《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案 理（含解析）北師大版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱傳真1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用1常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0)(2)反比例函數(shù)模型：yb(k，b為常數(shù)且k0)(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(4)指數(shù)函數(shù)模型：yabxc(a，b，c為常數(shù)，b0，b1，a0)(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(m，n，a為常數(shù)，a0，a1，m0)(6)冪函數(shù)模型：yaxnb(a0)2三種函數(shù)模
2、型之間增長(zhǎng)速度的比較 函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增加的增加的增加的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxnax3.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟形如f(x)x(a0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(，和，)內(nèi)遞增，在，0和(0，上遞減(2)當(dāng)x0時(shí)，x時(shí)取最小值2，當(dāng)x0時(shí)，x時(shí)取最大值2.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)y2x與函數(shù)yx2的圖像有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)
3、()(2)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時(shí)，恒有h(x)f(x)g(x)()答案(1)(2)(3)(4)2在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表，則x，y最適合的函數(shù)是()x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00A.y2xByx21Cy2x2 Dylog2 xD當(dāng)x0.50時(shí)，y0.99，從而排除選項(xiàng)A、C，又當(dāng)x2.01時(shí)，y0.98，從而排除選項(xiàng)B，故選D3(教材改編)一個(gè)工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總成本y(單位：萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(單位：臺(tái))之間
4、的函數(shù)關(guān)系是y0.1x210x300(0x240，xN)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，生產(chǎn)的產(chǎn)品全部賣出，則該工廠獲得最大利潤(rùn)(利潤(rùn)銷售收入產(chǎn)品成本)時(shí)的產(chǎn)量是()A70臺(tái) B75臺(tái)C80臺(tái) D85臺(tái)B由題意可知，利潤(rùn)f(x)25xy0.1x215x300，(0x240，xN)當(dāng)x75時(shí)，f(x)取到最大，故選B4某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較，變化的情況是()A減少7.84%B增加7.84%C減少9.5% D不增不減A設(shè)某商品原來(lái)價(jià)格為a，四年后價(jià)格為：a(10.2)2(10.2)2a1.220.820.921 6a，(0.921 61)a
5、0.078 4a，所以四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較，減少7.84%.5某城市客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法是：如果行程不超過(guò)100 km，票價(jià)是0.5元/km，如果超過(guò)100 km，超過(guò)100 km的部分按0.4元/km定價(jià)，則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是_y由題意可知，當(dāng)0x100時(shí)，y0.5x.當(dāng)x100時(shí)，y1000.5(x100)0.40.4x10.y用函數(shù)圖像刻畫變化過(guò)程1.如圖，在不規(guī)則圖形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線lAB于E，當(dāng)l從左至右移動(dòng)(與線段AB有公共點(diǎn))時(shí)，把圖形ABCD分成兩部分，設(shè)AEx，左側(cè)部分面積為y，則y關(guān)于x的
6、大致圖像為()ABCDD因?yàn)樽髠?cè)部分面積為y，隨x的變化而變化，最初面積增加得快，后來(lái)均勻增加，最后緩慢增加，只有D選項(xiàng)適合2物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價(jià)，我國(guó)某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案據(jù)預(yù)測(cè)，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是() A BCDB因?yàn)檫\(yùn)輸效率逐步提高，故曲線上每點(diǎn)處的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，故選B3汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()A消耗
7、1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D根據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項(xiàng)D對(duì)規(guī)律方法判斷函
8、數(shù)圖像與實(shí)際問(wèn)題中兩變量變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像.(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖像的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【例1】小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為W(x)萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，W(x)x2x(萬(wàn)元)在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，W(x)6x38(萬(wàn)元)每件產(chǎn)品售價(jià)為5元通過(guò)市場(chǎng)分
9、析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完(1)寫出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)年銷售收入固定成本流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，則x萬(wàn)件商品銷售收入為5x萬(wàn)元，依題意得，當(dāng)0x8時(shí)，L(x)5x3x24x3；當(dāng)x8時(shí)，L(x)5x335.所以L(x)(2)當(dāng)0x8時(shí)，L(x)(x6)29.此時(shí)，當(dāng)x6時(shí)，L(x)取得最大值L(6)9萬(wàn)元，當(dāng)x8時(shí)，L(x)35352352015，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x10時(shí)，L(x)取得最大值15萬(wàn)元因?yàn)?15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王
10、在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為15萬(wàn)元規(guī)律方法求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題.易錯(cuò)警示：(1)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍.(2)利用模型f(x)axf(b,x)求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件. (1)加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間
11、為()A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00分鐘 D4.25分鐘(2)(2019沈陽(yáng)模擬)一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過(guò)8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)_min，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一(1)B(2)16(1)根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡(jiǎn)得解得所以p0.2t21.5t222，所以當(dāng)t3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘(2)當(dāng)t0時(shí)，ya，當(dāng)t8時(shí)，yae8ba，e8b，
12、容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一時(shí)，即yaeb ta，eb t(e8 b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過(guò)16 min.構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【例2】某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超過(guò)6元，則每超出1元，租不出的自行車就增加3輛為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式及
13、其定義域；(2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？解(1)當(dāng)x6時(shí)，y50x115.令50x1150，解得x2.3.xN*，3x6，xN*.當(dāng)x6時(shí)，y503(x6)x115.令503(x6)x1150，有3x268x1150.又xN*，6x20(xN*)，故y(2)對(duì)于y50x115(3x6，xN*)，顯然當(dāng)x6時(shí)，ymax185.對(duì)于y3x268x11532(6x20，xN*)，當(dāng)x11時(shí)，ymax270.又270185，當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多規(guī)律方法構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型與求解方法(1)構(gòu)建二次函數(shù)模型，常用配方法
14、、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解(2)構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法(3)構(gòu)建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)求解易錯(cuò)警示：求解過(guò)程中不要忽視實(shí)際問(wèn)題是對(duì)自變量的限制 (2016四川高考)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2018年 B2019年C2020年 D2021年B設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)
15、元由130(112%)n200，得1.12n，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得n，n4，從2019年開(kāi)始，該公司投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元函數(shù)模型的選擇【例3】(2019沈陽(yáng)模擬)某種特色水果每年的上市時(shí)間從4月1號(hào)開(kāi)始僅能持續(xù)5個(gè)月的時(shí)間上市初期價(jià)格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢(shì)，中期價(jià)格開(kāi)始下降，后期價(jià)格在原有價(jià)格基礎(chǔ)之上繼續(xù)下跌現(xiàn)有三種價(jià)格變化的模擬函數(shù)可供選擇：f(x)pqx；f(x)px2qx7；f(x)logq(xp)其中p，q均為常數(shù)且q1.(注：x表示上市時(shí)間，f(x)表示價(jià)格，記x0表示4月1號(hào)，x1表示5月1號(hào)，以此類推x0,5)(1)在上述三個(gè)價(jià)格模擬函數(shù)中，哪一個(gè)更能體現(xiàn)該種水果的價(jià)格變化態(tài)勢(shì)，
16、請(qǐng)你選擇，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(2)對(duì)(1)中所選的函數(shù)f(x)，若f(2)11，f(3)10，記g(x)，經(jīng)過(guò)多年的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)函數(shù)g(x)取得最大值時(shí)，拓展外銷市場(chǎng)的效果最為明顯，請(qǐng)預(yù)測(cè)明年拓展外銷市場(chǎng)的時(shí)間是幾月1號(hào)？解(1)根據(jù)題意，該種水果價(jià)格變化趨勢(shì)是先遞增后一直遞減，基本符合開(kāi)口向下的二次函數(shù)變化趨勢(shì)，故應(yīng)該選擇f(x)px2qx7.(2)由f(2)11，f(3)10解得f(x)x24x7.g(x).因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)x13，即x2時(shí)等號(hào)成立所以明年拓展外銷的時(shí)間應(yīng)為6月1號(hào)規(guī)律方法根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)若能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題作出滿足題意的函數(shù)圖像，可結(jié)合圖像特征
17、選擇.(2)當(dāng)研究的問(wèn)題呈現(xiàn)先增長(zhǎng)后減少的特點(diǎn)時(shí)，可以選用二次函數(shù)模型yax2bxc(a，b，c均為常數(shù)，a0)；當(dāng)研究的問(wèn)題呈現(xiàn)先減少后增長(zhǎng)的特點(diǎn)時(shí)，可以選用二次函數(shù)模型yax2bxc(a，b，c均為常數(shù)，a0).(3)對(duì)數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1時(shí))增長(zhǎng)越來(lái)越慢，而指數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1時(shí))增長(zhǎng)越來(lái)越快. 某商場(chǎng)2018年1月份到12月份銷售額呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì)，下列四個(gè)函數(shù)中，能較準(zhǔn)確地反映商場(chǎng)月銷售額f(x)與月份x的關(guān)系且滿足f(1)8，f(3)2的函數(shù)為()Af(x)20xBf(x)6log3 x8Cf(x)x212x19Df(x)x27x14D把f(1)8，f(3)2逐一代入四個(gè)選項(xiàng)中，并結(jié)合f(x)與x間呈先下降后上升的趨勢(shì)，不難選出選項(xiàng)D符合- 9 -
2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案 理（含解析）北師大版
