù)證明(1)設(shè)x1，x2是上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2，則x2x1>0，f(x2)f(x1)(2x3x23)(2x3x13)2x2x3x23x12(x1x2)(x1x2)3(x1x2)2(x1x2)3·(x1x2)因為x1<x2，所以x1x2<0，由x1，x2，得x1<，x2，則x1x2<，所以2(x1x2)<3，則2(x1x2)3<0，所以f(x2)>f(x1)，所以函數(shù)f(x)2x23x3在上是增函數(shù)(2)設(shè)x1，x2是(3，)上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2，則x2x1>0，f(x2)f(x1).因為x2x1>0，所以(x2x1)<0，由x1，x2(3，)，得x1>3，x2>3，即x13>0，x23>0，所以f(x2)<f(x1)，所以f(x)在(3，)上是減函數(shù)條件探究若把本例(2)中的(3，)改為(，3)，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性解設(shè)x1，x2是(，3)上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2，則x2x1>0，f(x2)f(x1).因為x2x1>0，所以(x2x1)<0，由x1，x2(，3)，得x1<3，x2<3，即x13<0，x23<0，所以f(x2)<f(x1)，所以函數(shù)f(x)在(，3)上是減函數(shù)金版點睛函數(shù)單調(diào)性的判斷判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性通常有定義法和圖像法兩種而證明單調(diào)性一般要用定義法，其一般步驟為：(1)設(shè)元：設(shè)x1，x2為區(qū)間上的任意兩個變量，且x1<x2；(2)作差：計算f(x1)f(x2)；(3)變形：將差式變形整理(配方、通分、因式分解)；(4)判號：結(jié)合題設(shè)判定差的符號；(5)定論：結(jié)合單調(diào)性的定義下結(jié)論利用定義判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性解任取x1，x2(0，)且x1<x2，則x2x1>0，f(x2)f(x1).x1<x2且x1，x2(0，)，x2x1>0，x12>0，x22>0，f(x2)>f(x1)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是增函數(shù).題型二 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2畫出函數(shù)yx22|x|3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解當(dāng)x0時，yx22x3(x1)24，當(dāng)x<0時，yx22x3(x1)24，即y作出函數(shù)的圖像如下圖所示：所以函數(shù)在(，1)和0,1)上是增函數(shù)，在1,0)和1，)上是減函數(shù)金版點睛求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法有：轉(zhuǎn)化為已學(xué)的函數(shù)(如一次函數(shù)，二次函數(shù)等)利用其單調(diào)性來判斷；圖像法；定義法(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時應(yīng)首先明確函數(shù)的定義域，必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進行作出函數(shù)f(x)的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解函數(shù)f(x)的圖像如圖所示由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1和(1,2；單調(diào)遞增區(qū)間為(2，).題型三 利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，試比較f(a2a1)與f的大小解a2a12，與a2a1都是區(qū)間(0，)上的值又f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，ff(a2a1)金版點睛利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小在解決比較函數(shù)值的問題時，要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是()Af(a)>f(2a) Bf(a2)<f(a)Cf(a2a)<f(a) Df(a21)<f(a2)答案D解析當(dāng)a<0時，a>2a，因為函數(shù)f(x)在(，)上為減函數(shù)，所以f(a)<f(2a)，故A不正確當(dāng)0<a<1時，a2<a，因為函數(shù)f(x)在(，)上為減函數(shù)，所以f(a2)>f(a)，故B不正確當(dāng)a0時，a2aa0，所以f(a2a)f(a)，故C不正確因為a21>a2，函數(shù)f(x)在(，)上為減函數(shù)，所以f(a21)<f(a2)，故D正確.題型四 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式例4已知函數(shù)f(x)是定義在1,1上的增函數(shù)，且f(x2)<f(1x)，求x的取值范圍解函數(shù)f(x)是定義在1,1上的增函數(shù)，解得1x2，又f(x2)<f(1x)，x2<1x，即x<.由可得1x<，即自變量x的取值范圍為.金版點睛 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的注意點利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的實質(zhì)是單調(diào)性的逆用，如果f(x1)<f(x2)，若f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，則有若f(x)在(a，b)上是減函數(shù)，則有必須注意兩點：兩邊化為同名函數(shù)的不同函數(shù)值；自變量必須化到同一單調(diào)區(qū)間上，若轉(zhuǎn)化不了，就進行討論已知函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，且g(t)>g(12t)，求t的取值范圍解函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，且g(t)>g(12t)，t>12t.t>，即t的取值范圍為.題型五 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例5已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上是遞減的，求實數(shù)a的取值范圍解f(x)x22(a1)x2x(a1)2(a1)22，此二次函數(shù)圖像的對稱軸為x1a.f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，1af(x)在(，4上是減函數(shù)，對稱軸x1a必須在直線x4的右側(cè)或與其重合1a4，解得a3.金版點睛利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)若函數(shù)f(x)4x2mx5m在2，)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為_答案16，)解析由題意可知，二次函數(shù)圖像的對稱軸是直線x，若函數(shù)f(x)在2，)上是增函數(shù)，則需滿足2，即m16.題型六 利用函數(shù)的單調(diào)性求最大(小)值例6求函數(shù)f(x)在區(qū)間2,6上的最大值和最小值解任取x1，x22,6，且x1<x2，則f(x1)f(x2)，因為2x1<x26，所以x1x2<0，(x21)(x11)>0.于是<0，即f(x1)f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,6上是遞增的，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間2,6的左、右端點處分別取得最小值和最大值，即f(x)maxf(6)，f(x)minf(2).金版點睛利用函數(shù)的單調(diào)性求最值(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法，特別是當(dāng)函數(shù)的圖像不易作出時，單調(diào)性幾乎成為首選方法(2)注意對問題中求最值的區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系進行辨析；注意對問題中求最值的區(qū)間的端點值的取舍求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的最大值和最小值解任取x1，x2，使1x1<x22，則f(x1)f(x2)，因為1x1x22，所以2<x1x2<4，即6<3(x1x2)12，又1<x1x2<4，x2x1>0，故f(x1)f(x2)>0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，所以f(x)maxf(1)，f(x)minf(2)4.1函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，且對其內(nèi)任意實數(shù)x1，x2均有(x1x2)f(x1)f(x2)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上是()A增函數(shù) B減函數(shù)C不增不減函數(shù) D既增又減函數(shù)答案B解析(x1x2)f(x1)f(x2)<0或即當(dāng)x1<x2時，f(x1)>f(x2)或當(dāng)x1>x2時，f(x1)<f(x2)不論哪種情況，都說明函數(shù)f(x)在(a，b)上為減函數(shù)2下圖中是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)yf(x)的圖像，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法錯誤的是()Af(x)在區(qū)間5，3上單調(diào)遞增Bf(x)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增Cf(x)在區(qū)間3,14,5上單調(diào)遞減Df(x)在區(qū)間5,5上沒有單調(diào)性答案C解析若一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“”連接故選C.3函數(shù)y在2,3上的最小值為()A2 B. C. D答案B解析因為函數(shù)y在2,3上為減函數(shù)，所以函數(shù)y在2,3上的最小值為ymin.故選B.4若二次函數(shù)f(x)x22axm在(，2上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_答案2，)解析題中二次函數(shù)圖像的對稱軸為xa，由二次函數(shù)的圖像，知函數(shù)在(，a上單調(diào)遞減，a2.5用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f(x)x在1，)上是增函數(shù)證明設(shè)x1，x21，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2)x1(x1x2)(x1x2)，1x1<x2，x1x2<0，x1x2>1,1>0.f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)所以，函數(shù)f(x)x在1，)上是增函數(shù) 11