2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱傳真1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用1常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0)(2)反比例函數(shù)模型：yb(k，b為常數(shù)且k0)(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(4)指數(shù)函數(shù)模型：ya·bxc(a，b，c為常數(shù)，b0，b1，a0)(5)對數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(m，n，a為常數(shù)，a0，a1，m0)(6)冪函數(shù)模型：ya·xnb(a0)2三種函數(shù)模型之間增長速度的比較 函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增加的增加的增加的增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)xx0時，有l(wèi)ogaxxnax3.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟形如f(x)x(a0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(，和，)內(nèi)遞增，在，0和(0，上遞減(2)當(dāng)x0時，x時取最小值2，當(dāng)x0時，x時取最大值2.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y2x與函數(shù)yx2的圖像有且只有兩個公共點()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時，恒有h(x)f(x)g(x)()答案(1)×(2)×(3)×(4)2在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表，則x，y最適合的函數(shù)是()x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00A.y2xByx21Cy2x2 Dylog2 xD當(dāng)x0.50時，y0.99，從而排除選項A、C，又當(dāng)x2.01時，y0.98，從而排除選項B，故選D3(教材改編)一個工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總成本y(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y0.1x210x300(0x240，xN)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，生產(chǎn)的產(chǎn)品全部賣出，則該工廠獲得最大利潤(利潤銷售收入產(chǎn)品成本)時的產(chǎn)量是()A70臺 B75臺C80臺 D85臺B由題意可知，利潤f(x)25xy0.1x215x300，(0x240，xN)當(dāng)x75時，f(x)取到最大，故選B4某商品價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來價格比較，變化的情況是()A減少7.84%B增加7.84%C減少9.5% D不增不減A設(shè)某商品原來價格為a，四年后價格為：a(10.2)2(10.2)2a×1.22×0.820.921 6a，(0.921 61)a0.078 4a，所以四年后的價格與原來價格比較，減少7.84%.5某城市客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100 km，票價是0.5元/km，如果超過100 km，超過100 km的部分按0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是_y由題意可知，當(dāng)0x100時，y0.5x.當(dāng)x100時，y100×0.5(x100)×0.40.4x10.y用函數(shù)圖像刻畫變化過程1.如圖，在不規(guī)則圖形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線lAB于E，當(dāng)l從左至右移動(與線段AB有公共點)時，把圖形ABCD分成兩部分，設(shè)AEx，左側(cè)部分面積為y，則y關(guān)于x的大致圖像為()ABCDD因為左側(cè)部分面積為y，隨x的變化而變化，最初面積增加得快，后來均勻增加，最后緩慢增加，只有D選項適合2物價上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)測的運輸任務(wù)Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是() A BCDB因為運輸效率逐步提高，故曲線上每點處的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，故選B3汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D根據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對規(guī)律方法判斷函數(shù)圖像與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像.(2)驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結(jié)合圖像的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題【例1】小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)x2x(萬元)在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)6x38(萬元)每件產(chǎn)品售價為5元通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當(dāng)0x8時，L(x)5x3x24x3；當(dāng)x8時，L(x)5x335.所以L(x)(2)當(dāng)0x8時，L(x)(x6)29.此時，當(dāng)x6時，L(x)取得最大值L(6)9萬元，當(dāng)x8時，L(x)35352352015，此時，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x10時，L(x)取得最大值15萬元因為915，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元規(guī)律方法求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實際問題.易錯警示：(1)解決實際問題時要注意自變量的取值范圍.(2)利用模型f(x)axf(b,x)求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件. (1)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00分鐘 D4.25分鐘(2)(2019·沈陽模擬)一個容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底部一個細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_min，容器中的沙子只有開始時的八分之一(1)B(2)16(1)根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得解得所以p0.2t21.5t222，所以當(dāng)t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘(2)當(dāng)t0時，ya，當(dāng)t8時，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即yaeb ta，eb t(e8 b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題【例2】某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超出1元，租不出的自行車就增加3輛為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式及其定義域；(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？解(1)當(dāng)x6時，y50x115.令50x1150，解得x2.3.xN*，3x6，xN*.當(dāng)x6時，y503(x6)x115.令503(x6)x1150，有3x268x1150.又xN*，6x20(xN*)，故y(2)對于y50x115(3x6，xN*)，顯然當(dāng)x6時，ymax185.對于y3x268x11532(6x20，xN*)，當(dāng)x11時，ymax270.又270185，當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多規(guī)律方法構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的常見類型與求解方法(1)構(gòu)建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解(2)構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法(3)構(gòu)建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識求解易錯警示：求解過程中不要忽視實際問題是對自變量的限制 (2016·四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2018年 B2019年C2020年 D2021年B設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元由130(112%)n>200，得1.12n>，兩邊取常用對數(shù)，得n>，n4，從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元函數(shù)模型的選擇【例3】(2019·沈陽模擬)某種特色水果每年的上市時間從4月1號開始僅能持續(xù)5個月的時間上市初期價格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢，中期價格開始下降，后期價格在原有價格基礎(chǔ)之上繼續(xù)下跌現(xiàn)有三種價格變化的模擬函數(shù)可供選擇：f(x)p·qx；f(x)px2qx7；f(x)logq(xp)其中p，q均為常數(shù)且q1.(注：x表示上市時間，f(x)表示價格，記x0表示4月1號，x1表示5月1號，以此類推x0,5)(1)在上述三個價格模擬函數(shù)中，哪一個更能體現(xiàn)該種水果的價格變化態(tài)勢，請你選擇，并簡要說明理由；(2)對(1)中所選的函數(shù)f(x)，若f(2)11，f(3)10，記g(x)，經(jīng)過多年的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，當(dāng)函數(shù)g(x)取得最大值時，拓展外銷市場的效果最為明顯，請預(yù)測明年拓展外銷市場的時間是幾月1號？解(1)根據(jù)題意，該種水果價格變化趨勢是先遞增后一直遞減，基本符合開口向下的二次函數(shù)變化趨勢，故應(yīng)該選擇f(x)px2qx7.(2)由f(2)11，f(3)10解得f(x)x24x7.g(x).因為2，當(dāng)且僅當(dāng)x13，即x2時等號成立所以明年拓展外銷的時間應(yīng)為6月1號規(guī)律方法根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型時應(yīng)注意以下幾點：(1)若能夠根據(jù)實際問題作出滿足題意的函數(shù)圖像，可結(jié)合圖像特征選擇.(2)當(dāng)研究的問題呈現(xiàn)先增長后減少的特點時，可以選用二次函數(shù)模型yax2bxc(a，b，c均為常數(shù)，a0)；當(dāng)研究的問題呈現(xiàn)先減少后增長的特點時，可以選用二次函數(shù)模型yax2bxc(a，b，c均為常數(shù)，a0).(3)對數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1時)增長越來越慢，而指數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1時)增長越來越快. 某商場2018年1月份到12月份銷售額呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢，下列四個函數(shù)中，能較準(zhǔn)確地反映商場月銷售額f(x)與月份x的關(guān)系且滿足f(1)8，f(3)2的函數(shù)為()Af(x)20×xBf(x)6log3 x8Cf(x)x212x19Df(x)x27x14D把f(1)8，f(3)2逐一代入四個選項中，并結(jié)合f(x)與x間呈先下降后上升的趨勢，不難選出選項D符合- 9 -